精品解析：四川省内江市2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度第一学期高二期末检测题 数学 本试卷共4页，全卷满分150分，检测时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置. 2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上. 3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上. 4.检测结束后，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 四边形一定是平面图形 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切 4. 已知，，且，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6 5. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，且与和椭圆的另一个焦点构成的的周长为12，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11. 已知动点是双曲线上的点，点，是双曲线的左，右焦点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为3 B. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 C. 若过点的直线与双曲线右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于一点，则 D. 若过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，且，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_________． 13. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆柱的体积为_____. 14. 已知三棱锥满足：底面，，底面的面积为2，且侧面侧面，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. （1）已知椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程； （2）求焦点在轴，虚轴长为，渐近线方程为的双曲线标准方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面. 17. 已知抛物线第一象限上的点到焦点的距离，点到轴的距离为. （1）求抛物线的方程和点的坐标； （2）若直线与抛物线相交于，两点，求的值. 18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点轨迹的方程； （2）动点轨迹与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，点为轨迹在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）直线，的斜率分别记为，，求证：为定值； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 19. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二期末检测题 数学 本试卷共4页，全卷满分150分，检测时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置. 2.选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在试题卷上. 3.非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上. 4.检测结束后，监考人员将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用标准方程求得焦参数即可得． 【详解】抛物线，，即， 该准线方程为. 故选：A. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 四边形一定是平面图形 【答案】C 【解析】 【分析】由基本事实一可判断A；由空间几何体的结构特征可判断BCD. 【详解】对于A，由基本事实一可知，不共线的三点可以确定一个平面，故A错误； 对于B，用平行于底面的平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，故B错误； 对于C，由棱柱的性质可知，任意棱柱上底面与下底面平行，故C正确； 对于D，在空间中，不共面的四点构成的四边形是空间四边形，故D错误. 故选：C 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距与半径和关系判断两圆的位置关系. 【详解】因为，；，. 则，， 所以， 所以圆与圆外离. 故选：A 4. 已知，，且，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 5. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解． 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG． ，F分别是CD，AB的中点， ，， 且，． 为EF与AC所成的角． 又，． 又，，， 为等腰直角三角形， ，即EF与AC所成的角为45°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题． 6. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于，两点，且与和椭圆的另一个焦点构成的的周长为12，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程可知椭圆的半长轴与半短轴，结合三角形周长求得半长轴的值，进而求得半焦距，可求得离心率． 【详解】由椭圆方程，可得椭圆半长轴为，半短轴为1， 因为的周长为12，所以， 所以，所以，解得， 所以半焦距， 所以椭圆的离心率为. 故选：D 7. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 8. 加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.若该椭圆离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于，两点，若面积的最大值为28，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，从而得,故当为该圆的直径时，面积取最大值，即可得，所以蒙日圆半径为，即有，再结合椭圆离心率为，求得，即可得答案. 【详解】由题意可得， 所以, 所以, 由题意可得， 所以， 又因为是蒙日圆上的两个动点， 所以当为该圆的直径时，取最大值， 即蒙日圆的直径为，所以半径为， 由题意可得该蒙日圆的半径为， 所以， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以， 所以椭圆的焦距为. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 若点为棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理可判断A，由面面平行的性质定理可判断B，由线面垂直的性质定理可判断C，由基本事实1作出由，，三点确定的平面与正方体相交形成的截面，计算各边长度后可判断D． 【详解】对于A，正方体中由平面，平面，可得， 又，平面且， 所以平面， 因为平面，所以， 因为在平面内的投影为， 而，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，正方体中与平行且相等，则是平行四边形， ，平面，平面，所以平面， 同理平面，，都在平面内， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，与A选项同理可证平面， 当是与交点时，平面， ，异面直线与所成角为，故C错误； 对于D，设的中点为，连接，，，，如图所示， 因为分别为的中点， 由正方体性质可知，且， 所以四点共面， 即由三点确定的平面与正方体相交形成的截面为四边形， 因为正方体的棱长为1， 所以，，则， 故四边形的周长为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知动点是双曲线上的点，点，是双曲线的左，右焦点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的面积为3 B. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 C. 若过点的直线与双曲线右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于一点，则 D. 若过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点，且，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：利用双曲线的定义和勾股定理，可求的面积，判断A的真假；利用点到直线的距离公式，结合点在双曲线上，可判断B的真假；设直线：，与双曲线方程联立，表示出弦长，再写出线段的垂直平分线，表示，即可判断C的真假；设直线：，与渐近线方程联立，表示出坐标，得到的表达式，结合函数的单调性判断D的真假. 【详解】易知，，，所以，，渐近线方程为. 对A：如图，不妨设位于第一象限， 因为，所以， 所以. 所以.故A正确； 对B：设，则， 则到两条渐近线的距离分别为：，， 所以.故B正确； 对C：因为直线不能为双曲线的通径，所以可设直线：， 代入，得：. 设，，则，，且，，. 所以， 所以. 又，， 所以的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为：， 令可得，所以. 所以.所以，故C正确； 对D：设直线：， 由得；由得； 由. 又，所以. 又，, 所以当时，. 因为. 即的最小值为8.故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】，则，斜率为 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 13. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆柱的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求得半径，再利用圆柱体积公式即可求解. 【详解】由圆柱和圆锥的底面半径相等，可设其半径为， 则根据侧面积公式可得：， 所以圆柱的体积为， 故答案： 14. 已知三棱锥满足：底面，，底面的面积为2，且侧面侧面，则三棱锥外接球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，由题意可证明，结合已知可得，进而得是三棱锥外接球的直径，利用，结合重要不等式可求三棱锥外接球表面积的最小值. 【详解】过作于， 因为侧面侧面，又侧面侧面， 所以侧面，又侧面， 所以，又因为底面，底面， 所以，又，侧面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为底面的面积为2，可得，所以 由题意可得和是共用斜边的直角三角形， 所以是三棱锥外接球的直径， 所以， 当且仅当时取等号。 所以，所以，即三棱锥外接球的半径的最小值为， 所以三棱锥外接球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程. （1）已知椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程； （2）求焦点在轴，虚轴长为，渐近线方程为的双曲线标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点、长轴、短轴的定义列方程组； （2）根据双曲线的虚轴、渐近线的定义列方程组. 【小问1详解】 由题意可知，，，则， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设双曲线的标准方程为， 则，，得， 则双曲线的标准方程为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点. （1）求证：∥平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）证明，即可证明结论； 【小问1详解】 取中点，连接， 为的中点，, ，， 四边形是平行四边形，即, 平面，平面， ∥平面. 【小问2详解】 平面，平面，， ，则 ，， ，即， 又平面，平面， 平面. 17. 已知抛物线第一象限上的点到焦点的距离，点到轴的距离为. （1）求抛物线的方程和点的坐标； （2）若直线与抛物线相交于，两点，求的值. 【答案】（1） ，； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用抛物线定义和已知条件列出关于的方程,解出的值,进而得出抛物线方程和点的坐标. (2)直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理求出,,,的值,再根据向量的数量积的坐标运算求出的值. 【小问1详解】 设点,因为在第一象限且到轴的距离为, 所以. 又因为点到焦点的距离等于点到准线的距离，且,所以. 同时在抛物线上，则，解得. 又因为，所以，从而得到. 所以抛物线方程为,点的坐标为. 【小问2详解】 将直线与抛物线联立: , 所以. 由可以得到. 已知,,.则 , 18. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）动点的轨迹与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，点为轨迹在第一象限上任一点，直线交轴于点，直线交轴于点. （i）直线，的斜率分别记为，，求证：为定值； （ii）记的面积为，四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）定值为，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合两点距离公式和点到直线距离公式列方程组求解； （2）（i）设点，求出再计算，即可求证； （ii）记的面积为，则，由（i）得，再令，得出，再构造函数，通过换元法或导函数研究其最值即可求出. 【小问1详解】 由题意可得，， 平方整理可得：， 此时，满足， 所以动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）由直线，的斜率分别记为，， 设点，且， 由（1）可得：，则， 所以 （ii）记面积为，的面积为，四边形的面积为， 则， 因为 由点为椭圆在第一象限上任一点， 令， 则， 方法一：设，则， 所以，， 所以，故， 所以，所以， 所以的最大值为，此时，， 方法二：令， 则 因，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值为， 故的最小值为， 故最大值为. 19. 如图①所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，为中点. （1）若为线段中点，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用共面判定定理进行证明即可； （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小； （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，所以， 所以，，，四点共面； 【小问2详解】 取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，， 则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为， 则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 设平面和平面的夹角为， 则 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $