专题05 必要性探路与端点效应、指对同构、切线放缩、洛必达法则及对数均值不等式等导数中的常用技巧等5种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题05 必要性探路与端点效应、指对同构、切线放缩、洛必达法则及对数均值不等式等导数中的常用技巧 目录 类型一、必要性探路与端点效应 类型二、指对同构 类型三、凹凸反转与切线放缩 类型四、洛必达法则 类型五、飘带函数与对数均值不等式 压轴专练 类型一、必要性探路与端点效应 解题技巧： 1.端点效应的定义 恒成立问题中,我们常常能见到类似的命题:“对于任意的,都有f（x）≥0恒成立”，这里的端点,往往是使结论成立的临界条件,因此,如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应 2.端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下,该范围即为所求. 3.端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。 4.利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 （1）利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 （2）利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 （3）若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 5.端点效应的类型 （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区间上,恒成立,且(或),则或. （3）如果函数在区间上,恒成立,且(或,则或. 例1．（1）若对恒成立，则实数m的取值范围是 . （2）已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ． 变式1-1．已知函数．当时，，求a的取值范围； 变式1-2．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 变式1-3．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 变式1-4．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 类型二、指对同构 解题技巧： 指对同构：源于指对跨阶问题。属于跨阶函数，而属于跳阶函数，所以指对跳阶函数问题，在中学阶段只能构造函数来简化计算。即三者之间相互转换，即通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算。 1、常规变形方式 ①；②；③；④；⑤． 2、变形同构 （1）积型： （2）商型： （3）和差型： 3、拓展 ①； ② ； ③ ④ ⑤ 例2.已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 变式2-1．(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　) A.a>ln b B.a<ln b C.ea>b D.ea<b 变式2-2．设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为 . 变式2-3．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 类型三、凹凸反转与切线放缩 解题技巧： 利用切线不等式放缩时，不等式有多种形式，而只是最常见的两种，我们在复习中要掌握好它的各种变形，才能做到游刃有余，下面列举一下其常见变形： （1）由ex≥x＋1引出的放缩： ①ex－1≥x(用x－1替换x，切点横坐标是x＝1)，通常表达为ex≥ex． ②ex＋a≥x＋a＋1(用x＋a替换x，切点横坐标是x＝－a)． ③xex≥x＋lnx＋1(用x＋lnx替换x，切点横坐标满足x＋lnx＝0)． ④ex≥x2>x2(x>0)（用替代x，切点横坐标x=2），推广通常有(x>0)的构造模型． （2）由lnx≤x－1(也可以记为lnex≤x，切点为(1，0))引出的放缩： 最常见的就是ln(x＋1)≤x，由lnx<x－1向左平移1个单位长度来理解，或者将ex≥x＋1两边取对数而来． ①lnx≤（用替代x，切点横坐标x=e），表示过原点的f(x)＝lnx的切线为y＝． ②lnx≥1－，（用替代x，切点横坐标x=1），或者记为xlnx≥x－1． ③lnx≤x2－x(由lnx≤x－1及x－1≤x2－x，切点横坐标是x＝1)，或者记为≤x－1． ④lnx≤(x2－1)（），即在点(1，0)处三曲线相切 例3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 变式3-1．已知函数f(x)＝lnx－x＋1． (1)讨论f(x)的单调性； (2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1<<x； 变式3-2．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 变式3-3．已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)若a＝1，求证：当x>0时，f(x)<e2x－x2－2． 类型四、洛必达法则 解题技巧： 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足： （1）f(x)＝g(x)＝0(或∞)； （2）在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0； （3） ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)． 则 ＝ ＝A(可连续使用)． （3）洛必达法则可处理，型． 例4．已知函数．当时，求的取值范围． 变式4-1．已知函数，，恒成立，求a的取值范围． 变式4-2．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 变式4-3．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 类型五、飘带函数与对数均值不等式 解题技巧： 1.对数均值不等式：两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立． 证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立. （2）再证：……② 不等式②（） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立． 注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用. 例5．证明：对任意的a,b>0(a≠b),有<<. 变式5-1．已知函数．若存在两个极值点，，求证：． 变式5-2．已知函数f(x)=. (1)讨论f(x)的极值; (2)若(ex1=(ex2(e是自然对数的底数),且x1>0,x2>0,x1≠x2,证明:x1+x2>2. 变式5-3．已知函数，若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明： 压轴专练 1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2、对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是          ． 3、对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 4、若恒成立,则的取值范围为 5、已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 6、已知函数f(x)=m--ln x(x∈R),若恰有两个零点x1,x2(x1<x2),求证:x1+x2>2. 7、已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 8.已知函数，，． 讨论函数的单调性 设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围 9.已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 必要性探路与端点效应、指对同构、切线放缩、洛必达法则及对数均值不等式等导数中的常用技巧 目录 类型一、必要性探路与端点效应 类型二、指对同构 类型三、凹凸反转与切线放缩 类型四、洛必达法则 类型五、飘带函数与对数均值不等式 压轴专练 类型一、必要性探路与端点效应 解题技巧： 1.端点效应的定义 恒成立问题中,我们常常能见到类似的命题:“对于任意的,都有f（x）≥0恒成立”，这里的端点,往往是使结论成立的临界条件,因此,如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应 2.端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下,该范围即为所求. 3.端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。 4.利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 （1）利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 （2）利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 （3）若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 5.端点效应的类型 （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区间上,恒成立,且(或),则或. （3）如果函数在区间上,恒成立,且(或,则或. 例1．（1）若对恒成立，则实数m的取值范围是 . （2）已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 因为，欲在恒成立，则要在单调递增 即在恒成立，则，解得， 再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略） 综上可得，即 （2）因为，所以，解得，结合已知条件， 变式1-1．已知函数．当时，，求a的取值范围； 【答案】见详解 【详解】由题知 设 ， 因为，所以，解得， 下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立， （令，则） ①对恒成立， 设，则， 所以，故①式成立，则的取值范围为. 变式1-2．已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当时，若，，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）m的取值范围是，． 【详解】（1）． 当时，，易知f(x)在R上单调递减． 当时，令，可得；令，可得且， ∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当时，令，可得且；令，可得， ∴在和上单调增，在上单调递减． （2）当时，由，得 即， 令，则 ∵，且，∴存在，使得当时，， ∴，即． 下面证明当时，对恒成立． ∵，且， ∴ 设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∴，∴，∴， ∴ 综上，实数m的取值范围为． 变式1-3．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 变式1-4．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 类型二、指对同构 解题技巧： 指对同构：源于指对跨阶问题。属于跨阶函数，而属于跳阶函数，所以指对跳阶函数问题，在中学阶段只能构造函数来简化计算。即三者之间相互转换，即通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算。 1、常规变形方式 ①；②；③；④；⑤． 2、变形同构 （1）积型： （2）商型： （3）和差型： 3、拓展 ①； ② ； ③ ④ ⑤ 例2.已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 【答案】 【分析】变形条件转化为，构造函数，判断单调性，转化为恒成立，求解最小值可得答案. 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 变式2-1．(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　) A.a>ln b B.a<ln b C.ea>b D.ea<b 【答案】AC 【详解】方法一　由ea＋a>b＋ln b， 可得ea＋a>eln b＋ln b， 令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(ln b)， 因为f(x)在R上是增函数， 所以a>ln b，即ea>b. 方法二　由ea＋a>b＋ln b， 可得ea＋ln ea>b＋ln b， 令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)， 因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以ea>b，即a>ln b. 变式2-2．设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为　　　　　　. 【答案】 【详解】由kekx≥ln x得kxekx≥xln x， 即kxekx≥eln x·ln x， 令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x). 因为f'(x)＝(x＋1)ex， 所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 因为kx>0，ln x>0， 所以kx≥ln x，即k≥ 令h(x)＝(x>1)，则h'(x)＝ 当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减， 所以h(x)max＝h(e)＝即k≥ 所以k的最小值为. 变式2-3．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【详解】不等式对恒成立， 即不等式对恒成立， 即不等式对恒成立， 令， 则即为， ，  当时，，在上单调递增， ，， 对于函数，， 由得，由得， 则在上单调递增，在上单调递减， ，，即． 故选：． 类型三、凹凸反转与切线放缩 解题技巧： 利用切线不等式放缩时，不等式有多种形式，而只是最常见的两种，我们在复习中要掌握好它的各种变形，才能做到游刃有余，下面列举一下其常见变形： （1）由ex≥x＋1引出的放缩： ①ex－1≥x(用x－1替换x，切点横坐标是x＝1)，通常表达为ex≥ex． ②ex＋a≥x＋a＋1(用x＋a替换x，切点横坐标是x＝－a)． ③xex≥x＋lnx＋1(用x＋lnx替换x，切点横坐标满足x＋lnx＝0)． ④ex≥x2>x2(x>0)（用替代x，切点横坐标x=2），推广通常有(x>0)的构造模型． （2）由lnx≤x－1(也可以记为lnex≤x，切点为(1，0))引出的放缩： 最常见的就是ln(x＋1)≤x，由lnx<x－1向左平移1个单位长度来理解，或者将ex≥x＋1两边取对数而来． ①lnx≤（用替代x，切点横坐标x=e），表示过原点的f(x)＝lnx的切线为y＝． ②lnx≥1－，（用替代x，切点横坐标x=1），或者记为xlnx≥x－1． ③lnx≤x2－x(由lnx≤x－1及x－1≤x2－x，切点横坐标是x＝1)，或者记为≤x－1． ④lnx≤(x2－1)（），即在点(1，0)处三曲线相切 例3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】见详解 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，当且仅当时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 变式3-1．已知函数f(x)＝lnx－x＋1． (1)讨论f(x)的单调性； (2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1<<x； 【答案】见详解 【详解】(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝－1＝(x>0)， 可知f(x)的单调增区间是(0，1]，单调减区间是[1，＋∞)． (2)由(1)可知，当x>0时，f(x)≤f(1)＝0(当且仅当x＝1时，等号成立)， 所以当x>0且x≠1时，有f(x)<0，即lnx<x－1， 故当x∈(1，＋∞)时，有故1<<x． 变式3-2．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】见详解 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； 不等式可化为，，容易判断函数是凹函数，是凸函数，故可以切线放缩的角度去分析解题思路，先求出函数在处的切线方程为，然后再求的与平行的切线方程，可求得切点的横坐标应为 ，进而求得切线方程为，可以发现时满足不等式成立，再验证不合题意即可。 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． 不等式可化为， 因为，当时取等号； ，当时取等号； 故当，即时满足； 又当时，，与矛盾； 从而若不等式恒成立，求a的取值范围是． 变式3-3．已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)若a＝1，求证：当x>0时，f(x)<e2x－x2－2． 【答案】见详解 【详解】(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f′(x)＝－2a2x＋a＝＝－， 当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减； 当a<0时，f′(x)＝－， 当0<x<－时，f′(x)>0，当x>－时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)当a＝1时，f(x)＝lnx－x2＋x，要证当x>0时，f(x)<e2x－x2－2，只需证lnx<e2x－x－2． 令g(x)＝e2x－2x－1，则g′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)， 当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝0， 所以，当x>0时，e2x>2x＋1，所以e2x－x－2>x－1． 令h(x)＝x－1－lnx，x>0，则h′(x)＝1－，当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0， 所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0， 所以当x>0时，h(x)≥h(1)＝0，即当x>0时，x－1≥lnx， 所以，当x>0时，e2x－x－2>x－1≥lnx，即lnx<e2x－x－2， 所以，当x>0时，f(x)<e2x－x2－2． 类型四、洛必达法则 解题技巧： 洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足： （1）f(x)＝g(x)＝0(或∞)； （2）在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0； （3） ＝A(A可为实数，A也可以是±∞)． 则 ＝ ＝A(可连续使用)． （3）洛必达法则可处理，型． 例4．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 变式4-1．已知函数，，恒成立，求a的取值范围． 【答案】见解析 【分析】本题是一道恒成立问题，通常会使用分离参数的方法，然而对于，根据求导研究，在单调递增，在单调递减，出现的值代不进去，从而需要洛必达法则才行. 【详解】当时，不等式恒成立，； 当时，由得， 令，， 令， 则，在单调递增，在单调递减， 又，，故存在使得， 在单调递增，在单调递减， ，， 故，所以． 变式4-2．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断； （2）通过构造，再结合即可得到结果； （3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论. 【详解】（1）设， 由于， 所以不成立， 故不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）设，则， 设， 则， 所以，得. （3）令，则原不等式等价于， 即证， 记，则， 所以， 即有对任意，均有， 所以， 因为， 所以， 所以，证毕! 变式4-3．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求实数的值； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】(1), ； 函数在处取得极值， ；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：； （2）不等式恒成立可化为，即； 当时，恒成立；当时，恒成立， 令，则； 令， 则； 令，则； 得在是减函数，故，进而 （或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数， 而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义， 变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为． 类型五、飘带函数与对数均值不等式 解题技巧： 1.对数均值不等式：两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立． 证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立. （2）再证：……② 不等式②（） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立． 注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用. 例5．证明：对任意的a,b>0(a≠b),有<<. 【答案】见详解 【详解】不妨设a>b>0(0<a<b时同理可得) （1）由<等价于ln a-ln b<,即ln <. 令x=>1,只要证ln x2<, 即证2xln x-x2+1<0. 令f(x)=2xln x-x2+1(x>1), 则f′(x)=2ln x+2-2x,f″(x)=-2<0,f′(x)在(1,+∞)单调递减,f′(x)<f′(1)=0, f(x)在(1,+∞)单调递减,即f(x)<f(1)=0. 故<. （2）<等价于 ln a-ln b>,即ln >. 令x=>1,只要证ln x>, 即证(x+1)ln x-2x+2>0. 设g(x)=(x+1)ln x-2x+2(x>1), 同理可证g(x)在(1,+∞)单调递增, 有g(x)>g(1)=0. 故<. 变式5-1．已知函数．若存在两个极值点，，求证：． 【答案】见详解 【详解】由，是的两根可知且 待证不等式等价于 由对数均值不等式知 故成立，从而原不等式成立 变式5-2．已知函数f(x)=. (1)讨论f(x)的极值; (2)若(ex1=(ex2(e是自然对数的底数),且x1>0,x2>0,x1≠x2,证明:x1+x2>2. 【答案】见详解 【详解】（1）当a=0时,函数f(x)=0,无极值. 当a≠0时,f′(x)=-,x>0, 当a>0时,x∈(0,1)时,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减, 因此f(x)有极大值f(1)=a. 当a<0时,x∈(0,1)时,f(x)单调递减, x∈(1,+∞)时,f(x)单调递增, 因此f(x)有极小值f(1)=a. 综上所述,当a=0时,f(x)无极值; 当a>0时,f(x)有极大值f(1)=a; 当a<0时, f(x)有极小值f(1)=a. (2)将已知等式两边同时取自然对数, 化简得=>0, 即当a=1时,f(x)=m(m>0)有两个不同解x1,x2. 不妨设x1<x2,易知f=0, 则由(1)知<x1<1<x2,0<m<1. 依题意得==m, 所以==, 即=<, 所以>>1, 也就是x1+x2>2成立. 变式5-3．已知函数，若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明： 【答案】见详解． 【详解】，由 ，同除以得， 要证，只需证； 只需证； 根据对数平均不等式，故原命题得证. 压轴专练 1.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，∵时，∴不合条件. 令，故恒成立，又， ∴要在处取最大值，故为在上的极大值点， 故，又，故 ，∴，故选：B. 2、对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是          ． 【答案】． 【详解】不等式恒成立等价于， 即， 即， 当时，上述不等式恒成立， 当时，可得， 设，易得在上单调递增， 即， 得，即在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 易得， 当时，只需即可，即； 当时，只需，整理可得，显然恒成立， 所以； 综上可得，所以的取值范围是． 故答案为． 3、对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 4、若恒成立,则的取值范围为 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 5、已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6、已知函数f(x)=m--ln x(x∈R),若恰有两个零点x1,x2(x1<x2),求证:x1+x2>2. 【答案】见解析 【详解】∵x1,x2是f(x)的两个零点, ∴ 得+ln x1=+ln x2, 即=ln x2-ln x1, 所以=x1x2, 又由对数均值不等式得>, 则x1x2>,则x1x2>1, 所以x1+x2>2>2,命题得证 7、已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】见详解 【详解】由题意可得， ，此时； ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即得是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立；充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 8.已知函数，，． 讨论函数的单调性 设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围 【答案】见详解 【详解】因为，所以， 令，则， 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增， 所以． 又因为，，所以，则在定义域上单调递增． 由，得，即， 所以，即对任意恒成立． 设，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 且当时，当时，， 若，则， 若，因为，且在上单调递增，则可得． 综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，， 则，所以在上单调递增，则， 所以对任意恒成立， 即实数的取值范围为  9.已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减 （2） 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以 ， 因为，，， 所以在上恒成立，所以在上单调递减. （2）构造， 则，若，且， 则，解得.（必要条件） 当时，因为，又，所以，，则， 所以，满足题意；当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于，所以的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $