6.1 平面向量的概念 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1　平面向量的概念 一、必备知识基础练 1.(探究点一)下列量中是向量的为(　　) A.体积 B.距离 C.拉力 D.质量 2.(探究点一)下列说法正确的是(　　) A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个单位长度 D.零向量就是实数0 3.(探究点三)在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则下列选项正确的是(　　) A.共线 B.共线 C.相等 D.相等 4.(探究点三)若||=||且,则四边形ABCD的形状为(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 5.(探究点三)给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是(　　) A.①② B.② C.②③ D.③④ 6.(多选题)(探究点一)下列说法错误的是(　　) A.向量就是有向线段 B.若e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2| C.||=|| D.若||>||,则 7.(多选题)(探究点三)下列说法正确的是(　　) A.若a≠b,则|a|≠|b| B.在平行四边形ABCD中,一定有 C.若a=b,b=c,则a=c D.若a∥b,b∥c,则a∥c 8.(多选题)(探究点一)下列说法正确的是(　　) A.向量不能比较大小,但向量的模能比较大小 B.|a|与|b|是否相等与a与b的方向无关 C.向量的模一定是正数 D.若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上 9.(探究点二)已知||=1,||=2,若∠ABC=90°,则||=　　　　　.  10.(探究点二、三·2025河南南阳高一期末)如图,E,F,G依次是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点. (1)在以A,B,C,E,F,G为起点或终点的向量中,找出与向量共线的向量; (2)在以A,B,C为起点,以E,F,G为终点的向量中,找出与向量模相等的向量; (3)在以E,F,G为起点,以A,B,C为终点的向量中,找出与向量相等的向量. 二、关键能力提升练 11.已知四边形ABCD,下列说法正确的是(　　) A.若,则四边形ABCD为平行四边形 B.若||=||,则四边形ABCD为矩形 C.若,且||=||,则四边形ABCD为矩形 D.若||=||,且,则四边形ABCD为梯形 12. (多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是(　　) A.与相等的向量只有一个(不包括本身) B.与的模相等的向量有9个(不包括本身) C.的模为模的倍 D.不共线 13.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是　　　　　.(填序号)  14.在四边形ABCD中,,且是单位向量,则四边形ABCD是　　　　　.  15.有下列说法: ①若向量a与b满足a≠b,则a一定不与b共线; ②在同一平面中,若||=||=||≠0,则点B,C,D在以A为圆心,以||长为半径的圆上; ③在▱ABCD中,一定有; ④共线向量是在一条直线上的向量. 其中所有正确的说法是　　　　.(填序号)  16.中国象棋中规定:马走“日”字,如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量表示马走了“一步”,试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况. 17. 已知在四边形ABCD中,,且||=||,tan D=,判断四边形ABCD的形状. 三、学科素养创新练 18.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是(　　) A.||=|| B.共线 C.共线 D. 19.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=. (1)画出所有的向量; (2)求||的最大值与最小值. 参考答案 1.C　A,B,D只有大小,C既有大小又有方向.故选C. 2.C　对于A,零向量的模等于零,A错误;对于B,零向量有方向,其方向是任意的,B错误;对于C,根据单位向量的定义可知C正确;对于D,零向量有大小还有方向,而实数0只有大小没有方向,D错误.故选C. 3.B　由题意可知,不共线,A错误;因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,故共线,B正确;因为CD与AE不平行,所以不相等,C错误;因为反向,故不相等,D错误.故选B. 4.C　由知,AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形. 5.B　①起点相同,方向相同,但大小不一定相同,所以两个非零向量的终点不一定相同,故错误; ②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同,故正确; ③两个平行的非零向量的方向相同或相反,故错误; ④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,有向线段所在的直线可能平行,故错误.故选B. 6.AD　向量可以用有向线段表示,但不能把两者等同,故A错误;由单位向量的定义可知,|e1|=|e2|,故B正确;因为CD=DC,所以||=||,故C正确;因为两个向量不能比较大小,故D错误.故选AD. 7.BC　对于A,a≠b,但|a|与|b|可能相等,故A错误;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平行且相等,的方向相同,所以,故B正确;对于C,由向量相等的定义知,当a=b,b=c时,有a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立,故D错误.故选BC. 8.AB　对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小,向量的模可以比较大小,故选项A正确;对于B,|a|与|b|分别表示向量a与b的大小,与a,b的方向无关,故选项B正确;对于C,向量的模可能为零,故选项C不正确;对于D,若向量与向量是共线向量,表示的有向线段可能不在同一条直线上,得不出A,B,C,D四点在一条直线上,故选项D不正确.故选AB. 9.　由勾股定理可知,|BC|=,即||=. 10.解(1)因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC,且EF=AC,所以与向量共线的向量是. (2)因为△ABC是正三角形, 所以AB=AC=BC. 因为E,F,G依次是正三角形ABC的边AB,BC,AC的中点, 所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG, 所以在以A,B,C为起点,以E,F,G为终点的向量中,与向量模相等的向量为. (3)在以E,F,G为起点,以A,B,C为终点的向量中,与向量相等的向量为. 11.A　A选项,若,则||=||且,则四边形ABCD为平行四边形,A正确; B选项,如图,||=||=2,但是四边形ABCD不是矩形,B错误; C选项,若,且||=||,则四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故C错误; D选项,若||=||,且,则四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,D错误.故选A. 12.ABC　A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以共线,故D错误. 13.①③④　若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b. 14.菱形　由可知四边形ABCD是平行四边形, 又是单位向量,所以||=||=1,所以四边形ABCD是菱形. 15.②③　①两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确; ②显然点B,C,D到点A的距离都等于||,故②正确; ③在平行四边形ABCD中,||=||,平行且方向相同,所以,故③正确; ④共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确. 16.解根据规则,画出符合要求的所有向量,马在B处走了“一步”的情况如图所示, 马在C处走了“一步”的情况如图所示. 17.解∵在四边形ABCD中,, ∴ABDC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵tan D=,∴∠B=∠D=60°. 又||=||, ∴△ABC是等边三角形. ∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形. 18.ABD　由向量相等及共线的概念,结合图形可知C不一定正确. 19.解(1)画出所有的向量如图所示. (2)由(1)所画的图知, ①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值; ②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值. ∴||的最大值为,最小值为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $