第五章 数列（单元测评卷）高二数学人教B版

第五章 数列·单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C．nn D． 【答案】B 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：B. 2．已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有； 取，数列的公比，而数列是递减数列， 所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．在数列中，点在直线上，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【详解】因为点在直线上， 所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：C. 4．等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 5．如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（   ） A．32 B．40 C．48 D．64 【答案】A 【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，，第n个正方形的面积为， 设第n个正方形的边长为,则第n个正方形的对角线长为， 所以第n+1个正方形的边长为，， 即数列{}是首项为，公比为的等比数列，， 数列{}是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于32. 故选：A 6．已知数列满足：，对，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以为公比为的等比数列， 则， 故． 取，则． 故选：C． 7．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（   ） A．63 B．127 C．255 D．256 【答案】C 【详解】由得， 又，易得， 两边同时取以为底的对数得， 即， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故选：C. 8．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 【答案】D 【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项， 因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为， 则新数列到为止的前的总项数为， 当时，可得； 当时，可得， 所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1， 因为等差数列满足， 所以新数列的前90项和为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 【答案】AB 【详解】因为，所以为常数， 又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确； 由等差中项的性质 故C错误； 又，所以，所以选项A正确； 对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为. 由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误． 故选：AB. 10．设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，，所以，即的偶数项均为-2，B正确． 因为，所以． 又因为，所以的奇数项均为2，A正确． ，C，D错误． 故选：AB 11．记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】由，可得： ， 两式相减得：，即， 所以为等比数列，故B正确； 再由，可得， 即， 当时，有， 由于不满足上式，所以，故A错误； 由 ，故C正确； 由， 则， 两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 【答案】 【详解】因为，且可知：的第一个取值为， 由题意可知，当时，， 所以第一步需验证的不等式为． 故答案为：. 13．设等差数列的前项和为，则的最小值是 . 【答案】 【详解】因为等差数列的前项和为， 设公差为，则，化简得， 解得，所以，. 所以. 令，此函数为对勾函数，根据对勾函数的单调性可知， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 因为只能取整数，当时，；当时，； 即时取最小值为. 故答案为：. 14．已知正项数列的前n项和为，．数列的首项，数列为等比数列，且公比，则数列中的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为正项数列的前n项和为，， 所以当时，， 所以， 所以， 又因为，所以， 由，令，则，所以， 所以数列是以6为首项以6为公差的等差数列， 所以， 数列的首项，数列为等比数列，且公比， 则，则， 又因为， 当时，可得，当时，可得， 则数列中的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列是等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 2分 得， 4分 则. 6分 （2）得； 得， 9分 故当时有最小值，为. 13分 16．（15分）记数列的前项和为，已知. (1)求； (2)证明：是等比数列； (3)求. 【详解】（1）因为， 当时，则，可得； 2分 当时，则，即，可得； 综上所述：，. 4分 （2）因为，， 当时，则，， 两式相减得，即，整理可得， 7分 且，所以是以首项为3，公比为3的等比数列. 9分 （3）由（2）可知 ，即， 可得， 11分 所以 . 15分 17．（15分）已知数列为等差数列，，前n项和为. (1)求出，并求其最值； (2)数列中是否存在三项构成等比数列，如果存在则求出k、p、q，如果不存在，请说明理由. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分 由，可知， 4分 二次函数的对称轴，故当取正整数时，单调递增， 故有最小值，无最大值； 7分 （2）不妨假设三项构成等比数列，则有， 即， 展开上式得：， 9分 因为k、p、q均为正整数，所以上式要成立，等价于 11分 ， 所以，则，所以，与已知矛盾， 故不存在三项成等比数列； 15分 18．（17分）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 【详解】（1）由，得, 2分 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故所以; 5分 （2）由题意得, 从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项， 8分 按原来顺序组成新数列，可知, 10分 则,可通过分组求和，即一个等比数列求和和一个常数列求和， 故, 13分 故问题转化为求解满足的最小正整数， 由可知时，;时，, 故使得不等式成立的最小正整数的值为10. 17分 19．（17分）已知正项数列的前项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前项和，且满足. (1)求，的通项公式； (2)设，当时，若对任意的恒成立，求的最大值. 【详解】（1）由于①， 当时②， ①－②得， ， 2分 ，， 又当时，得，， 故是以为首项，为公差的等差数列，， 5分 等比数列是递增数列，，故公比， 由可得，解得，故； 7分 （2）数列的前项和， 9分 数列的前项和，， 11分 由题意可知，只需即可，， 14分 当时，；当时，，故， ，故实数的最大值为. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列·单元测评卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AB BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）设数列的公差为，则， 2分 得， 4分 则. 6分 （2）得； 得， 9分 故当时有最小值，为. 13分 16．【详解】（1）因为， 当时，则，可得； 2分 当时，则，即，可得； 综上所述：，. 4分 （2）因为，， 当时，则，， 两式相减得，即，整理可得， 7分 且，所以是以首项为3，公比为3的等比数列. 9分 （3）由（2）可知 ，即， 可得， 11分 所以 . 15分 17．【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分 由，可知， 4分 二次函数的对称轴，故当取正整数时，单调递增， 故有最小值，无最大值； 7分 （2）不妨假设三项构成等比数列，则有， 即， 展开上式得：， 9分 因为k、p、q均为正整数，所以上式要成立，等价于 11分 ， 所以，则，所以，与已知矛盾， 故不存在三项成等比数列； 15分 18．【详解】（1）由，得, 2分 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 故所以; 5分 （2）由题意得, 从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项， 8分 按原来顺序组成新数列，可知, 10分 则,可通过分组求和，即一个等比数列求和和一个常数列求和， 故, 13分 故问题转化为求解满足的最小正整数， 由可知时，;时，, 故使得不等式成立的最小正整数的值为10. 17分 19．【详解】（1）由于①， 当时②， ①－②得， ， 2分 ，， 又当时，得，， 故是以为首项，为公差的等差数列，， 5分 等比数列是递增数列，，故公比， 由可得，解得，故； 7分 （2）数列的前项和， 9分 数列的前项和，， 11分 由题意可知，只需即可，， 14分 当时，；当时，，故， ，故实数的最大值为. 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 数列·单元测评卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．数列的一个通项公式为（ ） A． B． C．nn D． 2．已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在数列中，点在直线上，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 4．等差数列前n项的和为，已知，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于（   ） A．32 B．40 C．48 D．64 6．已知数列满足：，对，则（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则（   ） A．63 B．127 C．255 D．256 8．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 10．设数列的前项和为，已知，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．记为数列的前项和，已知，则（   ） A．为等比数列 B．为等比数列 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是 . 13．设等差数列的前项和为，则的最小值是 . 14．已知正项数列的前n项和为，．数列的首项，数列为等比数列，且公比，则数列中的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列是等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值. 16．（15分）记数列的前项和为，已知. (1)求； (2)证明：是等比数列； (3)求. 17．（15分）已知数列为等差数列，，前n项和为. (1)求出，并求其最值； (2)数列中是否存在三项构成等比数列，如果存在则求出k、p、q，如果不存在，请说明理由. 18．（17分）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数n的值. 19．（17分）已知正项数列的前项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前项和，且满足. (1)求，的通项公式； (2)设，当时，若对任意的恒成立，求的最大值. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $