吉林省长春市实验中学2025-2026学年高三上学期数学限时训练（一）

团结 勤奋 求实 创新 长春市实验中学2025—2026学年上学期 高三数学限时训练（一）团结·勤奋·求实·创新 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 3.“，”的一个必要不充分条件是(    ) A. B. C. D. 4.已知，则(    ) A. B. C. D. 或 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共6小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 7.已知双曲线：，左右焦点分别为，，则下列说法正确的是(    ) A. 双曲线与有相同的渐近线 B. 若双曲线上一点满足，则的周长为 C. 过双曲线的焦点且与轴垂直的弦长为 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 8.已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，则下列说法正确的是(    ) A. 若，为递增数列 B. ，，为等比数列 C. D. 若，的的最小值为 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.如图所示，已知中，点，，依次是边上的三个四等分点，若，，则          ． 10.已知函数的部分图象如图所示，且，则          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分已知数列满足，． 证明：数列为等差数列，并求通项； 求数列的前项和． 14.本小题分设抛物线：的焦点为，过点的直线交于、两点，且的最小值为． 求的方程； 设过的另一直线交于、两点，且点在直线上． (ⅰ)证明：直线过定点； (ⅱ)对于(ⅰ)中的定点，当的面积为时，求直线的方程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由 则， 根据对数函数的性质知，则． 故选：． 2.【答案】C  【解析】解：在上的投影向量为． 故选： 3.【答案】  【解析】解：“，”， 所以当时，恒成立， 当时，，所以， 综上， 所以“，”等价于， 不能推出，不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，选项错误； 不能推出，不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，选项错误； 不能推出，不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，选项错误； 不能推出，能推出，所以是的必要不充分条件，选项正确； 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由，得，解得， 而． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：函数在上单调递增， ，，故的零点， 由在上单调递增， 得，， 因此的零点，则． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：由题意可得， 由于在上单调递增，故， 因此恒成立，故， 由于，故． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：双曲线中，，故渐近线方程为，即， 双曲线中，，故渐近线方程为，即， A正确． B.由题意得，，， 由双曲线定义得，， ，，故的周长为， B正确． C.由双曲线的对称性，不妨设弦过双曲线的右焦点且与轴垂直， 令，得，解得，故弦长为， C错误． D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间， 即， D正确． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：因为，所以，所以， 对于，若，，所以为递增数列，故A正确； 对于，若，则，此时，，不是等比数列，故B错误； 对于，， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于，若，则当时，，当时，， 因为， ，， 故的的最小值为，故D正确． 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，属于中档题． 利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解． 【解答】 解： ，， ． 故答案为： 10.【答案】  【解析】解：设，由题意，由图象可知，则， 又，所以，即， 因为，即符合题意，则，因为， 所以， 所以或， 所以或， 因为，即符合题意， 综上． 故答案为：． 11.【答案】解：证明：因为，所以，又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以． 由可得， 所以， 则， 两式相减得  ， 所以． 12.【答案】解：设直线方程：， 代入中，消去得， 设，，则，， ， 当时，有的最小值为， ，故E的方程为； 证明：设直线方程：，，， 由，消去得， ， 又由知，， ，同理， 直线的斜率， 直线的方程为， 化简得， 由得，即， 由，得， 所以直线过定点，证毕； (ⅱ)由知， 直线方程为：， 点到直线的距离， ， 解得或． 所以点坐标为或， 所以直线方程为或．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $