专题01 导数中的切线问题5种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版2019选择性必修第一册

专题01导数中的切线问题 目录 类型一、在某点处的切线方程问题 类型二、过某点处切线方程 类型三、曲线中的公切线问题 类型四、切线的条数问题 类型五、切线与距离最值问题 压轴专练 类型一、在某点处的切线方程问题 解题技巧： 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 例1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，所以，，所求切线的斜率， 因此，所求切线的方程为，整理得． 故选：A． 变式1-1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【分析】由奇函数的定义可得x＜0时f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】由是上的奇函数，当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝， 则，可得，f（﹣1）＝0， 故在处的切线方程为y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，故答案为： 变式1-2．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________. 【答案】1 【分析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案. 【详解】，则 则切线方程为， 代入原点可得：， 即，解得（负根舍去）故答案为：1 变式1-3．已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线方程为，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】(1)当时，求导，代入得到斜率，计算切线方程. (2)求导代入数据，跟切线方程作对照，得到答案. 【详解】解：(1)当时，，∴， 曲线在处的切线方程为，即； (2)， 若曲线在处的切线方程为， ∴，∴. 类型二、过某点处切线方程 解题技巧： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 例2.曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； 变式2-1．已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________． 【答案】 【详解】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为. 故答案为： 变式2-2．函数过点的切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题设，若切点为，则，所以切线方程为，又切线过，则，可得或，当时，切线为；当时，切线为，整理得.故选：C 变式2-3．已知函数．求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】 【详解】设曲线过坐标原点的切线为，切点为， 则切线方程为， 将原点代入切线方程有，，解得， 切线方程为， 令，即，解得或， 曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 类型三、曲线中的公切线问题 解题技巧： 公切线问题一般分两类：①共切点的公切线问题，②不共点的公切线问题。 基本方法：若有切点则直接利用切线方程建立方程求解即可，若无切点则先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可。主要抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程 （1）已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则 （2）由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程 例3．已知曲线和曲线相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是__________． 【答案】 【分析】设两曲线的交点为，则公切线为和,进而且，解得，，再代入方程化简整理即可得答案. 【详解】解:，． 设两曲线的交点为，则公切线有两种表达式：和， 即和．化简得和． 因此且，联立解得，， 将，代入或中， 得到公切线方程为，即．故答案为: 变式3-1．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________ 【答案】          【详解】设直线与函数的切点为， 由，所以，解得，所以切点为， 所以，解得，即切线方程为， 设直线与函数的切点为， 则，解得 ，即， 设切线方程为，且与的切点为， 与的切点为 则，， 整理可得，，所以，整理可得， 设，则， 设，则，所以在为增函数，又因为， 所以在上，即，所以单调递减； 在上，即，所以单调递增， 所以，即，解得. 故答案为： ； 变式3-2．曲线与曲线有（ ）条公切线. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设是曲线图像上任意一点，，所以， 所以过点的切线方程为，整理得①. 令，解得，则，所以曲线上过点的切线方程为： ，整理得②.由于切线①②重合，故， 即③.构造函数，则 ，，故当时递减、当时递增，注意到当时，且， 所以当时递减，当时，递增， 而， 根据零点存在性定理可知在区间各存在的一个零点， 也即有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线和曲线有两条公切线.故选：B 变式3-3．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围． 【详解】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，， 由题知，∴，， 两点处的切线方程分别为和， 故，即. 变式3-4．已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【详解】(1)解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. (2)解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 类型四、曲线中的切线条数问题 解题技巧： 通用解题步骤 ①设切点：若题目未给出切点，先设切点为(x0,f(x0))（这是关键，“过某点的切线”切点不一定是该点）。 ②求切线斜率：对f(x)求导得f′(x)，则切线斜率k=f′(x0)。 ③写切线方程：利用点斜式，切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) 代入定点列方程：若切线过定点(x1,y1)，将定点代入切线方程，得到关于x0的方程：y1−f(x0​)=f′(x0)(x1−x0) ④判断方程解的个数： ⑤化简上述方程，转化为关于x0的函数g(x0)=0。 ⑥用导数研究g(x0)的单调性、极值，结合零点存在定理，判断g(x0)=0的实数解个数，解的个数即为切线条数 例4-1．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是 例4-2．（多选）过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设切线方程，代入，得到方程有唯一解，转化为直线与曲线只有一个交点，利用导数得到的单调区间，分析即可解决 【详解】，设切点为， 则切线方程为：， 因为切线经过点，将点代入得， 化简得， 故方程有一个根． 令，，转化为直线与曲线只有一个交点， ， 当时，；当时，． 故在和上单调递增，在上单调递减，，． 根据直线与只有一个交点，则有或． 故选：AD． 变式4-1．（多选）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（   ） A． B．4 C． D．22 【答案】BC 【分析】根据题意，由导数的几何意义可得切线方程，然后得到，求出函数的值域，即可得到的范围. 【详解】因为，设切点为， 则切线方程为， 将，代入得，， 令，则， 或时，，当时，， 故函数的单增区间为和，的单减区间为， 的极大值为，极小值为， 由题意知，，又为整数，，，，20，21 故选：BC 变式4-2．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 变式4-3．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求出过点的切线方程为，利用方程的解个数与函数图象交点个数的关系将问题转化为图象与直线在R上有3个交点，结合导数求出函数的极值，根据数形结合的思想即可求解. 【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 又切线过点，则，整理得. 要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解， 即函数图象与直线在R上有3个交点， 设，则， 令，令或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 且极小值、极大值分别为，如图， 由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点， 即过点的切线有3条. 所以实数a的取值范围为. 变式4-4．已知函数当时有极值，且在处的切线的斜率为． （1）求函数的解析式； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）19 （3） 【详解】（1） 在时有极值，且在处的切线的斜率为 可有： 函数的解析式为： （2）由（1）知： 令，有，． 所以，当，时，，在上单调递减； 当，时，，在上单调递增； ；，（2）（2）． （3）设切点为， 切线斜率为： 切线方程为：① 又切线过点，带入①化简为： 令 与 ，（1），； ，令，； 在，单调递减，上单调递增； 过点可作曲线的三条切线，即存在三个，也即是与有三个交点． 故如图所知：． 类型五、切线与距离最值问题 解题技巧： ①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 例5．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为 . 【答案】 【分析】由题意得，当过点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，用导数法求出切点坐标，再用点到直线的距离公式即可求解 【详解】由题意得，点是曲线上任意一点， 当过点的切线和直线平行时， 点到直线的距离最小， 直线的斜率为， 又，令，解得或（舍去）， 所以曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标为， 点到直线的距离等于， 所点到直线的最小距离为． 故答案为： 变式5-1．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小， 因为直线的斜率等于，曲线的导数， 令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，所以点到直线的最小距离为.故选：C 变式5-2．已知P是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，点在直线上，当取最小值时，垂直于直线. 此时，记，最小时，最小.，当时，最小时，最小. 故选：C 变式5-3．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，设，，则，，所以，所以，即函数的图象与的图象关于直线对称，所以这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍.函数在点处的切线斜率为，令得,，，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为.故选：A 变式5-4．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】函数与函数互为反函数，图象关于对称，函数上的点到直线的距离为. 设函数，由图象关于对称得：最小值为. 压轴专练 一、单选题 1．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积； 解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积. 【详解】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A 2．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别设直线与两条曲线的切点，利用导数求切线斜率，写出切线方程，结合公切线的表达式列等式，依次求解参数与. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 3．若对函数的任意一条切线，均存在唯一一条切线使得，则称该函数为正交函数.给出下列四个函数： ①，②，③，④. 其中正交函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合函数新定义举特殊值可得①④错误；求导后分析两切线方程的可解性可得②③正确. 【详解】对于①，当在原点处的切线为，此时与之垂直的切线为与轴平行的直线，由抛物线的性质可知，不存在这样的切线，（即函数图象没有渐近线）故①错误； 对于②，，， 设切线的斜率为，若存在唯一一条切线使得，设的斜率为， 则，即，即对定义域上的任意都有唯一确定的存在，所以是正交函数，故②正确； 对于③，当时，，；当时，，， 设切线的斜率为，若存在唯一一条切线使得，设的斜率为， ，即对定义域上的任意都有唯一确定的存在，所以是正交函数，故③正确； 对于④，当时，切线的方程为，此时与轴平行， 由函数图象可得这样的不存在（即函数图象没有渐近线），故④错误； 故选：B 4．已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】设切点后由导数的意义求出切线方程，再代入点，转化为关于切点横坐标的方程，然后构造函数，分析单调性得到零点即可. 【详解】设切点为，其中， ， 所以切线方程为， 代入可得， 代入整理可得， 分析方程解的个数，令， ， 令可得（舍去）， 所以在上为减函数，在上为增函数， 又， 由函数增长的快慢可知当，；当时，， 所以方程在和处各有一个解. 故选：C 5．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解. 【详解】设切点为，， 又，所以切线斜率， 所以切线方程为， 又切线过点， 则，， 即， 由过点可作两条切线， 所以有两个正根， 即，整理可得， 故选：C. 6．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【详解】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得. 故选：B 二、多选题 7．已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．与的交点可能在第三象限 【答案】BC 【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D. 【详解】如图，因为与互为反函数， 故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称， 故，，故A错误； 由题意，，均为锐角，，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 设与两个函数图象分别切于，两点，，则， 即，解得或（舍去）， 故， 对于，则，令，解得，所以切点为， 所以曲线的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 同理可得的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 所以，则，则，故C正确； 由图可知点必在第一象限，故D错误.    故选：BC. 8．若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论． 【详解】对A，， ，时，，取得最大值， 直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”； 对B，，，时，，，， 此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”； 对C，，， 时，，， 过点的切线方程是，即， 因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”； 对D，，，令， 则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等， 也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”． 故选：ABC． 9．记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 【答案】BCD 【分析】根据数形结合得到在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在，而若在下方，上方若，则两切点都在上，若，则两切点都在上，对，根据对称性也有类似结论. 【详解】曲线如图实线部分，不妨补全下方图象，    显然，曲线的切线必在其“凸面”，即单独对而言，在时不可作切线，在时不可作切线，而在其“凹面”能作条切线，    因此在区域内和都不可作切线， 因为在处切线为， 所以又可分为三个区域，在上方，作两条切线的切点横坐标，，一个在，一个在， 而若在下方，上方， 若，则两切点都在上，    若，则两切点都在上，    对，根据对称性也有类似结论， 回到题目中，可分为如图的个区域，区域不可作切线，    由于区域和在的“凹面”，故在段必不可作切线， 由于区域在上方，区域在下方， 所以在上区域可作条切线，区域可作条切线， 根据对称性，区域和区域在的“凹面”， 所以在必不可作切线，区域在下方，区域在上方， 所以在上，区域可作条切线，区域不可作切线， 同理，区域在，的“凸面”，又在上侧，上侧， 所以在可作条切线，在可作条切线， 所以区域可作条切线，由对称性知区域仅在作条切线， 最后，区域在可作条切线，在可作条切线， 对于A选项，因为，， 所以区域内可作一条切线，而区域可作条切线，故A错误； 对于B选项，因为，， 所以在区域，可作条切线，故B正确； 对于C选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故C正确； 对于D选项，因为，， 所以在区域上，可作条切线，故D正确. 故选：BCD. 10．已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当，时，有且仅有一条切线 B．当时，可作三条切线，则 C．当，时，可作两条切线 D．当时，可作两条切线，则b的取值为或 【答案】AD 【分析】分点为切点、不为切点两种情况，求出切线方程可判断A；设切点坐标为，利用导数求出切线方程为，当时，，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断B；当时，求出，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断C；当时，由切线方程为得则，设，利用导数判断出 单调性，结合图象可判断D. 【详解】A：当时，点在上，， 若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为， 若不为切点，设切点坐标为，所以， 切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确； B：设切点坐标为，所以，， 则切线的斜率为，切线方程为， 当时，，则， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以时有极小值，为，时有极大值，为， 时，画出的图象， 当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误； C：当时，由切线方程得，则， 设，则， 所以单调递减，且， 如图， 所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误； D：当时，由切线方程为得，则， 设，则， 因为，所以当时，单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递减， 时，有极小值为， 时，有极大值为， 的图象为 若有两条切线，则的取值为或，正确. 故选：AD. 三、填空题 11．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】先求出的导函数，将切点的横坐标代入求出的是切线的斜率，利用点斜式得到的切线方程，这个切线方程就是曲线的切线方程，求的导函数，则这个等于切线的斜率，从中求出曲线的切线的切点的横坐标，将其代入切线方程，从而得到曲线的切线的切点，将这个切点代入得到值. 【详解】由，求导可得，将切点的横坐标代入， 得到切线的斜率，则切线方程为，即， 由，求导可得， 由曲线在点处的切线与曲线相切， 则曲线的切线为， 令，解得， 将代入，可得，得到曲线上切线的切点为， 将代入，可得，解得． 故答案为:． 12．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则 ． 【答案】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，利用导数求得切线方程，由斜率及在轴上的截距相等列式求得切点，代入切线方程求解值． 【详解】设直线与曲线相切于， 则直线方程为； 设直线与曲线相切于点， 则直线方程为． 得， 得， 该直线与曲线相切于， 即，得． 故答案为：． 13．设函数，记为函数的图象上的点到直线的距离的最大值，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】点到直线的距离为 ：， 分析可得：①过任意一点切线均与直线不平行时，最大距离出现在区间的端点 ②存在过某一点切线与直线平行时，最大距离出现在区间的端点或者该点处 据此分情况讨论即可 【详解】记，，且表示点P到直线的距离． 因为，所以， 情形一：当或时，有 ． 情形二：当时，设函数图象上在点C处的切线与直线平行，则，如图． 此时有, 从而进而得 当时，有， 当时，有． 当时，有，且当时可以取得等号，于是的最小值为． 综上，所求的最小值为． 故答案为： 14．已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】通过求导得出曲线在某点处的切线斜率，再根据切线与已知直线平行得到斜率关系，进而得出与的关系式，最后利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，则， ， ， 又曲线在处的切线与直线平行， ，，即， ，当且仅当时，等号成立， 设，则，即， ， 又，， 当时取等号， 此时，,, 处的切线方程为,即,与直线平行，符合题意， 所以的最小值为. 故答案：6． 四、解答题 15．已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 【答案】(1)，. (2)切线仅有2条，证明见解析 【分析】（1）首先根据切线方程求出和的值，然后通过导数的运算法则求出,最后代入和的值，联立方程组求解和的值； （2）设出直线与和的切点，分别求出切线方程，然后根据两切线方程相同列出方程组，通过构造函数并分析其单调性，判断方程组解的个数，从而确定切线的条数. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线方程为， 所以，. ，，∴. ，，∴. 综上，，. （2）设直线与的切点为（），， 则切线斜率，切线方程为，即. 设直线与的切点为，， 则切线斜率，切线方程为， 即. 因为直线是公切线，所以， 由①可得，代入②中，得， 整理得， 令（），， 因为恒成立，所以， 当时，为上的增函数， 当时，为上的减函数， 因为，所以在区间上存在唯一一个零点. 因为，， 所以在区间上存在唯一一个零点. 综上，在上仅有个零点，即切线仅有条. 16．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 【答案】(1)或 (2)2 【分析】（1）根据点坐标求得，利用导数求得切线方程. （2）设切点为，求得切线方程并代入点的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，化简求得的值. 【详解】（1）函数对应图象为曲线，因为点在曲线上， 所以，所以， ， 设切点为，切线方程为:，即， 因为切线过点，所以，即， ， ，所以或， 所以切点为或， 将或代入， 可得切线方程为：或． （2）函数，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 切线过点，则， 依题意方程有三个不同解，且成等差数列， 设三个不同解为，且， ， 则，结合，得，， ，所以， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01导数中的切线问题 目录 类型一、在某点处的切线方程问题 类型二、过某点处切线方程 类型三、曲线中的公切线问题 类型四、切线的条数问题 类型五、切线与距离最值问题 压轴专练 类型一、在某点处的切线方程问题 解题技巧： 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 例1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________. 变式1-2．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________. 变式1-3．已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线方程为，求的值． 类型二、过某点处切线方程 解题技巧： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 例2.曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 变式2-1．已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________． 变式2-2．函数过点的切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 变式2-3．已知函数．求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 类型三、曲线中的公切线问题 解题技巧： 公切线问题一般分两类：①共切点的公切线问题，②不共点的公切线问题。 基本方法：若有切点则直接利用切线方程建立方程求解即可，若无切点则先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可。主要抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程 （1）已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则 （2）由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程 例3．已知曲线和曲线相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是__________． 变式3-1．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________ 变式3-2．曲线与曲线有（ ）条公切线. A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-3．已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ） A． B． C． D． 变式3-4．已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 类型四、曲线中的切线条数问题 解题技巧： 通用解题步骤 ①设切点：若题目未给出切点，先设切点为(x0,f(x0))（这是关键，“过某点的切线”切点不一定是该点）。 ②求切线斜率：对f(x)求导得f′(x)，则切线斜率k=f′(x0)。 ③写切线方程：利用点斜式，切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) 代入定点列方程：若切线过定点(x1,y1)，将定点代入切线方程，得到关于x0的方程：y1−f(x0​)=f′(x0)(x1−x0) ④判断方程解的个数： ⑤化简上述方程，转化为关于x0的函数g(x0)=0。 ⑥用导数研究g(x0)的单调性、极值，结合零点存在定理，判断g(x0)=0的实数解个数，解的个数即为切线条数 例4-1．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 例4-2．（多选）过曲线外的一点作曲线的切线，若这样的切线有且只有一条，则，满足的关系可以是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（多选）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（   ） A． B．4 C． D．22 变式4-2．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-4．已知函数当时有极值，且在处的切线的斜率为． （1）求函数的解析式； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 类型五、切线与距离最值问题 解题技巧： ①两个动点分别在一个函数图象和一条直线上.若两个动点分别在函数和直线上，那么当在点处的切线与直线平行时，到直线的距离. ②若两个动点分别在函数和函数上，那么当直线与直线平行时，且与相切，则切点到的距离. 例5．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为 . 变式5-1．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A． B． C． D． 变式5-2．已知P是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 变式5-4．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 压轴专练 1．过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 2．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．若对函数的任意一条切线，均存在唯一一条切线使得，则称该函数为正交函数.给出下列四个函数： ①，②，③，④. 其中正交函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数，过点作该函数图象的切线，则切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能 5．若过点可作函数图象的两条切线，则必有（    ） A． B． C． D． 6．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．与的交点可能在第三象限 8．（多选）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，可作1条切线 B．若，，可作0条切线 C．若，，可作3条切线 D．若，，可作2条切线 10．（多选）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（    ） A．当，时，有且仅有一条切线 B．当时，可作三条切线，则 C．当，时，可作两条切线 D．当时，可作两条切线，则b的取值为或 11．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ． 12．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则 ． 13．设函数，记为函数的图象上的点到直线的距离的最大值，则的最小值是 ． 14．已知，若曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为 ． 15．已知函数（），.记，已知曲线在点 处的切线方程为. (1)求实数，的值： (2)若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明. 16．已知函数的图象记为曲线C. (1)若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程； (2)若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $