山西省晋中市部分学校2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025~2026学年第一学期九年级期末学情诊断卷 数学 参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 答案 D D B A C C D A 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.x≤512.随机13.1814.715.3-√3 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16解：(1)原式=32+√6-23×2+2 (3分) 2 =3W2+√6-√6+2… (4分) =3W2+2.… (5分) (2)原方程可化为3(x+2)2=(x+2)(x-2).… (1分) 移项，得3(x+2)2-(x+2)(x-2)=0.…(2分) 方程左边分解因式，得(x+2)[3(x+2)-(x-2)]=0,即(x+2)(2x+8)=0. (3分) 所以x+2=0或2x+8=0.… (4分) 得X1=-2,x2=-4.… (5分) 17.解：设左、右绫边的宽度为xcm,则上绫边的宽度为3xcm,下绫边的宽度为2xcm.…（1分) 根据题意，得(180+3x+2x)(80+x+x)=23000.…(3分) 解得x=10,x2=-86(不合题意，舍去).… (5分) .180+3x+2x=230,80+x+x=100. (6分) 答：装裱成品的长为230cm,宽为100cm. (7分) 18.解：(1)补全频数分布表如下： 时间t/h 6~8 8≈10 10~12 12~14 14~16 频数 2 6 14 18 10 (2分) 补全频数分布直方图如下： 该校50名九年级学生参加社会实践活动时间频数分布直方图 人数 20 16 12 0 2 6810121416t/h (4分) 九年级数学答案第1页（共5页） (2)600X8+10=336(名).… 50 (5分) 答：估计该校九年级学生参加社会实践活动时间不少于12h的人数为336.…(6分) (3)答案不唯一，如八、九年级学生参加社会实践活动的时间在12≤t<14范围的人数最多， 在6≤t<8范围的人数最少. (8分) 19解：0号 (2分) (2)根据题意，列表如下： 金1 金2 银1 银2 银3 金1 (金2，金1) (银1，金1) (银2，金1) (银3，金1) 金2 (金1，金2) (银1，金2) (银2，金2) (银3，金2) 银1 (金1，银1) (金2，银1) (银2，银1) (银3，银1) 银2 (金1，银2) (金2，银2) (银1，银2) (银3，银2) 银3 (金1，银3) (金2，银3) (银1，银3) (银2，银3) (6分) 由表格可知，一共有20种等可能的情况，其中两个乒乓球都是“金色”的情况有2种，故其概 率为品=0即抽奖者获得“艺术节大礼包"的概率是。 (8分) 20.解：(1)如解图，过点C作CF⊥AB于点F,则∠AFC=∠BFC=90°.…（(1分) D --B 根据题意，得CF=500m,∠CAF=∠ACD=19°，∠CBF=∠BCE=26.… (2分) 在Rt△ACF中，tanLCAF=CF AF 4P69 (3分) 在Rt△BCF中，.tanLCBF=CF ..BF=CF 500 tan26°tan26 (m). (4分) AB=AF+BF=500+500 an19°+an26°≈2491(m）. (6分) 答：汾河水库两岸A,B两点间的距离约为2491m. (7分) (2)答案不唯一，如测量工具，人员分工，指导教师，活动感受等.… (8分) 21.解：(1)同弧所对的圆周角相等 (2分) (2）.∠BPH=∠ADB.… (3分) 又.∠DPG=∠BPH, 九年级数学答案第2页（共5页） .∠ADB=∠DPG. (4分) ..PG=DG (5分) AC⊥BD于点P, ∴.∠ADP+∠DAP=90°，∠APG+∠DPG=90° ,∠DAP=∠APG.… (6分) ..PG=AG. .AG=DG.… (7分) (3)64.… (9分) 22.解：(1)E(3,3.8). (1分) 设该抛物线的表达式为y=a(x-3)2+3.8.… (2分) 根据题意，知图象过A(0,2). 把A(0,2)代人，得a(0-3)2+3.8=2. (3分) 獬得a=-0.2.… (4分) .该抛物线的表达式为y=-0.2(x-3)2+3.8.…。 (5分) (2).抛物线的形状不变，AB=0.25m, .过点B的抛物线是由(1)中的抛物线沿直线l向上平移0.25m得到的，顶点坐标为(3,4.05). (6分) 过点B的抛物线的表达式为y=-0.2(x-3)2+4.05.… (7分) 当y=0时，-0.2(x-3)2+4.05=0.… (8分) 解得x1=7.5,x2=-1.5(不合题意，舍去).… (9分) .起跳点0与落地点D的水平距离OD的长为7.5m. (10分) (3)0.6m… (12分) 23.解：(1)∠ACB=90°， .∠ACG=90°. :△BDE是等腰直角三角形， .∠BDE=90°，BD=ED. (1分) ,∠AGC=∠EGD, ,.∴tan/AGC=tan/EGD.… (2分) AC ED CG DG 又.AC=4,CG=2, .BC=AC=4,ED=2DG.…(3分) ∴.BG=BC+CG=6. 九年级数学答案第3页（共5页） ED=BD, ∴.BD=2DG,即G是BD的中点. ∴DG=BG=6,BD=DE=12. (4分) 在Rt△ACG中，根据勾股定理，得AG=√AC2+CG2=2W√5. 在Rt△DEG中，根据勾股定理，得EG=√DG2+DE2=6√5. AE=AG+EG=8√5.… (5分) (2)CF∥BE. (6分) 理由如下：如解图1，延长AC交BE于点H.…(7分) ,∵∠ACB=90°，AC=BC ∴.∠CAB=∠ABC=45° △BDE是等腰直角三角形， ∴.∠DBE=45°. ∴.∠BHC=∠ACB-∠DBE=45°. 解图1 ∠BAC=∠BHC. ∴.AB=HB. 又.∠ABH=∠ABC+∠DBE=90°， ∴.△ABH是等腰直角三角形 (8分) BC⊥AH, .C是AH的中点. 又.F是AE的中点， .CF是△AEH的中位线， (9分) .CF∥EH,即CF∥BE. (10分) (3)(1+W2)a (13分) 【解析】如解图2，延长BA,ED交于点M. M ,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形， ∴.∠ACB=∠BDE=90°，∠CAB=∠ABC=∠DBE=∠DEB=45° ∴.∠MBE=∠ABC+∠DBE=90°. ∴.∠M=90°-∠MEB=45°. 解图2 ·.△BEM是等腰直角三角形， 又.BD⊥EM, .D是EM的中点. :F是AE的中点， 九年级数学答案第4页（共5页） DF是△AEM的中位线. .DF∥AM,即DF∥BM. .∠FDG=∠ABG=45°，∠EDF=∠M=45°. 又.∠AGB=∠FGD, ·.△ABG∽△FDG AB AG 小FD=FG ,EA平分∠DEB, .∴.∠DEG=∠BEG=22.5°. .∴.∠DFG=∠EDF+∠DEF=67.5°. .∴.∠AGB=∠DGF=180°-∠FDG-∠DFG=67.5°. .∠DFG=∠DGF ..DG=DF. ∠BAG=∠DEG+∠M=67.5. ∴.∠CAF=∠BAG-∠BAC=22.5. 由(2)，得CF∥BE. .∠AFC=∠AEB=22.5°. .∴.∠CAF=∠AFC,∠CFD=∠CFG+∠DFG=90°. ∴.AC=CF 又.∠FCD=90°-∠FDC=45°， .△CDF是等腰直角三角形. ∴.DF=CF. .AB=2BC,DF=CF=AC=BC=DG, 82 .FG=a, .AG=√2a. ..AF=AG+FG=(1+2)a. [注意：以上各题的其他解法，请参照此标准评分] 九年级数学答案第5页（共5页)姓名 准考证号 2025~2026学年第一学期九年级期末学情诊断卷 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑) 1.计算√2×√6的结果是 A.2√2 B.2√3 C.3√2 D.4w3 2.下列调查中，最适合采用抽样调查的是 A.检查一批飞行员的视力 B.对乘坐地铁乘客的安全检查 C.对神舟二十二号飞船零部件质量的检查 D.调查某款新能源汽车的抗撞击能力 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4,AC=3,则sinA的值为 A号 B暖 D.⑦ 4 4.下列一元二次方程中，没有实数根的是 A.x2-2x=0 B.2x2-4x+3=0 C.x2+4x-1=0 D.3x2=5x-2 5.关于二次函数y=-（x+2)2+3,下列说法正确的是 A.该函数的最大值为3 B.该函数图象的对称轴为直线x=2 C.该函数图象开口向上 D.当x<-2时，函数值y随x的增大而减小 九年级数学第1页（共8页） 6.某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在 一 定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度， 策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数m 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率m 0.60 0.45 0.49 0.50 0.50 0.55 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（结果精确到0.01） A.0.45 B.0.49 C.0.50 D.0.51 7.根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜 角不应大于30°.如图是某商场扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=4：7(i为铅垂高 度与水平长度的比).若小光乘扶梯从扶梯底端A处以0.5m/s的速度用时26s到 达扶梯顶端B处，则小光上升的铅垂高度BC为 A A.V5 46 C.4V65 D.76 5 8.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，连结DE,DE∥BC,连结CD,BE相 交于点O.若DE:BC=1:2,则下列结论不正确的是 1 B.SAe=亏C 1 C.SABDO= D.SAADC= 1 A.S△EBo=4S△C0 第8题图 第10题图 9.2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出的20周年.某地大力实施“植树造 林，净化环境”计划，当地原来森林植被覆盖面积为9600公顷，经过两个周期（每 个周期为5年)的全民行动，森林植被覆盖面积达到了15000公顷.设平均每个周 期的增长率为x,则可列方程为 A.9600(1+x)2=15000 B.9600(1+5x)2=15000 C.9600(1+2x)=15000 D.9600(1+5x)=15000 10.如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点C作⊙O的切线l,过点B作BD⊥1于点D.若 ∠CAB=30°，AB=8,则图中阴影部分的面积为 A暂-6 B.6√3、4m 8T D8π-63 3 C.63- 3 3 九年级数学第2页（共8页） 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应 的位置) 11.若二次根式√5-x有意义，则x的取值范围为 12.“50个人中有2个人的生日相同”是▲事件.（填“必然”“随机”或“不可能”） 13.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,过点C的直径与⊙O交于点F,连结AC,则 ∠ACF的度数为 第13题图 第15题图 14.已知在高度h。处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度 h(单位：m)与运动时间《单位：s)之间的关系可以近似地用公式A=,+4- 表示，其中g为重力加速度，g≈10m/s2.若小明将一个小球从距离地面2m的高处 以10m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为▲ m. 15.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,∠BCD=120°，E是BC边上一点，连 结AE,DE,且AE=DE,∠AED=90°.若AD=6,则CD的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分) 1)计算v3(6+2)-2x号+(-2： (2)解方程：3(x+2)2=x2-4. 17.（本题7分)现要装裱一幅180cm×80cm竖式布局的《七律， 长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边，上、下绫 青波缚等红 液等红 三格走闻軍 五 边的宽度之比为3：2，左、右绫边的宽度相等，下绫边的宽 軍横 军横浸五不 度是左、右绫边宽度的2倍.若装裱成品的面积为23000cm2, 求装裱成品的长与宽 跟蒙山 里大醇只 里大磅只 书法作品 装裱成品 九年级数学第3页（共8页） 18.(本题8分)参加社会实践活动可以增强学生运用知识解决实际问题的能力，培 养学生的自信心与责任心.某校数学小组为了解九年级学生这学期参加社会实 践活动的时间，随机对该年级部分学生参加社会实践活动的时间（单位：h)进行 调查 【收集数据】小明随机收集了50名九年级学生参加社会实践活动的时间，情况如下： 6141114101213911101312131015 129131115151310814129131114 1013911121311813111510121214 127111513 【整理数据】小明将这组数据以2为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大 值)，整理成如下的频数分布表： 时间t/h 6～8 8~10 10~12 12~14 14~16 频数 2 6 ▲ 18 【表示数据】小明根据频数分布表绘制了如图1所示的频数分布直方图， 该校50名九年级学生参加社会 该校50名八年级学生参加社会 实践活动时间频数分布直方图 实践活动时间扇形统计图 人数 20 6≤t<8 6 ×8≤t<10 12 14≤t<16 10 10≤t<12 6H 12≤t<14 0 6810121416t/h 图1 图2 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布表和频数分布直方图 (2)若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级学生参加社会实践活动时 间不少于12h的人数， (3)小明进一步随机调查了50名八年级学生参加社会实践活动时间的数据，并 整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出一个八、九年级 学生参加社会实践活动时间情况的相同点 九年级数学第4页（共8页） 19.(本题8分)为了丰富学生的文体活动，营造积极向上的校园氛围，某学校组织了 “校园科技艺术节”活动，其中有抽奖环节.在一个不透明的抽奖箱里放了5个除 颜色外其余均相同的彩色乒乓球，其中2个“金色”，3个“银色”.抽奖规则：从抽 奖箱里任意摸取两个乒乓球，如果两个乒乓球都是“金色”，即可获得“艺术节大 礼包”一份。 (1)从抽奖箱里摸出一个乒乓球是“银色”的概率为▲ (2)请用列表或画树状图的方法求抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率. 20.(本题8分)项目学习 项目背景： 汾河水库是一座以防洪、灌溉、城市生活和工业供水为主， 兼发电和养殖等综合利用的大型水利枢纽工程.某综合实 践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活 动，形成了如下活动报告. 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何勘测汾河水库两岸某两点间的距离 活动内容 利用三角函数有关知识进行计算 如图，在同一水平线上的两岸边分别取A,B两点， ①无人机从水面竖直上升500m后到达，点C; ②在，点C处测得点A的俯角∠ACD为19°； 方案 ③在，点C处测得点B的俯角∠BCE为26°.图中各，点都在同一竖直平 活动过程 说明 面内 D -H 计算 交流展示 … (1)请根据上述数据，计算汾河水库两岸A,B两点间的距离.（结果精确到1m;参 考数据：sin19°≈0.33，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，sin26°≈0.44，c0s26°≈ 0.90,tan26°≈0.49) (2)该小组的同学想要写一份完整的项目学习活动报告，除上表内容外，你认为 还需要补充哪些内容？（写出一个即可） 九年级数学第5页（共8页） 21.(本题9分)阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务. 探索“垂径四边形”的性质 在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理.一种常见的圆形窗棂 图案由四个端点均落在圆上的木条构成四边形框架，其中两条对角线木条互相垂直，这 种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构. G “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必 平分该边的对边.数学语言表述为：如图，四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于 ,点P.过点P作PH⊥BC于点H,反向延长PH交AD于点G,则AG=DG 证明：AC⊥BD于点P, .∴.∠ACB+∠PBH=90°. .PH⊥BC于点H, .∴.∠BPH+∠PBH=90°. .∴.∠ACB=∠BPH. 又：∠ACB=∠ADB,(依据) 任务： (1)材料中的“依据”是指 (2)请将材料中的证明过程补充完整. (3)若AC=BD=16,请直接写出四边形ABHG的面积. 九年级数学第6页（共8页） 22.（本题12分)综合与实践 问题情境： 某球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在 理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线， 测量数据： 篮球从距地面2的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距 地面3.8m,最高点与篮球出手点的水平距离为3m. 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E,对称轴为直线，篮球出手点 为A,落地点为C.以OC所在直线为x轴，过点A且与OC所在水平地面垂直的直 线为y轴，与水平地面的交点0为原点，建立平面直角坐标系， (1)请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的表达式： 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变 (2)如图，若球员原地垂直起跳0.25m投篮，篮球出手点记为B,即AB=0.25m, 篮球落地点为D,求起跳点O与落地点D的水平距离OD的长， (3)已知在距点0水平距离5.8m,垂直高度3.082m处是篮框.若该球员向篮框 方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳0.25投篮，篮球可准确落人篮框 内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离 九年级数学第7页（共8页） 23.（本题13分)综合与探究 问题情境： 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是BC延长线上一点，以点D为直 角顶点，在DB的右侧作等腰Rt△BDE,连结AE与BD交于点G,取AE的中点F, 连结CF. 初步探究： (1)若AC=4,CG=2,求AE的长 猜想证明： (2)试判断CF与BE的位置关系，并说明理由. 深入探究： (3)如图2，若EA平分∠DEB,连结DF.设FG=a,则AF的长为 ▲.（用含a 的代数式表示) 图1 图2 九年级数学第8页（共8页）