2026年 九年级数学中考一轮复习 二次根式 自主学习综合练习题

2026年春九年级数学中考一轮复习《二次根式》自主学习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．若函数有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是() A． B． C． D． 4．若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 5．已知．则的值为（　　） A．11 B．19 C．17 D．20 6．实数在数轴上位置如图，的化简结果为（　　） A． B． C． D． 7．用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．2 D．8 二、填空题 8．已知，那么可化简为 ． 9．数轴上到表示的点距离为的点所表示的数是 ． 10．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 11．不等式的解集为 ． 12．数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，使它变成了面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为 ． 13．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 ． 14．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3)； 16．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 17．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 18．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 19．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使，这样，，那么便有． 例如：化简，首先把化为，这里，； 由于，即， 原式 由上述例题的方法，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 20．小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据分式的分母不为以及二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解： 分母 要求根号内 ，且分母不能为零， ，即 ， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可． 【详解】解：∵， ∴选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， ∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并； 故选C． 3．C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和化简．需要根据二次根式的运算法则逐一验证每个选项是否正确．二次根式的运算需遵循运算法则：加减法需合并同类二次根式；乘法为根号内相乘再化简；除法为根号内相除再化简．注意区分有理数和无理数的运算． 【详解】∵对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：是有理数与无理数的和，不能直接合并为，且数值不相等，∴B错误． 对于选项C：，∴C正确． 对于选项D：，∴D错误． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值． 【详解】解：∵和在实数范围内有定义， ∴且， ∴且， ∴． 代入原方程： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，通过计算x与y的和与积，利用恒等式将原式转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先根据数轴得到，则，然后利用二次根式的性质将原式化简为，再化简绝对值，进行合并即可． 【详解】解：由数轴可得，则 ， 故选：B． 7．A 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键． 首先由正方形的面积是50，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出长，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： ． 所以这个小正方形的周长为：． 故选：A． 8． 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据题意得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．或 【分析】本题考查实数与数轴、二次根式的加减，分在表示的点的左边与右边两种情况讨论，利用数轴上两点间距离公式建立方程求解． 【详解】解：设所求点表示的数为，则根据数轴上两点间距离公式，有，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：或． 10．3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 11．/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及无理数的运算，需要移项、合并同类项，并有理化分母，按步骤依次计算即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 由于， 两边同时除以 得 ， 有理化分母得， 故解集为． 故答案为：． 12．． 【分析】本题考查二次根式的应用与长方形、正方形的面积计算，熟练掌握二次根式是解题关键． 先根据正方形面积求出其边长，再逆推原长方形的长和宽，进而计算面积． 【详解】一个面积为的正方形纸片， 边长为：， 原长方形的长为：，宽为：， 原长方形纸片的面积为：． 故答案为 ． 13．6 【分析】本题考查二次根式的混合运算和正方形，长方形的面积．熟练掌握正方形，长方形的面积公式，二次根式的性质，二次根式的混合运算顺序和法则，是解决本题的关键． 根据图形可以求得图中两个小正方形的边长，本题得以解决． 【详解】解：设两个正方形的边长分别是x、y（）， 则． ∴． ∴阴影部分的面积是． 故答案为：6． 14． 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，化为最简二次根式等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简，平方差公式，完全平方公式，特殊角三角函数值的混合运算及实数的运算． （1）先将二次根式化简，再按顺序计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式按顺序计算即可； （3）代入特殊角的三角函数值，再按顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 16．(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 17． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键． 先求出的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故张大爷这块菜地的面积为． 18．(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用： （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：， 即的周长为； （2）解： （元） 即购买装饰画需要花费元． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中的方法变化为即可求出答案； （2）根据题中的方法变化为即可求出答案； （3）先得到，再求出即可得到答案． 【详解】（1）解：中，，， 由于，即，， ∴， （2）在中，这里，， 由于，即，， ； （3）中，这里，， 由于，即，， ， ∴． 20．(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用. （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可； （3）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $