北京市通州区2025-2026学年高二上学期1月期末数学样题

通州区2025一2026学年度第一学期期末 高中二年级数学样题 2026年1月 本套样题共4页，共135分。建议时长100分钟。学生务必将答案答在答题卡上，在样题上 作答无效。结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1)已知直线l1的方程为y=2x一1，直线l2的方程为y=kx十2，若L1⊥l2,则= (A)-2 (B)-号 c号 (D)2 (2)已知圆的方程为x2+y2一2y一3=0，则该圆的半径为 (A)W2 (B)W3 (C)2 (D)N7 (3)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为4，则点F的坐标为 (A)(2,0) (B(号0 (C)(3,0) (D)(4,0) (4)在等比数列{an}中，a1=2,公比q=2,则a6= (A)12 (B)16 (C)32 (D)64 (5)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2-2m,则an= (A)an=2n-3 (B)an=2n-1 (C)an=3n-4 (D)an=4n-5 (6)已知在3和18之间插人4个数构成一个新数列，若这6个数成等差数列，则新数列的中间两 项的等差中项为 (A)10 B号 (C)11 D号 (7)如图，在平行六面体ABCD-A1B,C,D,中，点E为CC,的中点，设AB=a,AD=b, AA1=c,则 D C NA应=a-b-c (B)AE=a-b+号 e (C)AE=a十b-c (D)AE-a+0+zc (8)已知双曲线C后-苦-1的有焦点为R,点M在直线1：z=3上，直线FM交双曲线C于点 N,过点N作直线L的垂线，垂足为R,则N- INF (A) 号 (C是 (D)6 高二数学样题第1页（共4页） ,人 (9)某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛 物线(A→B-→C)状，如图所示.现要求水流最高点B距离地面为3米， 点B到管柱OA所在直线的距离为2米，且水流落在地面以O为圆心 的圆上，若圆O的半径为5米，则管柱OA的高度应为 (A)号米 (B)米 (c号米 (D)号米 (l0)已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,a1=7,an十a+2=2am+1(n∈N'）.若对于任意n∈N', 都有Sn一m√Sn≥3a.-7(m∈R)恒成立，则m的最大值为 (A号 (B) (C)1 2 (D)3 第二部分（非选择题共95分） 二、填空题每小题5分，共25分。 (1)已知双曲线的方程为号-一苦=1，则该双曲线的窝心率为 (12)已知数列{an}满足a1=1,an=2am-1十1(n≥2)，则a3= (13)已知两个数列A1:2,6,10,…,202和数列A242,8,14,…,200都是等差数列，则数列A1的第 21项为 ;将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新 数列的各项之和为 (14)我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是 每层为“正三角形数”的三角锥的锥垛，如图所示，顶上一层1个球，第 二层3个球，第三层6个球，第四层10个球，第五层15个球，…，若一“落一 形”三角锥垛有30层，则该锥垛球的总个数为 (参考公式：12+22+32+…十m2=nn+1)(2n+1（m∈N) 6 (15)已知数列a,)的前m项和为S,若a,=1,a=2at=号（2a,+a),给出下列四个结论： ①数列{an+1一an}为等比数列； @a,=号-是(-号)“， ®当n为奇数时，S+:-S,>9 ④数列{an}中存在连续三项成等差数列. 其中所有正确结论的序号是 高二数学样题第2页（共4页） 三、解答题共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题14分) 已知双曲线C:一=1(Q>0)的左右焦点分别为F,F2,且点F,的坐标为（一5,0 (I)求双曲线C的方程； (Ⅱ)若点P为双曲线C的右支上一点，且点P到F2的距离为1，求|PF|的值； (Ⅲ)若点Q为双曲线C的右顶点，求点Q到双曲线C的一条渐近线的距离， (17)(本小题14分) 已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn,且a1=1,S1=121,数列{bn}是等比数列，且b1=1, b2b3=8. (I)求数列{a.}和{bn}的通项公式； P (Ⅱ)从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列{cn}的前9项和Tg· 条件①：cn=bn一4； 条件②：cn=an十4n. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 (18)(本小题14分) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥AD,在△ADE中，AE=DE,AE⊥DE,点F是AD 的中点，平面ABCD⊥平面ADE,且AD=2AB=2BC=2. (I)求证：AD⊥CE; (Ⅱ)求平面CEF与平面BDE夹角的余弦值； F 高二数学样题第3页（共4页） (19)(本小题13分) 已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,点M为抛物线E上一点. (I)若点M到抛物线E的准线的距离为4，求点M的坐标； (Ⅱ)若直线y=x一1与抛物线E交于A,B两点，求线段AB的长； (Ⅲ)若点N为直线l:x一y+3=0上一点，求|MN|的最小值.（直接写出结果即可） (20)(本小题15分) 已知椭圆C:号+y=1,过椭圆上一点A(3,0),且斜率为（≠0）的直线L交椭圆于另一点B, 点C与点B关于原点对称. (I)若点B的坐标为(0，一1)，求△ABC的面积； (Ⅱ)若直线AB,AC分别与直线x=一3交于M,N两点，求|MN|的取值范围. (21) 高二数学样题第4页（共4页） 通州区2025-2026学年第一学期高二年级期末质量检测 数学参考答案及评分标准 2026年1月 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分) 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 答案 B C A D A B D A C A 第二部分（非选择题共110分) 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)√3(12)7(13)82,1666(14)4960(15)①③ 三、解答题（共6小题，共85分) (16)(本小题14分) 餐：(1)因为双电找Cya>0)的左焦点的坐标为(5.0 所以b2=1,c=V5 所以a2=c2-b2=5-1=4 所以双曲线C的方程为父-y=1。 .5分 (Ⅱ)因为点P为双曲线C的右支上一点， 所以P-PF=2a=4. 因为点P到F,的距离为1，即PF=1. 所以PF=5, .9分 ()因为点Q为双曲线C的右顶点，所以点Q的坐标为(2,0) 因为双曲线C的方程为士-y=1, 4 1 所以双曲线C的一条渐近线方程为y=二x,即x-2y=0 高二数学参考答案及评分标准第1页（共7页） 所以点Q到双曲线C的距离d= √5 5 14分 (17)(本小题14分) 解：(I)设数列{an}的公差为d, 因为数列{an}是等差数列，且a=1,S,=121, 所以1la+1×10d=121,即11x1+Lx10d=121 2 2 解得d=2. 所以an=a+(n-1)d=1+2n-1)=2n-1. .4分 因为数列{b}是等比数列，且b=1,bb=8. 所以bqbg2=8,解得q=2 所以bn=b·g1=21. .8分 (Ⅱ)选择条件①：Cn=bn-4. 因为Cn=bn-4, 所以T)=G+C2++C,=b-4+b,-4+…+b-4 =h+h++h,-4×9=1x1-2-36 1-2 =475. 所以数列{cn}的前9项和为475. .14分 选择条件②：Cn=an+4n. 因为Cn=a,+4n,所以Cn=2n-1+4n=6n-1. 所以T)=G+c2+…+C,=6×1-1+6×2-1+…+6×9-1 =6×(1+2+…+9)-1×9=6×45-9 =261. 所以数列{cn}的前9项和为261. .14分 高二数学参考答案及评分标准第2页（共7页） (18)（本小题14分) 解：因为AD∥BC,AB⊥AD,点F是AD的中点， 所以CF⊥AD 因为AE=DE,点F是AD的中点， 所以EF⊥AD 因为平面ABCD⊥平面ADE,平面ABCD∩平面ADE=AD, 所以EF⊥平面ABCD, 因为CFC平面ABCD, 所以EF⊥CF. 以F为原点，分别以FA,FC,FE所在直线为x轴、y轴、乙轴，建立空间直角坐标系Fxyz. 3分 (I)证明：因为AD=2AB=2BC=2, 所以A1,0,0),B1,1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),E0,0,1),F(0,0,0) 所以AD=(-2,0,0),CE=(0,-1,1) 所以AD.CE=(0,-1,1)·(-2,0,0)=0 所以AD⊥CE 7分 (II)因为CF⊥AD,EF⊥AD,CF∩EF=F, 所以AD⊥平面CEF. 所以AD是平面CEF的一个法向量. 所以AD=(-2,0,0). 设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量，所以n·BE=0,DE=0. 因为BE=(-1,-1,1),DE=(1,0,1), -x-y+z=0, 所以 取x=-1,则y=2,z=1. x+z=0. 所以n=(-1,2,1). 所以n=(-1,2,1)是平面BDE的一个法向量. 所以AD.n=2,AD=2,m=V6 设平面CEF与平面BDE的夹角为O, AD:m_26 高二数学参考答案及评分标准第3页（共7页） 所以平面CEF与平面BDE夹角的余弦值为V6 6 .14 分 (19)(本小题13分) 解：（I)因为抛物线E:y2=4x,所以抛物线E的准线方程为x=-1. 设点M的坐标为(m,n), 因为点M到抛物线E的准线的距离为4， 所以m-(-1)=4,即m=3. 所以n2=4x3=12.所以n=-2√3，或n=23 所以点M的坐标为(3，-2√3)，或(3,2W3) 4分 y=x-1, (Ⅱ)由方程组 y2=4x 消去y,得x2-6x+1=0: 设A(x,y),B(x,y),所以X+x=6,xx3=1. 所以k-x=√(x+6)2-4x,=√6-4=42 所以AB=V3-x)2+(32-)月 =V2x-x=V2×4W2=8 所以线段AB的长为8. …10分 (Ⅲ)√2 13分 (20)(本小题15分) 解：(I)因为点B的坐标为(O,-1),点C与点B关于原点对称， 所以点C的坐标为(O,1).所以BC=2 因为点A的坐标为(3,0)，所以OA=3. 所以△ABc的面积为Bco4=×2x3=3。 .4分 (IⅡ)因为直线1过点A(3,0),且斜率为k(k≠0)， 所以直线1的方程为y=k(x-3) 高二数学参考答案及评分标准第4页（共7页） y=k(x-3), 由方程组 x 9+y2s1 消去y,得(1+9k2)x2-54k2x+81k2-9=0. .5分 由△=(-54k2)2-41+9k2)81k2-9)=36>0, 设By),所以5+3=54 1+9k2 27k2-3 所以x=1+9k2 27k2-3 所以y=k( 1+9k2-3)=-6 1+9k2 a8的型原79纸 .8分 因为点C与点B关于原点对称， 所以点C的坐标为3-27k2 6k 1+9k2'1+9). 6k 所以直线AC的方程为y= 1+9k2 327e-3 (x-3) 1+9k2 因为直线AC与直线x=-3交于点N, 以点N的坐标为( 因为直线AB与直线x=-3交于点M, 所以点M的坐标为(-3，-6k). 所以MN= 当且仅当 3k 6k时，等号成立. 1 1 所以当k=一 或k=专时N取到最小值4 所以MW的取值范围是[4，+∞). .15分 高二数学参考答案及评分标准第5页（共7页） (21)(本小题15分) 解：（I)证明：因为数列{an}满足a=1,am+1=an+2, 所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a,=2n-1,S,=1+2n-D=n2 2 所以an1=2n+1. 所以anH-3Sn=2n+1-3n2=-(3n+1)(n-1)≤0. 所以an+1≤3Sn. 所以数列{an}是“3-数列”. .5分 (Ⅱ)数列{bn}不是“-数列”，理由如下： 因为b,=2w+, 1 所以S=么=1,6=2u+0 当u=4,y=5,u=4时，6=2S=4 9 所以b,≥S·不满足对于任意n∈N，都有bn+1≤Snu∈N)恒成立. 所以数列{bn}不是“4-数列” 9分 m)因为d,=21+5八. 1 质、20-20-2+g的D 1-2+1-52 因为数列{dn}是“L-数列”，所以dn≤uSn: 所以2+5")≤5(2-)+长5”-0. 8 高二数学参考答案及评分标准第6页（共7页）