查漏补缺02 直线与圆的方程（8大考点+查补知识点+30种题型突破，专项训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

查漏补缺02 直线与圆的方程 （6大考点+查补知识点+25种题型突破） 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 直线的倾斜角与斜率 知识点一：直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 规定 当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为。 记法 图示 范围 作用 （1）表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； （2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。 知识点二：直线的斜率 （1）定义与表示 定义（为倾斜角） 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 直线斜率不存在 记法 常用小写字母表示，即 范围 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 （2）由两点坐标求斜率 如果直线经过两点、，且，则直线的斜率公式为。 注： 1.运用公式的前提是，即直线不与轴垂直。 2.斜率公式与，在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的。 3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成，即下标的顺序一致。 （3）由方向向量求斜率 如果直线的方向向量为，且，则直线的斜率公式为。 知识点三：直线的斜率与倾斜角的关系 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 题型一：直线的倾斜角与斜率 1. 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围； 2. 熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为； 3. 求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割． 4. 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论． 1．（25-26高三上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个分析四个命题，结合倾斜角和斜率的定义判断对错. 【详解】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确； 命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误； 命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误； 命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误. 综上，正确的命题有1个. 故选：B 2．（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线经过点、，则直线的斜率， 则，可得， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线的倾斜角为，则 ． 【答案】 【分析】由一般方程中斜率与倾斜角的关系可得. 【详解】由题意可得直线的斜率为，所以，解得． 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【答案】//1.125 【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可. 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高三·广东惠州·月考）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】C 【分析】计算出的斜率，利用倾斜角的定义，建立起的倾斜角与的倾斜角的关系，可得答案. 【详解】直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为， 直线的斜率. 故选：C. 6．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，即可得到答案. 【详解】由题知：，所以. 故选：C 题型二：三点共线问题 设点，，，若或或，则，，三点一定共线. 1．（2025春•秦都区校级期中）已知，，，且，，三点共线，则　　 ． 【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可． 【解答】解：，，， 则，， 因为，，三点共线，所以，解得． 故答案为：2． 2.（25-26高三上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 3．（2025高三上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 4．（2025秋•杨浦区校级期中）若、、三点不能构成三角形，则　　． 【分析】由题意可知点在直线上时，三点构不成三角形，求出直线的方程，将点的坐标，可得的值． 【解答】解：、、三点构不成三角形，则点在直线上， 直线的斜率为：， 设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得． 故答案为：0． 题型三：过定点的直线与线段的相交问题 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，若过的直线与线段相交，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】解析 过的直线与线段相交，如图所示： 可得，即，即．故选D． 2．（25-26高三上·贵州铜仁·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析即可得解. 【详解】由题得，， 因为直线与连接，两点的线段总有交点， 结合图象可知，. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率  如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 考点02 直线方程的五种形式 知识点一：直线的五种方程形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点二：各种方程形式的要求 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 3．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 4．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 5．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 6.截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 7.截距式方程应用的注意事项 ①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； ②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； 8.一般式方程中系数的几何意义： 当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 题型一：求直线方程 求直线方程的两种方法 （1）直接法：根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式. （2）待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏. 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 ． 【答案】或. 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由于直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，又l过点，直线方程为或， 即或. 故答案为：或. 2．（2026·四川绵阳·二模）直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线的方向向量求斜率，再根据直线的点斜式方程得直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的点斜式方程为：， 化简得：. 故答案为： 3．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】由倾斜角得到斜率，再结合点斜式即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率． 因为直线过点，所以直线的点斜式方程为， 化为一般式，得． 故答案为： 4．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 5．（2026高三·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点，，，则经过两边和的中点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先求出，的中点D，E坐标，再求出斜率，由点斜式即可得其方程. 【详解】由题意，中点，中点， 则， 直线：， 即. 故答案为：. 6．（2026高三·全国·专题练习）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为 ． 【答案】 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案. 【详解】因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为. 则直线为，即. 故答案为： 题型二：直线与坐标轴围成的三角形面积问题 由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说. 1．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可. 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 2．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线围成图形的面积问题、基本不等式求和的最小值 【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 3．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知点，直线 （1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； （2）若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】（1）或；（2）4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围. （2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线，联立 所以交点， 因为C在线段AB上，所以， 即，解得 所以或 （2）因为直线，联立 所以交点； 令中，则，所以， 因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为， 设， 所以， 所以当即时，S的最小值为4. 考点03 直线的位置关系 知识点一：两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 知识点二：直线系方程 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． 2.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． 3.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 题型一：两直线的位置关系 判断两条直线位置关系的注意点 （1）斜率不存在的特殊情况． （2）可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行求得参数,结合充分必要条件可得. 【详解】，且，解得或． 由可得；而还可能得， 由此可知：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 2．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·月考）若直线平行于直线，且垂直于直线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件设，再利用得，即可求解. 【详解】依题意可设，又垂直于直线， 则，解得， 故选：D. 3．（25-26高三·全国·假期作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线垂直得到，求得，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲， 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：B 4．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若直线：与：互相垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可. 【详解】直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足. 当时，直线的斜率. 由，得，即，解得. 故选：C 5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，结合两条直线垂直的条件即可求出答案. 【详解】对求导得，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 题型二：平行与垂直的直线系方程的应用 与直线平行的直线可以设为； 与直线垂直的直线可以设为． 1．（25-26高三上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 解得，所以所求直线的方程为：. 故选：B. 2．（25-26河南驻马店·月考）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 3．（25-26高三上·广东江门·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据平行直线系的性质即可求解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 将代入可得，解得， 故所求直线方程为， 故答案为： 4．（25-26高二上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过两条直线和的交点，且平行于直线； (2)垂直于直线，且到点的距离为1. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）首先求两条直线的交点坐标，再根据平行关系设出直线，利用待定系数法，即可求解； （2）首先根据两直线垂直，设出直线方程，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立，得， 设平行于直线的直线方程为，代入点， 得，得， 所以满足条件的直线方程为； （2）设垂直于直线的直线方程为， 点到直线的距离，解得或， 所以满足条件的直线方程为或. 题型三：两直线的交点问题 过直线与的交点的直线系方程为，但不包括. 1．（2025高三上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 2．（25-26高三上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】联立方程，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 3．（2026高三·全国·专题练习）若三条直线相交于一点，则m的值为 . 【答案】 【分析】先由求得交点坐标，代入即可求解. 【详解】由，解得 所以，点满足方程， 即. 所以. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解. 【详解】设过两直线和的交点的直线系方程为， 即． 由于与平行，所以，解得． 当时，直线的方程是，故符合题意. 故答案为： 题型四：两直线的夹角问题 若直线与直线的夹角为，则. 1．（2025高三·上海·专题练习）直线与的夹角为 . 【答案】 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【分析】先得到和的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解. 【详解】由得，则该直线的斜率， 又由得，则该直线的斜率， 设与的夹角为（）， 则，则，. 所以与的夹角为. 故答案为： 2．（25-26高三上·上海浦东新·月考）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】/ 【知识点】直线的倾斜角、两条直线的到（夹）角公式 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角. 【详解】因为直线的斜率为，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 3．（2025高三上·上海）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ． 【答案】或 【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线的点斜式方程及辨析 【分析】设直线斜率为，依题意可得，求出的值，再由点斜式写出直线方程即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 依题意直线的斜率存在，设斜率为， 所以，整理得，可得或， 又直线过点，则或， 整理得或. 故答案为：或 4．（25-26上海·月考）如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 . 【答案】/60° 【知识点】两条直线的到（夹）角公式 【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角． 【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为. ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根 且 ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案为：. 题型五：直线过定点问题 解含有参数的直线恒过定点问题的方法： 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组，解得．若整理成的形式，则表示的所有直线必过定点． 1．（2026高三·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【分析】将直线化为，列方程组求解可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则，所以直线过定点. 直线可化为， . 即直线的斜率满足， 设直线的倾斜角， 则，从而， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：，. 2．（25-26高三上·重庆·月考）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可. 【详解】将 代入直线方程： ， 将 代入直线方程： ， 因为直线 与线段 有公共点， 所以，所以解集为 ， 即实数 的取值范围为 ， 故答案为：. 3．（2025秋•郯城县校级期中）已知直线经过定点，直线经过点，且的方向向量，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量，求出，进而利用两点式，求出直线方程． 【解答】解：对化简得，，得，解得，点， 又直线经过点，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合， 则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为：． 故选：． 4．（2025秋•天津校级期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项即可． 【解答】解：， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限． 故选：． 5．（2025秋•河北区期中）已知直线，直线，则下列结论错误的是（　　） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 【分析】由直线的方程得横截距可判断；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断． 【解答】解：已知直线，直线， 对于，令时，，则在轴上的截距为，故正确； 对于，直线，当时，所以直线恒过，故正确； 对于，若，则且，故，故错误； 对于，等价于，解得，故正确． 故选：． 6．（2025秋•罗平县校级月考）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为 　　． 【分析】先把直线方程分离参数，再令参数系数等于零，求得、的值，可得它所经过的定点坐标，从而得到，再利用基本不等式求得的最小值． 【解答】解：直线，即，令，求得，， 可得它的图象恒过定点． 点也在直线上，其中，均为正数，，即． 则，当且仅当时，等号成立， 的最小值为8， 故答案为：8． 考点04 距离问题 知识点：三种距离公式 （1）两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. （2）点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 题型一：点到点的距离 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以|P1P2|＝. 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由两点间距离公式、斜率公式即可求解. 【详解】设，点，，若，所以， 所以直线AB的斜率可能为或. 故选：AD. 2．（25-26北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、向量坐标的线性运算解决几何问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标. 【详解】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即， 故答案为：；. 3．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知直线与直线（）交于点，点是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用表示点坐标，再根据求的最小值. 【详解】圆C的标准方程为，所以，． 由得，所以． （当且仅当即时取等号）. 故选：B 4．（25-26高三上·广东佛山·月考），及是直角坐标平面上的三点．设及分别是的垂心及外心．求的长度．（　　） A．11 B．21 C．22 D．33 【答案】D 【分析】利用外心和垂心的性质求出点的坐标，进而得到线段长度即可. 【详解】由中点坐标公式得的中点为，的中点为， 则由题意得的中垂线为，而由斜率公式得的斜率为， 可得垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，，故， 由题意得边上的高为，边上的高的斜率为， 则高的方程为， 联立方程组，解得，，故， 可得，故D正确. 故选：D 题型二：点到线的距离 点到直线的距离(其中点，直线方程为（）). 1．（2025秋•芜湖期中）（多选）对于直线，下列选项正确的是　　 A．直线恒过点 B．当时，直线与轴上的截距为3 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 【分析】由直线的方程，结合点到直线的距离公式求解． 【解答】解：已知直线， 则， 由， 可得， 所以直线恒过点， 故正确； 当时，直线在，轴上的截距分别为3，， 故不正确； 当时，直线的方程为， 直线不经过第二象限， 故不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为． 故正确． 故选：． 2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，则的面积为 【答案】. 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积. 故答案为： 3．（25-26高三上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过两条直线和的交点，且平行于直线； （2）垂直于直线，且到点的距离为1. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）首先求两条直线的交点坐标，再根据平行关系设出直线，利用待定系数法，即可求解； （2）首先根据两直线垂直，设出直线方程，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立，得， 设平行于直线的直线方程为，代入点， 得，得， 所以满足条件的直线方程为； （2）设垂直于直线的直线方程为， 点到直线的距离，解得或， 所以满足条件的直线方程为或. 题型三：平行线间距离 两平行线间的距离(其中两平行线方程分别为，（）). 两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将变形为， 故两直线的距离为， 故选：B 2.（25高三上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 3．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据直线平行计算求参，再应用平行线间距离公式计算求解. 【详解】因为直线与直线平行，所以，且，所以， 所以直线与直线平行， 两直线间的距离为，且， 所以，所以. 故选：C. 考点05 对称性问题 知识点一：点关于点的对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点 （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 知识点二：直线关于点的对称 （1）实质：两直线平行 （2）①转化为“点关于点”的对称问题（在上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于对称的点，然后求出直线方程）。 ②利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）。 知识点三：点关于直线的对称 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 （2）①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) ②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为。 知识点四：直线关于直线的对称 （1）当与相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点 第三步：利用两点式写出方程 （2）当与平行时：对称直线与已知直线平行。 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。 题型一：关于点的对称 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 1．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．（2025高三·天津·专题练习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. 3.（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1).；(2)；(3) 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点、求直线交点坐标 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 题型二：关于线的对称 求直线l关于直线对称的直线 若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等． 此时分别为，由，求得，从而得． 若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点关于直线的对称点 【详解】解析 ，，则．故选B． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知:.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围）、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】原式表示直线上的动点到定点的距离之和，求出点A关于直线对称的点，结合两点距离公式计算即可求解. 【详解】设， 表示直线上的动点到定点的距离之和， 如图，    设点A关于直线对称的点为， 则，解得， 所以. 故答案为： 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 4.（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解方程组求出点的坐标，可得 ，，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即，， 当时，，，则无意义； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 当时，， 当且仅当即时等号成立； 综上，的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26高三上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 考点06 圆的方程 知识点一：圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 知识点二：点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 常用结论 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． 题型一：圆的方程概念 圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为。 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可. 【详解】化成标准方程， 所以，解得或， 因为或推不出，可以推出或， 所以方程表示圆是的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（25-26高三上·上海·月考）若方程表示一个圆，则的取值范围为 ． 【答案】且， 【分析】根据圆的一般式满足的关系即可求解. 【详解】由题意可得，故方程变形为， 因此，解得且， 故答案为：且， 4．（25-26高三上·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【详解】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 题型二：求圆的方程 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 1．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可. 【详解】由题知抛物线的焦点坐标为， 所以到直线的距离为, 所以，所求圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：A 2．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为 . 【答案】（或）（两种形式均正确） 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解. 【详解】设所求圆的方程为， 由已知三点在圆上，， 解得， 所以圆的方程为，即. 故答案为：（或）（两种形式均正确）. 3．（25-26高三上·天津北辰·月考）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得抛物线的焦点，得到圆心为，设圆的半径为，圆心到的距离为，结合圆的弦长公式，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得其焦点为， 因为圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，可得圆心为， 设圆的半径为， 圆心到的距离为， 又因为，可得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 4.（25-26高三上·广东江门·月考）已知的顶点分别为、、 (1)求边上的中线的方程； (2)求的外接圆的方程． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出边的中点的坐标，求出所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）设的外接圆方程为，将三个顶点的坐标代入，列出关于 的方程组，求解即得的外接圆的方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中点为，， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的方程为，即. 题型三：点与圆的位置关系判断 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．（25-26高三上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 3．（25-26高三上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】先由根与系数的关系找到所满足的条件，再判断点与圆的位置关系. 【详解】因为是方程的两个不等实数根，且. 所以点在圆外. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（     A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】依据点与圆的位置关系推断出点到圆心距离与半径的关系，进而判断充分性与必要性. 【详解】点到圆心距离. 点到圆心距离. 先判断充分性. 因点在圆外，故，即，故，即点在圆外. 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分条件. 再判断必要性. 因点在圆外，故，但不能判断与的大小关系. 故“点在圆外”不是“点在圆外”的必要条件. 综上，“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 故选：. 题型四：与圆有关的对称性问题 1.圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 2.圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 3.圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 1．（25-26高三上·内蒙·月考）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意，把两个圆的一般方程的左边相减，即为所求． 【解答】解：由圆和圆关于直线对称， 把两个圆的方程相减，可得， 即两个圆的交线为， 可得两圆关于直线对称， 故选：． 2．（25-26高三上·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 3．（25-26高三上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 题型五：圆过定点问题 圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点． 1．（2025高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交曲线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点. (1)问：以为直径的动圆是否过定点？ (2)若直线交准线于点，求证：点恰为（1）中圆的圆心． 【答案】(1)动圆过两个定点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意直线的斜率存在，设和相关点坐标，利用三点共线性质和韦达定理，进而得到动圆方程，即可得解； （2）比较动圆圆心和点坐标，即可得证. 【详解】（1）由已知分析，得焦点且直线的斜率存在， 设. 联立，得，且. ， 令，则，同理， 所以， 同理， 即. 即以为直径的圆：， 即，整理得. 则有定点：，解得或. 综上，以为直径的动圆过定点. （2）证明：由（1）得，则（1）中圆的圆心为. 联立，解得，则的坐标为. 综上，证得点恰为（1）中圆的圆心. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点，问：以为直径的动圆是否过定点？    【答案】动圆过两个定点 【分析】设，与抛物线方程联立，再利用三点共线得出 ，最后利用求出圆的方程，再求定点即可. 【详解】动圆过两个定点，理由如下： 由题意可知，直线的斜率存在，设直线， 由，得，则， 故， ， 因焦点，故，抛物线的准线为， 设，由、三点共线得， 则，即，即，即， 得， 从而， ， 设以为直径的圆上任意一点，则， 则， 即，即， 令得或， 所以动圆过两个定点． 考点07 直线与圆的位置关系 知识点一：直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点二：直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 知识点三：直线与圆相切时的切线问题 （1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 ①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； ②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况。 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 （2）求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 （3）过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 知识点四：与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为； （2）过上一点的圆的切线方程 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为： （4）若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为。 （5）圆心的三个重要几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 题型一：直线与圆的位置关系判断 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】直接用几何法判断直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 故选：A. 2．（2025秋•迎江区校级期中）（多选）以下四个命题表述正确的是　　 A．直线恒过定点 B．过两点的直线方程为 C．已知直线过点且在，轴上截距相等，则直线的方程为 D．若曲线与有两个交点，则实数的取值范围是 【分析】将直线化为即可求定点，注意两点式的使用前提，注意截距为0的情况，利用直线与圆的位置关系求出临界情况的参数值，再数形结合判断． 【解答】解：：将直线化为，则， 可得，即直线过定点，对； ：应用两点式直线方程， 注意前提是已知两点的横纵坐标均不相等，错； ：显然截距为0时，直线为，错； ：由是圆的上半部分，如下图示， 若与半圆左上部相切时，且，可得， 若过点时，直线与圆有2个交点，则，可得， 如下图示， 当时，直线与恒有2个交点，对． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 3．（25-26高三上·全国·月考）已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】求得直线的定点，求得圆的圆心与半径，计算可得，可得结论. 【详解】由，可得直线恒过定点， 由圆的标准方程为，可得圆心为，半径， 因为，所以点在圆内， 直线和圆相交． 故选：A． 题型二：圆上的点到直线的距离个数问题 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，。 1．（25-26高三上·河南·期末）（多选）已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有（ ） A．存在使得圆 关于直线 对称 B．圆心到直线 的距离最小值为 C．当 时，直线 与圆 相切 D．存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为 【答案】BCD 【分析】由对称性得到圆心在直线上代入直线方程可得A；由圆心到直线的距离公式可判断B、C、D. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即， 关于的方程没有实数解，所以不存在使得圆关于直线对称，故A错误. 圆心到直线的距离，当且仅当时，等号成立，故B正确. 当时，直线的方程为. 因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故C正确. 因为，所以当圆上有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为， 即，所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 2．（25-26高三上·河南南阳·月考）（多选）圆上到直线的距离为3的点恰好有2个时，可取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用圆的性质，结合点到直线距离公式求出符合条件的范围即判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 当圆上到直线的距离为3的点恰好有1个时，直线在圆外， 此时圆心到直线的距离为7，即，解得； 当圆上到直线距离为3的点恰好有3个时，直线到圆心的距离为1，则，解得， 当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时， 圆上到直线距离为3的点恰好有2个，此时的取值范围是， 选项A不满足，选项BCD满足. 故选：BCD 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 4．（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】由题可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 设与直线距离为的平行线为， 由，可解得或， 则圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， 因为圆上到直线距离为的点有且仅有个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故选：D. 5．（25-26高三上·河南·月考）经过点，半径为4的圆的圆心为，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由题可知，点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆，接着求出点到直线的距离为，再由圆上的点到直线的距离最大值为即可求解． 【详解】依题意，点的轨迹是以点为圆心，4为半径的圆， 可得点到直线的距离为， 设圆的半径为， 所以点到直线的距离的最大值为， 点到直线的距离的最大值为. 故选：B． 6．（25-26高三上·河北邯郸·月考）在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点坐标，由题意建立方程，化简后得到动点轨迹为圆，写出圆心和半径.先求得圆心到直线的距离，即可得到动点到直线的距离的取值范围. 【详解】设，由题可得， 两边平方并化简得，故点在圆心为（8，4），半径为的圆上， 而圆心到直线的距离为， 故点到该直线的距离的取值范围为，即． 故选C． 题型三：直线与圆相交的问题 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 1．（25-26高三上·重庆·月考）直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，利用弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则弦长为，解得， 因此，解得或， 所以直线的倾斜角为或. 故选：D 2．（25-26高三上·河南·月考）（多选）已知直线与交于，两点，为实数，则下列正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若，则 D．若上恰有4个点到直线l的距离为，则 【答案】AD 【分析】选项A，求出圆心和半径，求出直线恒过定点，的最大值为直径；选项B，直线与垂直时的弦长最小；选项C，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用计算求解；选项D，由上恰有4个点到直线l的距离为，得到圆心到直线的距离，计算求解. 【详解】选项A，，圆心为，半径为， ，恒过定点， ，在内， 的最大值为直径，故选项A正确； 选项B，当直线与垂直时，最小，， ，故选项B错误； 选项C，变形为， 则圆心到直线的距离为， ，，， ，故选项C错误； 选项D，上恰有4个点到直线l的距离为， 圆心到直线的距离，，故选项D正确. 故选：AD. 3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 B．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 C．当直线l：与圆C：相交所得弦长最短时，m的值为-1 D．直线与直线互相平行，则 【答案】CD 【分析】根据直线与线段相交、直线与圆相交、直线截距式方程、直线平行条件逐项分析判断即可. 【详解】选项A：直线可整理为，所以直线恒过点. ，， 因为直线与线段相交，所以的取值范围为或，故A错误； 选项B：设直线在x轴和y轴上截距为. 当时，设直线方程为，代入点可解得，此时方程为，即； 当时，设直线方程为，代入点可解得，此时方程为，即. 综上，所求直线方程为或，故B错误； 选项C：圆的方程可整理为，圆心，半径. 直线： 恒过定点，所以当直线时，弦长最短. ，所以，即，解得，故C正确； 选项D：当时，两条直线可化为，，不满足题意； 当时，直线可化为， 直线可化为， 因为两条直线平行，所以，解得，故D正确. 故选：CD. 4．（25-26高三上·吉林长春·月考）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【分析】先利用倾斜角得到直线的斜率，再求出直线方程，由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，最后利用圆的弦长公式得到弦长. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率为， 所以过坐标原点且倾斜角为的直线方程为，即； 圆圆心为，半径 则圆心到直线的距离为； 由圆的弦长公式得弦长为； 故答案为： 5．（25-26高三上·四川南充·月考）若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可. 【详解】圆即的圆心为，半径为， 若直线与圆有两个交点， 则，即，解得， 所以m的取值范围为. 故选：A 6．（2026·湖北孝感·一模）已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得与圆C相切 C．，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D．设圆心到，的距离分别为，，则为定值 【答案】D 【分析】根据线线平行列方程求解判断A；根据直线过定点在圆C内判断B；根据弦长公式列方程求解判断C；根据垂径定理求解即可判断D. 【详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误； 对于B：直线，令则， 所以直线过定点，又因为，即在圆C内， 所以直线与圆C相交，所以B错误; 对于C：若两弦长相等，则， 所以，所以或， 所以或，所以C错误 对于D：直线，令，则， 所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确. 故选：D 7．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知圆，直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)若直线与圆交于点，且，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）将直线方程整理，提取参数，列方程组可得定点的坐标； （2）根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离为半径列方程求解即可； （3）因为弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理列方程可得圆心到弦的距离，再根据点到直线的距离公式可求. 【详解】（1）因为直线的方程为，即对任意的实数恒成立， 所以，解得，所以直线过定点， 即点的坐标为． （2）如图，当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离为半径2， 即，解得. （3）如图，取的中点，由圆的性质知. 在中，由勾股定理知， 即，解得， 即圆心到直线的距离为，所以， 解得. 题型四：直线与圆相切的问题 1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 2.常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知圆M的圆心为，且直线与圆M相切，则圆M的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求半径，然后可得标准方程. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 即圆的半径，所以圆的方程为：. 故选：D 2．（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为 ． 【答案】3 【分析】求出已知圆的圆心、半径，再利用勾股定理求出切线长. 【详解】圆，即的圆心，半径， 点，， 所以所求切线长为. 故答案为：3 3．（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆的方程化为，求出圆心和半径，利用直角三角形求出，结合二倍角公式可得的值． 【详解】圆可化为，则圆心，半径为； 设，切线为、，则， 中，， 所以． 所以， 故选：D 4．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．圆C的圆心坐标为 B．直线l的方向向量和共线 C．当直线l与圆C相切时，或 D．当时，l与圆C的相交弦长度为2 【答案】BCD 【分析】根据圆的一般式计算圆心坐标和半径，直线的方向向量判断向量共线，直线与圆相切求解参数，直线与圆的位置关系计算相交弦的长度，即可判断各个选项； 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，A错误； 对于B，直线的方向向量为和共线，B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或，C正确； 对于D，当时，，即， 计算圆心到直线的距离为，说明直线l过圆心， 此时直线与圆C的相交弦长度为2，D正确； 故选：BCD. 5．（25-26高三上·江西·月考）（多选）过点作圆的两条切线，，切点为，.则（    ） A． B．外接圆的面积为 C．直线的方程为 D．圆心到直线的距离为 【答案】AC 【分析】先将圆的方程转化为圆的标准方程，并求得圆心与半径；根据两点间的距离公式即可判断选项A；根据是外接圆的直径，可判断选项B；根据题意求出以为直径的圆的方程，并将其与圆的方程作差后得到直线的方程即可判断选项C；利用点到直线的距离公式即可判断选项D. 【详解】依题意，圆的标准方程为，圆心，半径为；所以，故A正确； 因为是外接圆的直径，所以其面积为，故B错误； 因为点均在以为直径的圆上，所以其圆方程为， 化简得，将两圆方程相减得直线的方程：，故C正确； 由选项C知，直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，所以D错误. 故选：AC. 6．（2025高三·全国·专题练习）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）；（2）和 【分析】（1）先判断点在圆上，根据直线与切线垂直得到切线斜率，利用点斜式直线方程求得切线方程； （2）先判断点在圆外，根据切线斜率存在和不存在分类讨论，结合圆心到直线的距离等于圆的半径，求得切线方程. 【详解】(1)点在圆上，圆心，由斜率公式得， 故所求切线的斜率为．故所求的切线方程为：，即． （2）由于，所以点在圆外； ①当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 故，解得，所以切线方程为． ②当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离也为1，这时直线与圆也相切， 所以另一条切线方程是． 综上所述，所求切线方程为和． 题型五：直线与圆的位置关系中有关最值的问题 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 1．（25-26高三上·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的几何意义是点与两点连线的斜率，利用直线与圆相切，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 3．（25-26高三上·四川南充·月考）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】C 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则．所以面积的最大值是 故选：C． 考点08 圆与圆的位置关系 知识点：圆与圆的位置关系 ⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|： 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 题型一：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 1．（2025秋·甘井子校级期末）圆与圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】 【分析】根据圆心距与半径的关系判断． 【解答】解：由题意，圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切． 故选：． 2．（2025秋·齐齐哈尔期末）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A．椭圆 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】 【分析】根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹． 【解答】解：设动圆的圆心为，半径为， 圆，圆， 则，，， 又， 所以点在以，为焦点的椭圆上． 故选：． 3．（25-26高三·湖北月考）已知与相交，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把两圆化为标准形式求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出圆心距，利用圆与圆的位置关系构造不等式，解不等式求出实数的取值范围． 【解答】解：因为的标准方程为， 所以圆心，半径， 因为的标准方程为， 所以圆心，半径， 则，解得或， 所以， 因为与相交， 所以， 因为恒成立， 则只需满足， 所以， 化简得，解得或， 综上，的取值范围为． 故选：． 4.（25-26高三上·重庆·月考）如图，圆 ，圆 ，圆 两两外切，若圆 ，圆 ，圆 的半径分别为3，2，1，且圆 的圆心 为坐标原点，圆 的圆心 在 轴正半轴上，圆 的圆心 在第一象限上，则 的坐标为 . 【答案】 【分析】根据三个圆两两外切，求出为直角三角形，利用三角函数求C点坐标即可. 【详解】因为三圆两两外切， 所以， 所以，即为直角三角形， 所以， 所以， 即. 故答案为： 题型二：两圆的公共弦问题 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程。 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程。 1．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，从而可设出直线l的方程，将点的坐标代入即可求解. 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·安徽·期末）已知圆与圆交于，两点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长公式求得的值. 【详解】将圆和圆方程相减， 可得直线的方程为， 圆的圆心为，半径为1， 点到直线的距离为， 解得，又，所以. 故选：B. 3．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，从而可设出直线l的方程，将点的坐标代入即可求解. 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）已知圆，则（    ） A．与圆一定相交 B．圆与圆的公共弦的方程为 C．若，，则在上存在两个点使得 D．过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出圆心为，半径为，选项A，求出直线恒过定点，得到，则与圆相交；选项B，圆和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程；选项C，设，由，得到的轨迹是圆，求出两个圆心间的距离，从而得到答案；选项D，切线长，要使切线长的最小值，需要最小，由的最小值为到的距离，从而得到切线长的最小值. 【详解】的圆心为，半径为， 选项A，，整理得到， 则，解得，故直线恒过定点， ，与圆相交，故选项A正确； 选项B，圆整理得到， 和圆这两个圆的方程相减得到公共弦所在的直线方程， 即公共弦的方程为，故选项B正确； 选项C，设，，，， 在以为圆心，半径为的圆上，两个圆心间的距离为， ，两圆相切，上存在一个点使得，故选项C不正确； 选项D，如图，切线长，要使切线长的最小值，需要最小， 的最小值为到的距离， 切线长的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD. 题型三：两圆的公切线问题 （1）定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； （2）公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 1．（25-26高三上·天津武清·月考）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是 ． 【答案】4 【分析】由圆的方程求出两圆的圆心坐标及半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可判断两圆的位置关系，进而得公切线的条数. 【详解】由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为； 由圆的方程，即可知圆的圆心为，半径为. 所以两圆的圆心距为， 而，所以圆与圆外离， 则两圆的公切线的条数是4. 故答案为：4. 2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再根据两圆恰有三条公切线可得两圆外切，从而得，化简即可. 【详解】由两圆的标准方程分别为和，得圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆恰有三条公切线，所以两圆外切， 所以，则，即， 故选：C 3．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 4．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心和半径，对A，判断出两圆的位置关系，即可求解；对B，两圆相减，即可求解；对C，利用圆的弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对D，连接，从而得，即可求解. 【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为， 由，得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，则，所以两圆相交， 则两圆有2条公切线，所以A正确， 对于B，由①，②，两式相减得， 即，所以B正确， 对于C，因为到直线的距离为，所以，故C错误， 对于D，连接，易知，则四边形的面积为， 由选项C知，，又，所以，故D正确， 故选：C. 5．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为.    故选：C. 6．（2026·陕西渭南·一模）已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 【答案】AB 【分析】对A，将直线含参部分合并同类项列出方程组求解直线恒过的定点即可；对B，先判断定点与圆的位置关系，弦长最小时即为定点与圆心的连线与已知直线垂直时取得，再运用弦长公式计算即可；对C，利用两个圆心的距离与半径判断两个圆的位置关系；对D，当时直线确定，先求出圆心到直线的距离，再结合半径长度进行判断. 【详解】对于A，直线的方程可变形为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆化成标准方程为， 其圆心为，半径为3，满足， 所以两圆外切，共有三条公切线，故C错误； 对于D，圆，则圆心，半径， 当时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：AB. 题型四：圆系方程问题 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． （1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为： 简记为： 当时，简记为：（不含） （2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 1．（2025高三·全国·专题练习）求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 【答案】 【分析】设过圆两交点的圆为，利用过原点求得，可求圆的方程. 【详解】设过圆两交点的圆方程为， 因为圆过原点，所以，得， 所以． 所以圆的方程为． 2．（2025高三·全国·专题练习）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】设过两个圆的交点的圆的方程，将点的坐标代入，求出参数的值，进而求出该圆的方程． 【解答】解：设圆与圆的交点的圆的方程， 由题意将的坐标代入可得：， 解得：， 所以所求的圆的方程为：， 故选：． 3．（25-26高三·内蒙包头上·期中）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是　 　． 【分析】根据题意可设所求圆的方程为，再利用此圆过原点，所以将原点的坐标代入方程可得的值，进而求出圆的方程． 【解答】解：设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得， 解得． 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：． 4．（25-26高三·陕西渭南·月考）已知圆与圆． （1）求证：圆与圆相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【分析】（1）利用两圆圆心距与半径的和、差比较，即可得到结论； （2）将两圆方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程； （3）设出过两圆交点的圆系方程，确定圆心坐标，利用圆心在直线上，即可求得圆的方程． 【解答】（1）证明：圆化为标准方程为 ， 圆的圆心坐标为，半径为 两圆相交； （2）解：将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在直线的方程为； （3）解：设所求圆的方程为 即 圆心坐标为， 代入直线可得：， 所求圆的方程为． 题型五：与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 1．（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1），由几何意义得表示圆弧上的点到距离的平方减1，利用图象求最值即可求解； （2）令，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； （3）由得几何意义，表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象求解即可； （4）由，而表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象得到的范围即可求解. 【详解】（1）根据题意，表示以为圆心，半径为1的圆弧， ，表示圆弧上的点到距离的平方减1， 又，， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围为. （2）令， 当直线与圆弧交于点时取得最小值； 当直线与圆弧相切，即圆心到直线距离， 解得或（舍），此时， 所以的取值范围为. （3）表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小为，最大为， 所以的取值范围为. （4）， 而表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小值为， 当直线与圆弧相切时取得最大值，设， 圆心到直线的距离，解得或（舍）， 所以的取值范围为. 2．（25-26高三上·江苏南通·期中）平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则 ；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据圆与直线的关系求出圆的半径即可；先设出直线的方程，然后求出平行直线间的距离即为正方形的边长，然后求出弦长，进而得到等式，令判别式大于等于0，即可求得半径的最小值. 【详解】圆到直线的距离为， 因为圆上存在3个点到直线的距离为， 所以半径为； 设正方形边长为，则所在直线方程为， 则该直线与直线的距离为， 为圆与直线的交点，则弦长， 可得，整理得， 该方程有实数解，则判别式，解得， 故的最小值为. 故答案为：；. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点、，可得出，则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，数形结合以及利用圆的几何性质可求其最小值. 【详解】设点、，则，，易知圆心为，半径为， 所以， 则， 则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，如下图所示： 由图可知，当直线与直线垂直且为线段与圆的交点时， 取最小值，且其最小值为，故模的最小值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 查漏补缺02 直线与圆的方程 （8大考点+查补知识点+30种题型突破） 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 直线的倾斜角与斜率 知识点一：直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 规定 当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为。 记法 图示 范围 作用 （1）表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； （2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。 知识点二：直线的斜率 （1）定义与表示 定义（为倾斜角） 一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率 直线斜率不存在 记法 常用小写字母表示，即 范围 作用 用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度 （2）由两点坐标求斜率 如果直线经过两点、，且，则直线的斜率公式为。 注： 1.运用公式的前提是，即直线不与轴垂直。 2.斜率公式与，在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的。 3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成，即下标的顺序一致。 （3）由方向向量求斜率 如果直线的方向向量为，且，则直线的斜率公式为。 知识点三：直线的斜率与倾斜角的关系 直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． 题型一：直线的倾斜角与斜率 1. 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围； 2. 熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为； 3. 求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割． 4. 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论． 1．（25-26高三上·海南三亚·期中）下列命题： ①任何一条直线都有唯一的倾斜角： ②任何一条直线都有唯一的斜率： ③倾斜角为90°的直线不存在： ④倾斜角为0°的直线只有一条． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 . 3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线的倾斜角为，则 ． 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 5．（25-26高三·广东惠州·月考）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（   ） A． B．3 C．-3 D． 6．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：三点共线问题 设点，，，若或或，则，，三点一定共线. 1．（2025春•秦都区校级期中）已知，，，且，，三点共线，则　　 ． 2.（25-26高三上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 3．（2025高三上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 4．（2025秋•杨浦区校级期中）若、、三点不能构成三角形，则　　． 题型三：过定点的直线与线段的相交问题 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，若过的直线与线段相交，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高三上·贵州铜仁·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 考点02 直线方程的五种形式 知识点一：直线的五种方程形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点二：各种方程形式的要求 1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 3．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线． 4．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距． 5．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式． 6.截距的概念 ①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可； ②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。 7.截距式方程应用的注意事项 ①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； ②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； 8.一般式方程中系数的几何意义： 当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 题型一：求直线方程 求直线方程的两种方法 （1）直接法：根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程． 例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式. （2）待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏. 1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 ． 2．（2026·四川绵阳·二模）直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为 . 3．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 4．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点，，，则经过两边和的中点的直线方程为 ． 6．（2026高三·全国·专题练习）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为 ． 题型二：直线与坐标轴围成的三角形面积问题 由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说. 1．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知点，直线 （1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； （2）若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 考点03 直线的位置关系 知识点一：两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 知识点二：直线系方程 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． 2.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． 3.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 题型一：两直线的位置关系 判断两条直线位置关系的注意点 （1）斜率不存在的特殊情况． （2）可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 1．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·月考）若直线平行于直线，且垂直于直线，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·假期作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若直线：与：互相垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 题型二：平行与垂直的直线系方程的应用 与直线平行的直线可以设为； 与直线垂直的直线可以设为． 1．（25-26高三上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26河南驻马店·月考）经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东江门·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 ． 4．（25-26高二上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过两条直线和的交点，且平行于直线； (2)垂直于直线，且到点的距离为1. 题型三：两直线的交点问题 过直线与的交点的直线系方程为，但不包括. 1．（2025高三上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026高三·全国·专题练习）若三条直线相交于一点，则m的值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 题型四：两直线的夹角问题 若直线与直线的夹角为，则. 1．（2025高三·上海·专题练习）直线与的夹角为 . 2．（25-26高三上·上海浦东新·月考）直线与直线的夹角大小为 . 3．（2025高三上·上海）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ． 4．（25-26上海·月考）如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 . 题型五：直线过定点问题 解含有参数的直线恒过定点问题的方法： 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为，其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组，解得．若整理成的形式，则表示的所有直线必过定点． 1．（2026高三·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 2．（25-26高三上·重庆·月考）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为 ． 3．（2025秋•郯城县校级期中）已知直线经过定点，直线经过点，且的方向向量，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•天津校级期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025秋•河北区期中）已知直线，直线，则下列结论错误的是（　　） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 6．（2025秋•罗平县校级月考）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为 　　． 考点04 距离问题 知识点：三种距离公式 （1）两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. （2）点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 题型一：点到点的距离 设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以|P1P2|＝. 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 3．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知直线与直线（）交于点，点是圆上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东佛山·月考），及是直角坐标平面上的三点．设及分别是的垂心及外心．求的长度．（　　） A．11 B．21 C．22 D．33 题型二：点到线的距离 点到直线的距离(其中点，直线方程为（）). 1．（2025秋•芜湖期中）（多选）对于直线，下列选项正确的是　　 A．直线恒过点 B．当时，直线与轴上的截距为3 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，则的面积为 3．（25-26高三上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程： （1）经过两条直线和的交点，且平行于直线； （2）垂直于直线，且到点的距离为1. 题型三：平行线间距离 两平行线间的距离(其中两平行线方程分别为，（）). 两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2.（25高三上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．12 D．14 3．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点05 对称性问题 知识点一：点关于点的对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点 （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 知识点二：直线关于点的对称 （1）实质：两直线平行 （2）①转化为“点关于点”的对称问题（在上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于对称的点，然后求出直线方程）。 ②利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）。 知识点三：点关于直线的对称 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 （2）①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则 (直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上) ②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为。 知识点四：直线关于直线的对称 （1）当与相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点 第三步：利用两点式写出方程 （2）当与平行时：对称直线与已知直线平行。 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。 题型一：关于点的对称 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 1．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·天津·专题练习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 . 3.（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 题型二：关于线的对称 求直线l关于直线对称的直线 若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等． 此时分别为，由，求得，从而得． 若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知:.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 4.（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 . 5．（25-26高三上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 考点06 圆的方程 知识点一：圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 知识点二：点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 常用结论 1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 3．圆心在任一弦的垂直平分线上． 题型一：圆的方程概念 圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为。 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·上海·月考）若方程表示一个圆，则的取值范围为 ． 4．（25-26高三上·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 题型二：求圆的方程 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 1．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·一模）过，，三点圆的方程为 . 3．（25-26高三上·天津北辰·月考）已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为 . 4.（25-26高三上·广东江门·月考）已知的顶点分别为、、 (1)求边上的中线的方程； (2)求的外接圆的方程． 题型三：点与圆的位置关系判断 点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．（25-26高三上·重庆·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽黄山·期末）已知是方程的两个不等实数根，则点与圆 的位置关系是（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆，则“点在圆外”是“点在圆外”的（     A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：与圆有关的对称性问题 1.圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 2.圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 3.圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 1．（25-26高三上·内蒙·月考）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：圆过定点问题 圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点． 1．（2025高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交曲线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点. (1)问：以为直径的动圆是否过定点？ (2)若直线交准线于点，求证：点恰为（1）中圆的圆心． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点，问：以为直径的动圆是否过定点？    考点07 直线与圆的位置关系 知识点一：直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d，圆的半径为r 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点二：直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 知识点三：直线与圆相切时的切线问题 （1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 ①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； ②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况。 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 （2）求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 （3）过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 知识点四：与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为； （2）过上一点的圆的切线方程 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为： （4）若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为。 （5）圆心的三个重要几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在某一条弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。 题型一：直线与圆的位置关系判断 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 2．（2025秋•迎江区校级期中）（多选）以下四个命题表述正确的是　　 A．直线恒过定点 B．过两点的直线方程为 C．已知直线过点且在，轴上截距相等，则直线的方程为 D．若曲线与有两个交点，则实数的取值范围是 3．（25-26高三上·全国·月考）已知直线，圆，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 题型二：圆上的点到直线的距离个数问题 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，。 1．（25-26高三上·河南·期末）（多选）已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有（ ） A．存在使得圆 关于直线 对称 B．圆心到直线 的距离最小值为 C．当 时，直线 与圆 相切 D．存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为 2．（25-26高三上·河南南阳·月考）（多选）圆上到直线的距离为3的点恰好有2个时，可取值为（   ） A．0 B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·月考）经过点，半径为4的圆的圆心为，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 6．（25-26高三上·河北邯郸·月考）在平面直角坐标系中，，点满足，则点到直线距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：直线与圆相交的问题 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 1．（25-26高三上·重庆·月考）直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（   ） A．或 B．或 C． D．或 2．（25-26高三上·河南·月考）（多选）已知直线与交于，两点，为实数，则下列正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．若，则 D．若上恰有4个点到直线l的距离为，则 3．（25-26高三上·宁夏银川·月考）（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 B．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 C．当直线l：与圆C：相交所得弦长最短时，m的值为-1 D．直线与直线互相平行，则 4．（25-26高三上·吉林长春·月考）经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 . 5．（25-26高三上·四川南充·月考）若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北孝感·一模）已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．存在，使得 B．存在，使得与圆C相切 C．，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D．设圆心到，的距离分别为，，则为定值 7．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知圆，直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线与圆相切，求的值； (3)若直线与圆交于点，且，求的值． 题型四：直线与圆相切的问题 1.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 2.常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 1．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知圆M的圆心为，且直线与圆M相切，则圆M的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆九龙坡·一模）过点作圆的切线，则切线长为 ． 3．（2026·山东青岛·模拟预测）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）已知圆，直线，则（    ） A．圆C的圆心坐标为 B．直线l的方向向量和共线 C．当直线l与圆C相切时，或 D．当时，l与圆C的相交弦长度为2 5．（25-26高三上·江西·月考）（多选）过点作圆的两条切线，，切点为，.则（    ） A． B．外接圆的面积为 C．直线的方程为 D．圆心到直线的距离为 6．（2025高三·全国·专题练习）（1）已知圆，求过点的圆的切线方程； （2）过点作圆的切线，求此切线的方程． 题型五：直线与圆的位置关系中有关最值的问题 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果． 1．（25-26高三上·山西太原·期中）若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 3．（25-26高三上·四川南充·月考）直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（    ） A． B． C．6 D．4 考点08 圆与圆的位置关系 知识点：圆与圆的位置关系 ⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|： 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 常用结论 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 题型一：圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 1．（2025秋·甘井子校级期末）圆与圆的位置关系为（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2025秋·齐齐哈尔期末）与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A．椭圆 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 3．（25-26高三·湖北月考）已知与相交，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·重庆·月考）如图，圆 ，圆 ，圆 两两外切，若圆 ，圆 ，圆 的半径分别为3，2，1，且圆 的圆心 为坐标原点，圆 的圆心 在 轴正半轴上，圆 的圆心 在第一象限上，则 的坐标为 . 题型二：两圆的公共弦问题 圆：，圆：， 则为两相交圆公共弦方程。 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程。 1．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为 ． 2．（25-26高三上·安徽·期末）已知圆与圆交于，两点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．（2026·陕西宝鸡·一模）若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为 ． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）已知圆，则（    ） A．与圆一定相交 B．圆与圆的公共弦的方程为 C．若，，则在上存在两个点使得 D．过上一动点向圆引切线，则切线长的最小值为 题型三：两圆的公切线问题 （1）定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； （2）公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 1．（25-26高三上·天津武清·月考）在平面直角坐标系中，已知圆与圆，则两圆的公切线的条数是 ． 2．（25-26高三上·辽宁·月考）已知两圆和恰有三条公切线，则点所在的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26高三上·陕西渭南·月考）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 5．（25-26高三上·河北·开学考试）若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西渭南·一模）已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 题型四：圆系方程问题 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． （1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为： 简记为： 当时，简记为：（不含） （2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 1．（2025高三·全国·专题练习）求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程． 2．（2025高三·全国·专题练习）过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三·内蒙包头上·期中）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是　 　． 4．（25-26高三·陕西渭南·月考）已知圆与圆． （1）求证：圆与圆相交； （2）求两圆公共弦所在直线的方程； （3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 题型五：与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题． (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值． (3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 1．（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26高三上·江苏南通·期中）平面直角坐标系中，圆，直线.若圆上存在3个点到直线的距离为，则 ；若直线上存在两点，圆上存在两点，使得四边形为正方形，则的最小值是 . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $