精品解析：上海市闵行区2025-2026学年高一上学期学业质量调研数学试题

2025学年第一学期高一年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则___________． 2. 已知，则不等式的解集为___________． 3. 函数的定义域为___________． 4. 已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 5. 已知，则实数的取值范围为___________． 6. 已知角的终边过点，则___________． 7. 若正实数、满足，则的最小值为___________． 8. 若则不等式的解集为___________． 9. 已知，则___________． 10. 若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________． 11. 已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为___________． 12. 定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ） ①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值； ③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知全集，集合． （1）当时，试用区间表示集合、； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知定义在上的奇函数的表达式为，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由． 19. 在“绿色出行，智享未来”的新能源汽车推广活动中，为评估某品牌电动汽车在城市道路的能耗表现，技术团队在某限速60km/h的城市道路进行多次测试，测得车辆每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系如下表所示： （km/h） 0 20 30 40 （Wh） 0 2560 3540 4480 为了描述该电动汽车在城市道路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型可供选择： ． （1）请你根据表格中数据，从中选择一个相对合理的函数模型（需说明理由）； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息，求出所选择的函数模型的解析式； （3）该车计划从地前往地，行程分为两段：前25km为城市道路（限速60km/h），每小时耗电量与速度的关系满足（2）中函数解析式，后70km为高速路段（允许车速60-120km/h），每小时耗电量与速度的关系满足．假设该汽车在城市道路和高速路段均做匀速运动，则当在城市路段和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少？并求出最少总耗电量． 20. 已知幂函数在上是严格增函数． （1）求函数的解析式； （2）关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围； （3）设函数的定义域为，如果存在区间，使得，求实数的取值范围． 21. 记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”． （1）判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“型函数”； （3）若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高一年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念求两个集合的交集. 【详解】因为，，所以. 故答案为： 2. 已知，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4. 已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出解析式为，且，将代入，求出，求出解析式. 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得 ，解得，负值舍去，故指数函数解析式为. 故答案为： 5. 已知，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义解方程. 【详解】因为表示数轴上点（对应实数）到点（对应实数）的距离， 表示数轴上点（对应实数）到点（对应实数）的距离. 且， 所以点轨迹为线段，所以. 所以原方程的解集为：. 故答案为： 6. 已知角的终边过点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】角的终边过点， ， ， . 故答案为：. 7. 若正实数、满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】正实数、满足，则，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为, 故答案为： 8. 若则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性，结合分段函数的解析式分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，，显然不成立， 当时，，显然不成立， 所以不等式的解集为空集. 故答案为： 9. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先对平方求出值，并判断正负，最后求解. 【详解】对两边平方，得， 即， 又因为，所以，，即， 所以. 故答案为：. 10. 若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，讨论时，取得的最小值，确定的取值范围. 【详解】当时，，无最小值，所以需时，取得最小值. 当时，， 若，则在单调递减，， 则当时，在定义域内存在最小值； 若，则在上恒为，在定义域内存在最小值； 若，则在单调递增，，无最小值，则在定义域内也不存在最小值. 综上可知，若函数存在最小值，则实数的取值范围为. 故答案为： 11. 已知，其中，若函数有两个不同零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为函数与有2个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】令，即，则， 当或时，，则， 此时函数在和上单调递增，， 且时，，时，； 当或时，，则， 此时函数在和上单调递减. 作出函数的图象： 由题意，函数有两个不同零点， 则函数与有2个交点， 由图可知，要使函数与有2个交点， 则或，即的取值范围为. 故答案为：. 12. 定义表示不大于的最大整数，例如．已知，，．若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，且， 则， 由于，，所以为和的加权平均数， 所以得取值范围是， 从而将问题转化为恒成立，即且，分类讨论的值即可求解. 【详解】设，则，且， 则， 由于，，所以为和的加权平均数， 所以的取值范围是， 若对任意的，存在大于1的实数，使得能作为三角形的三边长，等价于且恒成立， 由于恒成立， 则等价于恒成立， 即且， 即，, 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，不满足，舍去， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，也满足， 当时，，满足，但不满足，舍去 当时，，满足，但不满足，舍去， 当时，，不满足， 综上，，则的取值范围为 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得或，所以充分性不成立； 反之，由，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 14. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 15. 已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，且得出，根据不等式性质得出. 【详解】由题可知， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，可化为， 因为，所以， 又因为，所以 所以C正确； 对于D，设，则，故D错误. 故选：C. 16. 定义在上的函数，集合，对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ） ①存在是偶函数； ②存在在处取到最小值； ③存在在上是减函数； ④存在在处取到最大值． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】先理解集合的意义，即右侧的函数值都不超过，且表示所有满足这个性质的构成的集合恰好是.对于①②④，分别构造满足题意的函数即可说明存在；对于③根据减函数性质可判断集合应为. 【详解】对于①，构造函数， 当时，，则； 当时，， 则； 当时，，则； 综上可知，任意，，故是偶函数； 如图，作函数的图象， 结合图象可知，当，任意，有； 当时，都存在，使得. 故存在是偶函数，满足题意，即①正确； 对于②，构造函数， 如图，作函数的图象， 如图可知，在处取到最小值为， 且， 故存在函数在处取到最小值，满足题意，即②正确； 对于③若在上是减函数，则对任意， ，， 故，这与矛盾， 故不存在上的减函数满足题意，③错误； 对于④，构造函数， 如图，作函数的图象， 如图可知，当取得最大值， 且， 故存在函数在处取到最大值，满足题意，④正确； 综上所述，①②④正确. 故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知全集，集合． （1）当时，试用区间表示集合、； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等式即可求解； （2）由，得，进而得，解出即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以， 当时，， 所以； 【小问2详解】 由， 由，所以， 所以， 所以. 18. 已知定义在上的奇函数的表达式为，且． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由． 【答案】（1） （2） 由（1）可得，当时，， 设，则， 即，所以在上单调递增， 当时，， 设，则， 即，所以在上单调递增， 又因为，所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出值，再利用求出值，进一步得出函数解析式. （2）将函数写成分段函数，分别在和时，利用作差法判断函数的单调性，再结合确定函数在定义域的单调性. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，得出， 又因为，所以，得出，即， 在定义域上有，满足奇函数的定义， 所以. 【小问2详解】 略 19. 在“绿色出行，智享未来”的新能源汽车推广活动中，为评估某品牌电动汽车在城市道路的能耗表现，技术团队在某限速60km/h的城市道路进行多次测试，测得车辆每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系如下表所示： （km/h） 0 20 30 40 （Wh） 0 2560 3540 4480 为了描述该电动汽车在城市道路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型可供选择： ． （1）请你根据表格中数据，从中选择一个相对合理的函数模型（需说明理由）； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息，求出所选择的函数模型的解析式； （3）该车计划从地前往地，行程分为两段：前25km为城市道路（限速60km/h），每小时耗电量与速度的关系满足（2）中函数解析式，后70km为高速路段（允许车速60-120km/h），每小时耗电量与速度的关系满足．假设该汽车在城市道路和高速路段均做匀速运动，则当在城市路段和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少？并求出最少总耗电量． 【答案】（1） （2） （3）该汽车在城市道路的车速为，在高速路段的车速为，总耗电量最少，最少耗电总量为 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性和定义域即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的单调性，分别求出城市道路路段的所耗电量的最小值，高速路段的所耗电量的最小值，求和即可得答案． 【小问1详解】 因为在定义域上单调递减，但表格中M随v增大而增大， 又的定义域为，这是对数型函数，其增长速度非常缓慢， 但表格中增幅相对明显，且无意义，所以满足表格数据的一个函数模型； 【小问2详解】 所以， 所以； 【小问3详解】 前25km为城市道路所用时间为， 所耗电量为， 所以当时，； 后70km为高速路段所用时间为， 所耗电量为， 由，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以该汽车在城市道路的车速为，在高速路段的车速为，总耗电量最少，最少耗电总量为 20. 已知幂函数在上是严格增函数． （1）求函数的解析式； （2）关于的方程在上恰有两个不相等的实根，求实数的取值范围； （3）设函数的定义域为，如果存在区间，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义结合幂函数性质计算即可求解； （2）由题意分离参数得在区间上两个不相等的实根，根据对勾函数性质结合图象求解； （3）由题意可得，列方程组，令，化简可得，代入计算可得，结合二次函数性质计算即可求解. 【小问1详解】 因为函数为幂函数， 则，解得或， 当时，函数，不符合题意舍去； 当时，函数，符合题意， 综上可得，函数； 【小问2详解】 由（1）可知关于的方程可化为， 分离参数可得在区间上两个不相等的实根， 设，由对勾函数性质可知， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 要使关于的方程在上恰有两个不相等的实根， 则直线与函数图象有两个交点， 由上图可知，. 【小问3详解】 由（1）可知，函数，定义域为， 因为在定义域内单调递增， 所以函数在定义域单调递减， 所以函数在区间上的值域为， 由题意可得，即， 则，得， 令，由可知， 则，代入化简可得， 得，即，， 因为，所以，令， 由二次函数性质可知，函数关于直线对称，在区间上单调递减， 所以，即， 故实数的取值范围为. 21. 记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”． （1）判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由； （2）若，证明：函数是“型函数”； （3）若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论． 【答案】（1）函数是“型函数”，理由： 若函数是“型函数”， 则在实数对，使得对任意满足且的恒成立， ， 所以当时，存在实数对，所以函数是“型函数”； 假设为“型函数”， 则存在实数对，使得对任意满足且的恒成立， 所以由， 显然不是任意性，只有当时，方程才有解. 所以函数是“型函数”，不是“型函数. （2） ， 令， 所以存在实数对，使得成立， 所以函数是“型函数”. （3）存在整数，证明： 因为是“型函数”， 所以. 因为是“型函数”， 所以， 所以有 ， 所以函数的周期为， 当时，， 当时，，所以， 当时，， 所以， 则当时，， 由， 二次函数的对称轴为，且开口向上， 当时，当时， 此时函数单调递增，， 要想有解，只需， 所以， 当时， 此时函数单调递减，， 要想有解，只需，显然不存在负整数使该不等式成立. 综上所述：存在整数，当时，不等式有解. 【解析】 【分析】（1）根据题中定义逐一判断即可. （2）根据题中定义进行运算证明即可； （3）根据题中定义，结合周期的定义、二次函数的性质、结合对数的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $