专题01 平面向量的概念5题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题01 平面向量的概念5题型分类 一、向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小没有方向的量称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的几何表示 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||． 2．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 3．模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． 长度为0的向量叫做零向量，记作0． 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 三、相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 注： 1.①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. （一） 向量的概念 1、向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2、解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 题型1：向量与数量的辨析 1．（2025高一·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025高二·黑龙江月考）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 3．（2025高一·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 4．（2025高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个. 5．（2025高一·全国月考）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 题型2：零向量与单位向量 6．（2025高一·全国月考）如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 7．（2025高二·广东湛江月考）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025高一·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 9．（2025高一·全国月考）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 10．（2025高一·全国月考）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（    ） A． B．或 C． D．与的长度相等 （二） 向量的几何表示及应用 1．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 2．模、零向量、单位向量 (1)向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． (2)长度为0的向量叫做零向量，记作0． (3)长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 3.作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 题型3：向量的几何表示与向量的模 11．（2025高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 12．（2025高一·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 13．（2025高一·全国月考）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 14．（2025高一·全国月考）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 15．（2025高一·全国月考）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 16．（2025高一·安徽淮北月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 17．（2025高一·山东菏泽月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 18．（2025高一·全国月考）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模. 19．（2025高一·安徽合肥月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 20．（2025高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    （三） 相等向量与共线向量 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 题型4：相等向量与共线向量的判定 21．（2025高二·广东湛江·期中）下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 22．（2025高一·山东滨州·期中）下列说法正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 23．（2025高一·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 24．（2025高一·全国月考）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 25．（2025高一·全国·课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：      (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 26．（2025高一·江苏淮安月考）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 27．（2025高一·全国月考）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 28．（2025高一·全国月考）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 题型5：利用向量关系研究几何图形的性质 29．（2025高一·全国月考）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    30．（2025高一·全国月考）在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 31．（2025高一·全国月考）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）下列说法错误的是（    ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 2．（2025高一·全国月考）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（    ） A． B．或 C． D．与的长度相等 3．（2025高一·全国月考）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.  其中的正确命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025高一·全国月考）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 5．（2025高一·河南濮阳·期中）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025高一·湖南衡阳·期末）若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 7．（2025高一·山西忻州月考）下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025高一·全国月考）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．（2025高一·新疆月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（2025高一·山东菏泽月考）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 11．（2025高一·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 12．（2025高三·四川广安月考）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025高一·湖南长沙月考）下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2025高一·四川眉山·期中）若都是非零向量，且，则（    ） A．方向相同 B．方向相反 C． D． 15．（2025高一·四川泸州月考）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 三、填空题 16．（2025高一·海南儋州月考）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 17．（2025高一·全国月考）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 18．（2025高一·全国月考）①把所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ②若表示单位向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ③若表示向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； 19．（2025高一·全国月考）已知在边长为2的菱形中．．则 . 20．（2025高一·全国月考）已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合 21．（2025高一·全国月考）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 22．（2025高一·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 四、解答题 23．（2025高一·全国月考）如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 24．（2025高一·全国·课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？    25．（2025高三·全国月考）如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形． (1)与相等的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ (3)若，求的大小． 26．（2025高一·全国月考）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题01 平面向量的概念5题型分类 一、向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2．数量：只有大小没有方向的量称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 二、向量的几何表示 1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示． 以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度记作||． 2．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)． 3．模、零向量、单位向量 向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． 长度为0的向量叫做零向量，记作0． 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 三、相等向量与共线向量 1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法：向量a与b平行，记作a∥b. (2)规定：零向量与任意向量平行. 2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 注： 1.①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 3．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. （一） 向量的概念 1、向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． 2、解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 题型1：向量与数量的辨析 1．（2025高一·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 2．（2025高二·黑龙江月考）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【解析】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 3．（2025高一·新疆·期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可. 【解析】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错； B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错； C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错； D：有向线段和有向线段的长度相等，故D对. 故选：D 4．（2025高一·全国·单元测试）下列各量：①数轴；②温度；③拉力；④密度；⑤风速.其中是向量的有 个. 【答案】2 【分析】根据向量的定义判断即可． 【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量； 温度、密度、风速只有大小没有方向，因此不是向量； 而数轴、拉力既有大小，又有方向，因此它们都是向量. 故答案为:2. 5．（2025高一·全国月考）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是(    ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】根据向量的定义即可判断. 【解析】密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量； 速度、位移既有大小又有方向，是向量． 故选：D． 题型2：零向量与单位向量 6．（2025高一·全国月考）如果将平面内所有单位向量的起点放在同一点，那么它们的终点构成的图形是（    ） A．正方形 B．圆 C．线段 D．点 【答案】B 【分析】由单位向量的概念即可得出结论. 【解析】把所有单位向量的起点平行移动到同一点，向量终点的集合是距离点为单位长的点，那么它们的终点构成的图形是圆. 故选：B. 7．（2025高二·广东湛江月考）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【解析】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 8．（2025高一·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 9．（2025高一·全国月考）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【答案】C 【分析】根据零向量和单位向量的概念求解. 【解析】零向量有大小，有方向，其长度为0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判断. 故选：C. 10．（2025高一·全国月考）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（    ） A． B．或 C． D．与的长度相等 【答案】D 【分析】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答. 【解析】依题意，，显然向量的关系不确定， 而与同方向，与同方向，因此与关系不确定，A，B，C都错误， 又都是单位向量，所以与的长度相等，D正确. 故选：D （二） 向量的几何表示及应用 1．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． (2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，). 2．模、零向量、单位向量 (1)向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作||． (2)长度为0的向量叫做零向量，记作0． (3)长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． 3.作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 题型3：向量的几何表示与向量的模 11．（2025高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． 【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    12．（2025高一·新疆·期中）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（    ） A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向 C．向量的起点是 D．向量的终点是 【答案】D 【分析】根据向量的几何表示逐个选项分析可得答案. 【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确； 向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确. 故选：D 13．（2025高一·全国月考）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量； （2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模. 【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为， 又因为D点在B点的正北方，所以， 又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，； 即可作出、、如下图所示. （2）如图，作出向量， 由题意可知，且， 所以四边形是平行四边形， 则， 所以的模为 14．（2025高一·全国月考）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【答案】（1）作图见解析；（2）400（海里）． 【分析】（1）根据题设以为正东方向，过A垂直于向上为正北方向，结合题设画出向量即可. （2）由题设知，易知为平行四边形，即可求. 【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求． （2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又， ∴在中，，故为平行四边形， ∴，则（海里）． 15．（2025高一·全国月考）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O北偏东45°； （2），使＝4，点B在点A正东； （3），使＝6，点C在点B北偏东30°. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量； （2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量； （3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量． 【解析】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示． （2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示． （3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示． 【点睛】本题考查方位角和向量的几何表示，关键在于明确方位角的含义和向量的模，得出向量在横向和纵向的小方格的个数，属于基础题. 16．（2025高一·安徽淮北月考）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 17．（2025高一·山东菏泽月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解析】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 18．（2025高一·全国月考）如图，已知是单位向量，求出图中向量，，，的模. 【答案】 【分析】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为，再根据平面向量模的概念即可得到结果. 【解析】因为是单位向量，所以图中小正方形的边长为； 所以， 由勾股定理可知，，. 19．（2025高一·安徽合肥月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据，可得，进一步得出答案. 【解析】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 20．（2025高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【答案】2 n mile． 【分析】在直角三角形中求得向量的长度． 【解析】由题意， 所以向量的长度为2 n mile． （三） 相等向量与共线向量 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. 题型4：相等向量与共线向量的判定 21．（2025高二·广东湛江·期中）下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断； C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断； 【解析】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误； 对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误； 对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确； 对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误. 故选：C. 22．（2025高一·山东滨州·期中）下列说法正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用向量的相关性质逐项判断即可. 【解析】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以选项A错误； 对于B，若，说明两个向量的模长相等，但方向不一定相同或相反，所以两向量不一定共线，所以选项B错误； 对于C，向量的相等条件为方向相同且模长相等，所以，则，所以选项C正确； 对于D，此时若，但两向量的方向不同，满足，但与选项D题干矛盾，所以选项D错误. 故选：C. 23．（2025高一·陕西·期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项. 【解析】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确. 对于B，因为，故，故B正确. 对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确. 对于D，因为交于，故不成立，故D错误， 故选：D. 24．（2025高一·全国月考）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为的向量有哪些？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】，，，，，，， 【分析】根据图形，结合平行向量和向量模的定义直接得出结果. 【解析】如图所示，满足与平行且长度为的向量有，，，，，，，，共8个． 25．（2025高一·全国·课堂例题）已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：      (1)试找出与共线的向量； (2)确定与相等的向量； (3)与相等吗？ 【答案】(1)和； (2)； (3)不相等. 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答. 【解析】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和. （2）由于与长度相等且方向相同，所以. （3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等. 26．（2025高一·江苏淮安月考）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出. 【解析】图中与共线的向量有： ，共9个， 故选：C. 27．（2025高一·全国月考）在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【分析】根据向量共线概念即可求解结果． 【解析】因为与不平行，所以与不共线，A错 因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，则D错． 故选：B 28．（2025高一·全国月考）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 题型5：利用向量关系研究几何图形的性质 29．（2025高一·全国月考）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】答案见解析 【分析】由，可得AC、BD互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明. 【解析】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，． 所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分， 所以四边形ABCD是平行四边形． 即证. 30．（2025高一·全国月考）在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可证明结果. 【解析】证明：在四边形ABCD中， ， 所以，且 所以四边形为平行四边形． 31．（2025高一·全国月考）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接AC，易得，分别为和的中位线，进而可得，且，又向量与方向相同，从而得证. 【解析】证明：如图，连接AC，    因为，分别是，的中点，所以为的中位线， 所以，且， 同理，因为，分别是，的中点，所以，且， 所以，且， 因为向量与方向相同，所以. 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）下列说法错误的是（    ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】C 【分析】利用向量的有关概念即可. 【解析】对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确； 对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误； 对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确． 故选：C． 2．（2025高一·全国月考）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（    ） A． B．或 C． D．与的长度相等 【答案】D 【分析】利用已知条件，结合方向相同的向量、单位向量的意义判断作答. 【解析】依题意，，显然向量的关系不确定， 而与同方向，与同方向，因此与关系不确定，A，B，C都错误， 又都是单位向量，所以与的长度相等，D正确. 故选：D 3．（2025高一·全国月考）给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，则.  其中的正确命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据向量的概念及零向量，平行向量的概念进行判断. 【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是零向量，故①错误； 对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，故②错误； 对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等，③错误； 对于④，若，则，④正确. 故选：A. 4．（2025高一·全国月考）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可. 【解析】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以，，，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 5．（2025高一·河南濮阳·期中）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可. 【解析】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确； 零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量， 则不满足两向量方向相同或相反，即②错误； 同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误. 综上正确的是1个. 故选：B 6．（2025高一·湖南衡阳·期末）若向量与向量不相等，则与一定（　　） A．不共线 B．长度不相等 C．不都是单位向量 D．不都是零向量 【答案】D 【分析】向量相等为长度和方向都相同，所以若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同，分析选项可得结果. 【解析】若向量与向量不相等，则说明向量与向量的方向和长度至少有一个不同， 所以与有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量， 所以A，B，C都是错误的， 但是与一定不都是零向量． 故选：D. 7．（2025高一·山西忻州月考）下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项. 【解析】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当时可能，所以B错误； 对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当时和不一定平行，所以C错误； 对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若，则成立，所以D正确. 综上可知，D为正确选项， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 8．（2025高一·全国月考）给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】既有方向，又有大小的量为向量 【解析】①质量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨时间只有大小，没有方向，故不是向量，其余均为向量，故共有5个不是向量. 故选：C 9．（2025高一·新疆月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可. 【解析】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误； 对于D，当时，，，此时未必共线，D错误. 故选：B. 10．（2025高一·山东菏泽月考）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【解析】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 11．（2025高一·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 【答案】B 【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误. 【解析】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定， 故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确； 对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点， 所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误； 故选：B. 12．（2025高三·四川广安月考）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由为单位向量，根据向量共线的性质、充分必要性定义判断推出关系，即可得结果. 【解析】由分别表示方向上的单位向量， 当，即共线，充分性成立； 当与共线，若同向共线时，不成立，必要性不成立. “”是“与共线”的充分不必要条件. 故选：B 13．（2025高一·湖南长沙月考）下列命题：①若，则； ②若，，则； ③的充要条件是且； ④若，，则； ⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件的定义可判断③⑤；取可判断④. 【解析】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错； 对于②，若，，则，②对； 对于③，且或， 所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错； 对于④，取，则、不一定共线，④错； 对于⑤，若、、、是不共线的四点， 当时，则且，此时，四边形为平行四边形， 当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知， 所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对. 故选：A. 二、多选题 14．（2025高一·四川眉山·期中）若都是非零向量，且，则（    ） A．方向相同 B．方向相反 C． D． 【答案】AC 【分析】根据相等向量的概念判断各选项即可. 【解析】由相等向量的概念可知，由都是非零向量，且， 则方向相同，长度相等，故AC正确，B错误； 而，故D错误. 故选：AC. 15．（2025高一·四川泸州月考）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ABD 【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知. 【解析】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误； ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确. 故选：ABD. 三、填空题 16．（2025高一·海南儋州月考）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【解析】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 17．（2025高一·全国月考）在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），找出存在下列关系的向量：    ①共线向量： ； ②方向相反的向量： ； ③模相等的向量： . 【答案】 与，与 与，与 【分析】观察图形，利用共线向量、方向相反向量、模相等的向量的意义判断作答. 【解析】观察图形，，因此与是共线向量，并且方向相反；与是共线向量，并且方向相反， 显然，因此的模相等. 故答案为：与，与；与，与； 18．（2025高一·全国月考）①把所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ②若表示单位向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； ③若表示向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是 ； 【答案】 单位圆 两个点 直线 【分析】分别作出①②③中给出的向量的终点所对应的图形得答案． 【解析】把所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是单位圆；    若表示单位向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成的图形是两个点；    若表示向量的有向线段平行于某一直线，把它们的有向线段的起点移到同一点， 则它们的终点构成的图形是直线，其中的起点与终点均为点.    故答案为：单位圆；两个点；直线 19．（2025高一·全国月考）已知在边长为2的菱形中．．则 . 【答案】 【分析】根据条件解直角三角形即可. 【解析】解:易知且， 设与交于点D， 则． 在中， 易得，即， . 故答案为：. 【点睛】本题考核向量在几何中的应用，是基础题. 20．（2025高一·全国月考）已知四边形ABCD是矩形，设点集，集合且P，Q不重合，用列举法表示集合 【答案】 【分析】根据集合的元素特征，列出集合的所有元素，由此可得集合. 【解析】∵ 且P，Q不重合，， ∴， 故答案为： 21．（2025高一·全国月考）给出下列四个条件：①；②；③与方向相反；④或，其中能使成立的条件是 . 【答案】①③④ 【分析】运用向量共线的定义判断即可. 【解析】因为与为相等向量，所以，即①能够使成立； 由于并没有确定与的方向，即②不一定能使成立； 因为当与方向相反时，则，即③能够使成立； 因为零向量与任意向量共线，所以或时，能够成立. 故使成立的条件是①③④. 故答案为：①③④. 22．（2025高一·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 . ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【解析】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 四、解答题 23．（2025高一·全国月考）如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)， 【分析】（1）根据已知可推得，且.结合图象，即可得出答案； （2）根据已知，结合（1）的结论以及图象，即可得出答案； （3）根据（1）（2），结合图象，即可得出答案. 【解析】（1）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， 所以，，且. 所以，与相反的向量为，，. （2）因为的三边均不相等， 又， 所以，与的模相等的向量为，，，，. （3）由（1）（2）可知，与相等的向量为，. 24．（2025高一·全国·课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？    【答案】7个，个. 【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答. 【解析】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量， 这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等； 与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量， 所以与长度相等的共线向量共有（个）.    25．（2025高三·全国月考）如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形． (1)与相等的向量有哪些？ (2)与共线的向量有哪些？ (3)若，求的大小． 【答案】（1）； （2）； （3）3 . 【分析】(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，即可求解； (2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，即可求解； (3)由，即可求解． 【解析】(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有． (2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有． (3)若，则． 【点睛】本题主要考查了向量的基本概念的应用，其中解答中熟记向量相等、共线向量，以及向量的运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 26．（2025高一·全国月考）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？ 【答案】C地在A地北偏东方向上，距A地 【解析】根据题意画出示意图，根据方位角的定义、结合三角形内角和定理，最后求出问题. 【解析】解：由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则. 所以为飞机从A地到C地的位移. 在中，，且， 故为等边三角形，所以，. 所以C地在A地北偏东方向上，距A地. 【点睛】本题考查了方位角的概念，考查了三角形内角和定理，考查了数学阅读能力. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$