6.2.1 向量的加法运算 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1　向量的加法运算 一、必备知识基础练 1.(探究点一·2025甘肃天水高一期中)如图,在平行四边形ABCD中,=(　　) A. B. C. D. 2.(探究点一)在边长为1的正方形ABCD中,||等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 3.(探究点二)如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则等于(　　) A. B. C. D. 4.(探究点一)已知a,b是两个非零向量,则|a+b|与|a|+|b|的大小关系是(　　) A.|a+b|>|a|+|b| B.|a+b|<|a|+|b| C.|a+b|≥|a|+|b| D.|a+b|≤|a|+|b| 5.(探究点二)=(　　) A. B.0 C. D. 6.(探究点一)已知向量a∥b,a与b都是非零向量,且|a|>|b|,则向量a+b的方向可能(　　) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反 7.(多选题)(探究点二)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 8.(探究点二)已知下列各式:①;②()+;③;④.其中结果一定为0的是　　　　.(填序号)  9.(探究点一)已知||=3,||=3,∠AOB=60°,求||. 10.(探究点二) 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式: (1); (2). 二、关键能力提升练 11.在正六边形ABCDEF中,=(　　) A. B. C. D.0 12.已知|a|=3,|b|=4,则“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.(多选题)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为(　　) A.4 B.8 C.10 D.12 14.△ABC是正三角形,给出下列等式: ①||=||; ②||=||; ③||=||. 其中正确的有　　　　.(写出所有正确等式的序号)  15.(苏教版教材例题)在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 16.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:. 三、学科素养创新练 17.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且||=||=1,=0,cos∠DAB=.求||与||. 参考答案 1.D　由向量加法的平行四边形法则得,. 故选D. 2.B　||=||=||=1. 3.B　, 故选B. 4.D　因为a,b是两个非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时等号成立,故D正确.故选D. 5.B　=()+()=0+0=0.故选B. 6.A　∵非零向量a,b满足a∥b,且|a|>|b|, ∴a与b共线,它们的和的方向与a同向. 7.AC　∵a=()+()==0, 又b为任一非零向量,∴A,C正确. 8.①④　①=0; ②()+=()+()=; ③; ④=()+()==0. 9.解如图,作平行四边形OACB, ∵||=||=3, ∴四边形OACB为菱形. 连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D. ∵∠AOB=60°,∴AB=||=3.∴在Rt△OAD中,OD=,∴||=||=×2=3. 10.解(1). (2)=0. 11.D　如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则, ∴=0.故选D. 12.A　若向量a与b同向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=7.若向量a与b反向共线,由|a|=3,|b|=4,可得|a+b|=1,所以由“向量a与b共线”不能推出“|a+b|=7”.当|a|=3,|b|=4时,由“|a+b|=7”能推出“向量a与b同向”,所以“|a+b|=7”是“向量a与b共线”的充分不必要条件.故选A. 13.AD　因为|a|=2|b|=8,所以|b|=4.因为a∥b,所以a,b方向相同或相反.当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=12,当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.故选AD. 14.①③　对于①,||=||,||=||,∵||=||,①正确; 对于②,||=||,如下图所示, 以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD,由平面向量加法的平行四边形法则可得,显然||≠||,②错误; 对于③,以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则,以CA,CB为邻边作平行四边形ACBF,则.由图可知,||=||,即||=||,③正确. 15.解如图,设表示水流的速度,表示渡船在静水中的速度,表示渡船实际垂直过江的速度. 因为,所以四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,因为∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°. 所以渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°. 16.证明因为, 所以. 又因为=0,所以. 17.解∵=0,∴. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又||=||=1,知四边形ABCD为菱形. 又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°. ∴△ABD为正三角形.∴||=||=||=2||=,||=||=||=1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $