精品解析：四川省达州市渠县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季期末教学质量监测八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，真命题的个数有（ ）个 ①有一个角为的三角形是等边三角形；②底边相等的两个等腰三角形全等；③有一个内角是且腰长相等的两个等腰三角形全等；④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意如下：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡与兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 8. 如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A. y随x的增大而增大 B. 该函数的图象经过第一、二、三象限 C. 关于x的方程的解是 D. 该函数的图象与y轴的交点是 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：______． 10. 如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点D，则这个点D表示的实数是____. 11. 已知是一次函数图像上的两点____（填“<”或“>”或“>”）． 12. 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 15. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）求的面积； （3）设点P在坐标轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 16. 成都某学校为了解八年级学生每周课外阅读时间，进行了抽样调查．并将调查结果分为3小时（记为A）、4小时（记为B）、5小时（记为C）、6小时（记为D）根据调查情况制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为______； （2）抽样调查阅读时间的中位数是______，众数是______； （3）已知八年级共1800名学生，请估算全年级每周课外阅读时间不少于5小时的学生人数是多少． 17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15，CD＝17，AD＝17，连接AC， （1）证明∠ACD是直角； （2）求对角线BD的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． （1）直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） （2）若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； （3）若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小：______ 20. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点，若点的坐标为，则______． 21. 将两张直角三角形纸片按如图放置，已知，O是的中点，与的面积之比为，则的长为__________，的面积为__________． 22. 如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 23. 如图，在长方形纸片中，，E是的中点，F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，′，′，则周长的最小值为__________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ （3）若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴负半轴交于点C，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒），的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． （2）如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末教学质量监测八年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不合题意； 、是无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意； 、是整数，属于有理数，该选项不合题意； 、是分数，属于有理数，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，不能构成直角三角形，A选项不符合题意． ，不能构成直角三角形，B选项不符合题意． ，不能构成直角三角形，C选项不符合题意． ，能构成直角三角形，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 3. 如图，，直线分别交，于，两点，于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质求出，进而即可得到答案. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称以及点的坐标：关于y轴对称的点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此即可作答． 【详解】解：依题意，点关于y轴对称的点的坐标是 故选：B． 5. 下列命题中，真命题的个数有（ ）个 ①有一个角为的三角形是等边三角形；②底边相等的两个等腰三角形全等；③有一个内角是且腰长相等的两个等腰三角形全等；④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的各个说法可以判断其是否正确． 【详解】①在三角形中，三个角是60°，50°，70°，但三角形不是等边三角形，故①错误； ②一个等腰三角形的三边长为2，3，3，另一个等腰三角形的三边长为2，4，4，底边都为2，但两个等腰三角形不全等，故②错误； ③如果两个等腰三角形的腰相等，一个等腰三角形的底角是50°，一个等腰三角形的顶角是50°，则这两个三角形不是全等的，故③错误； ④一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查命题和定理，解题的关键是明确命题和定理的定义，可以判断一个命题的真假． 6. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”其大意如下：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡与兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程组． 【详解】由题意可得， ， 故选：C． 【点晴】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 8. 如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A. y随x的增大而增大 B. 该函数的图象经过第一、二、三象限 C. 关于x的方程的解是 D. 该函数的图象与y轴的交点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．根据表格信息求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入得到， 解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当时，，解得，该选项正确，符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图象与轴的交点是，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，二次根式的性质是解题关键． 10. 如图，正方形OABC的边长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点D，则这个点D表示的实数是____. 【答案】 【解析】 【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点D，则OD也为圆的半径，并且等于对角线的长度． 【详解】解：由勾股定理，得： OB=， 由作图痕迹可知OD=OB=， 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴的关系，利用同圆的半径相等确定OD=OB是解题关键． 11. 已知是一次函数图像上的两点____（填“<”或“>”或“>”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵是一次函数图像上的两点，， 随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较一次函数的函数值的大小，掌握一次函数的性质是解题的关键． 12. 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【解析】 【分析】根据气温的波动大小判断即可．方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温波动较大，故甲地的日平均气温的方差大． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；②作直线，交于点；③连接，若，，则的长为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理． 由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理建立方程，即可计算的长． 【详解】解：由题意知垂直平分， ， ， ， ． 故答案为：13． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）6；（2）方程组的解为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据平方根、立方根、以及绝对值的意义计算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ，得 ∴ 把带入①得： ∴方程组的解为． 15. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出． （2）求的面积； （3）设点P在坐标轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）4 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或，当点在x轴上时，可得：，可得点P的坐标为或． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 【小问3详解】 解：点在轴上， 的面积， 即， 解得：． ∴点的坐标为或． 当点在x轴上时， 的面积， 即：， 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上：点P的坐标为或或或. 16. 成都某学校为了解八年级学生每周课外阅读时间，进行了抽样调查．并将调查结果分为3小时（记为A）、4小时（记为B）、5小时（记为C）、6小时（记为D）根据调查情况制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为______； （2）抽样调查阅读时间的中位数是______，众数是______； （3）已知八年级共1800名学生，请估算全年级每周课外阅读时间不少于5小时的学生人数是多少． 【答案】（1） 补全条形图如图： （2）5小时，5小时 （3）1200人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键． （1）用类人数除以所占的百分比求出调查的总数，进而求出类的人数，补全条形图，再用D类所占的比例乘以360度，求出相应的圆心角即可； （2）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：调查总人数为， ∴类人数为：， 类所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：． 【小问2详解】 将48个数据从小到大排列后，处在第24、25位两个数都是5小时， 因此抽样调查阅读时间的中位数是5小时， 抽样调查阅读时间出现次数最多的是5小时，因此众数是5小时， 故答案为：5小时，5小时． 【小问3详解】 （人）， 全年级每周课外阅读时间不少干5小时的学生人数是1200人．． 17. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15，CD＝17，AD＝17，连接AC， （1）证明∠ACD是直角； （2）求对角线BD的长． 【答案】（1）证明：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15， ∴AC＝＝＝17， ∵CD＝17，AD＝17， ∴CD2+AC2＝172+172＝578，AD2＝（17）2＝578， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD=90°． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理即可证明∠ACD是直角； （2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，证明△ABC≌△CED，在Rt△BDE中，利用BD＝即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°， 由（1）知△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CAB+∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝∠CAB， 又AC＝CD=17 ∴在△ABC和△CED中，， ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴AB＝CE，BC＝ED， ∵AB＝8，BC＝15， ∴CE＝8，ED＝15， ∴BE＝BC+CE＝15+8＝23， ∴BD＝＝＝． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是熟练掌握：勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． （1）直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） （2）若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； （3）若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】（1）过； （2）； （3）4或． 【解析】 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【小问1详解】 解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； 【小问2详解】 在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； 【小问3详解】 在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 比较大小：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算，即可求解． 【详解】解：解：∵ ∴ 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点，若点的坐标为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据作图方法可得点在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得，然后求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图可知，， ， （SSS）， ， 是的角平分线， ， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，基本作图，关键是掌握角平分线的做法． 21. 将两张直角三角形纸片按如图放置，已知，O是的中点，与的面积之比为，则的长为__________，的面积为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线和高，勾股定理． 根据中线概念得到，利用三角形面积公式得到，则与的面积之比为，所以，则，接着利用勾股定理计算出，然后根据三角形面积公式计算出，从而得到． 【详解】解：点是的中点， ， ， ， 与的面积之比为， 与的面积之比为， ， ， ， ， 而与的面积之比为， ． 故答案为：3；． 22. 如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键． 依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上，轴， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线， ． ， ，即点的横坐标为， 同理可得： 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 偶数下标点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 23. 如图，在长方形纸片中，，E是的中点，F是上一动点．将沿直线折叠，点A落在点处．在上任取一点G，连接，′，′，则周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题结合长方形性质、折叠性质及勾股定理求解周长的最小值．关键在于利用折叠的对称性（）将周长转化为，再通过分析的最小值（由三角形三边关系确定），结合勾股定理计算相关线段长度，进而得到周长最小值． 【详解】解：． 由折叠性质知，是的垂直平分线， 故， ， 四边形是长方形， ，，， 根据勾股定理，， 当在与的交点时，取得最小值， 即的最小值为， 点是中点， ， 由折叠性质，， 在中，，， ， 根据三角形三边关系，， 的最小值为， 周长的最小值为． 【点睛】本题核心是利用折叠的对称性将转化为，把周长问题转化为线段和的最小值问题；再结合长方形性质（对边相等、直角）、勾股定理（计算对角线与线段长度）及三角形三边关系（确定的最小值），最终求得周长最小值． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车辆，一次运转，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？ （3）若A型车每辆需租金元/次，B型车每辆需租金元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； （3）租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【小问1详解】 解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； 【小问3详解】 解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴负半轴交于点C，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒），的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质求出点的坐标即可； （2）分两种情况：当点P在点O的左侧时，当点P在点O的右侧时，分别表示出的长即可； （3）设BC的函数解析式为，代入点，，求出BC的函数解析式，再分两种情况讨论即可，这两种情况分别是：当时，过点D作轴，垂足为G，与当时，过点D作轴，垂足为点H． 【小问1详解】 解：把代入，， ∴， 把代入，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点O的左侧时，， 即， 当点P在点O的右侧时，，， 即， 故； 【小问3详解】 设BC的函数解析式为， 其图象经过点，， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为， 当时，过点D作轴，垂足为G， ∵是等腰直角三角形，∴， 又∵， ∴， ∴ 把代入，， ∴， ∴， 即， 当时，过点D作轴，垂足为点H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 设， ∴，把代入，，则， ， 则，，，即． 综上所述，t的值为或 ． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合问题，掌握几何图形的性质求出函数具体解析式是解决本题的关键． 26. 如图，在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，点在内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点G到直线的距离． （2）如图2，点D在的内部，探究，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1） ①证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ； ②点G到直线的距离为 （2） ，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 由翻折得，，， ， ，即， ， ． 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据全等三角形的判定即可证明； ②根据全等三角形的性质和折叠的性质，求出和的长度即可解答； （2）过点作交的延长线于点，证明，根据折叠的性质即可解答． 【小问1详解】 ①略 ②解：， ，， ， ，， ， ， ， 由翻折得，，， ， ， ， 点、点、点三点共线， ， 设点到直线的距离为， 则， 即； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $