第1章直角三角形的边角关系精选练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第1章直角三角形的边角关系精选练习-2025-2026学年数学九年级下册北师大 版 一、选择题 64BC中，∠C=90°，BC=4,anA,则4C的值为 A.10 B.8 C.6 D.4 2.如图，在Rt△ABC中，∠C-90°，AC=5,BC=12,下列结论正确的是（) A C B A.tanA=5 12 B.tanB=5 12 C.sinA=5 3 D.cosB=12 3 3.如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长 的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是() B 地面 A.i=1:1.5 B.i=1:2 C.i=1:3 D.i=1:3.5 4如，阁菱形ABCD周长为20cm,DELAR,垂足为E,simA-,则BD长为() D A.3cm B.v10cm C.4cm D.5cm 5.如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B 处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（)米（精确到1米）. (参考数据：sin370.6,cos370.8,tan370.75,√5≈1.7) B A.74 B.91 C.57 D.40 6.如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F是CD的中点，连接EF并延长交AD于 点G,连接BF,BG,AB=4CE=4,则tan∠BG=() G D A A.V5 1 B. 2 C.25 D.2 5 5 7.第14届国际数学教育大会(JCME-14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学 家赵爽的“弦图”，如图2所示的弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG, △DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=l:3,则sin∠ABE=（) D ICmE-14 B 图1 2 A. 2w5 5 B. c D. 5 8.如图，把一个长方形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，己 14=37°，则BC的长约为()（参考数据：cos37之 B.4 C.5 D.20 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BE平分∠ABC交AD于点E,交AC于点G,过E作 EF⊥BC于点F,交AC于点H,若3AG=2CH,则sin∠EGH的值是() G H C A.3 B子 万 D. 5 10。光线从空气斜射入其它介质中会发生折射现象，且折射率n=sng sin B (其中a为入射角，B为折 射角).如图，某学习小组为了研究某种透明玻璃的折射率，设计了如下实验：让激光笔发出的光线 沿PC方向照射到玻璃砖表面点E处，经玻璃折射后，光线沿EF照射到F处，四边形ABCD是矩形， 直线EG是法线.测得入射角a=30°，AB=12√2cm,CF=3.8cm.则该玻璃的折射率n约为() (参考数据：V6≈2.45) P A.1.4 B.1.5 C.1.6 D.1.8 二、填空题 11.用含特殊锐角的三角比的式子表示：√2= 12.已知tanA=1,∠A是锐角，则∠A= 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,cosA= 5,那么直角边AC长为 14.如图，E是正方形ABCD下方一点，连接AE,BE,DE,若AE=4,∠AEB=135°，则DE-BE 的值为 15.如图，在口ABCD中，BC=V2AC,且AB◆AC,,F为AB边上一动点，将△BFC沿CF 折叠，点B的对应点为B,E为B'C的中点，设点F从点B运动到点A的过程中，点E经过的 路径长为m,AB的长为n,则”的值为 D 16.如图，平行四边形ABCD中，AB=4,AD=6,∠ABC=60°，∠BAD与∠ABC的平分线 AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠ADP的值为 D B 三、解答题 17,先化简，再求值： 其中m=tan60°+1. 18.计算：cos30°.tan60°-sin45,cos45 9,如图，M0是aABC的高，若D=6,amC,BC=2 D (1)求CD边的长： (2)求cosB的值. 20.黄旭华院士被誉为“中国核潜艇之父”，1970年黄旭华院士主持设计的中国第一艘核潜艇“长征一 号”正式列入海军战斗序列.在一次反潜演习中，军舰A正在追踪“长征一号B,军舰A的声呐系统 测得“长征一号B的俯角为30°.同时，军舰A正上方300米的反潜直升机C测得“长征一号B的俯 角45°.求此时“长征一号B离开海平面的下潜深度.（结果保留整数，√5≈1.732） C V458 30 21.如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC 于点G,GH⊥AD于点H,AB=3,DE=1. D 分 (1)求tan∠ACE的值； (2)设AF=x,GH=y,试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）： (3)当∠ADF=∠ACE时，判断△CGE与△DAF是否相似并说明理由. 2如图1，在平面直能坐标系0中，直线=x+4与反比例函数y=车交于A6m,B两点。 B 与x轴交于点C. E M 图1 图2 (1)求m,k的值 (2)P为反比例函数图象上任意一点（不与A,B重合） ①过P作PQ⊥AB交y轴于点Q,若PQ=2AC,求P点坐标： ②如图2，直线PA与x轴、y轴分别交于点M,N,直线BP分别与x轴y轴交于E,F.试判断 ME·FN是否为定值.若是，求出该值；若不是，请说明理由. 答案解析部分 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】B 11.【答案】2sin45° 12.【答案】45 13.【答案】4 14.【答案】42 15.【答案】 4 16.【答案】 17.【答案】 m+1.25 m-1’3 +1 x52, 18.【答案】解：原式=5x 22 =1 19.【答案】(1)解：在RIAADC中， 'tanC=4D_3 CD2,AD=6, ∴.CD=4 (2)解：，BC=12,CD=4, .BD=8; 在R1△ADB中， AB=AD2+BD2 =10, ."cos B=. BD 4 AB5· 20.【答案】解：过点B作BD⊥AC,交CA的延长线于点D, C 衣45E A文30 D B 则AD即为潜艇B的下潜深度， 根据题意得：∠ABD=30°，∠CBD=45°， 设AD=x,则CD=CA+AD=300+x, 在RtABD中，BD==5x, tan30° 在RtaCBD中，CD=BD·tan45°， .300+x=V3x, 解得：x=150(5+1≈410米， ∴，潜艇B离开海平面的下潜深度约为410米. 21.【答案】(1)解：过点E作EM⊥AC于点M, M B .∠AME=∠EMC=90°， 四边形ABCD是正方形，AB=3,DE=1, ∴.∠CAD=45°，AE=AD-DE=3-1=2, .EM-AM=AE.sin LCAD-2x 4C=3 2 ..CM=AC-AM=32-2=22, .tan∠ACE= EM 2 1 CM 22 2 (2)解：四边形ABCD是边长为3的正方形， ∴.∠CAD=45°， :GH⊥AD, ∴△AHG是等腰直角三角形， .AH =GH=y .GH⊥AD,AB⊥AD, .GH‖AB, ∴aDHG∽aDAF, ·HG=DH AF DA 上=3-y 3, ∴.y=x-y, y=3x0<xs3) x+3 (3)解：当∠ADF=∠ACE时，△CGEADAF, 里由：tan∠ADF=an∠ACE=)y AF x1 AD32, 3 3× 3 =2,y=3 .x= 2=1, 2×3 .HA=GH=1, .EH=AD-DE-AH=1, ∴△EHG是等腰直角三角形， .∠HGE=45°， :△AHG是等腰直角三角形， :∠AGH=45°， ∴.∠AGE=∠AGH+∠HGE=90°， ∴.∠CGE=∠DAF=90°. .∠ADF=∠ACE, ∴.△CGE∽ADAF 1 22.【答案】(1)解：当x=6时，y=-一×6+4=1， 2 .A(6,1),即m=1, 将点A(6,1)代入反比例函数y=冬中， 得1-会，解得太=6 (2)解：由(1)可知，反比例函数的表达式为y=6 且直线AB的表达式为y=7x+4 当y=0时，0= 2x+4,即x=8 1 直线AB与x轴交于点C(8,0), 6 V=_ 联立得 1 y=-5x+4 21 即6、1 2x+4, 解得x=2,3=6,片=32=1 ∴点B坐标为(2,3)， 由点4，C的坐标可知，AC=V(8-6)+1P=V5, 直线AB与y轴交点为D(0,4), tan∠4C0=OD-41 0C82 ①过点P作y轴的平行线与点Q作x轴的平行线交于点N,与直线AB交于点K, D -N