精品解析：浙江省杭州高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

杭州高级中学2025学年第一学期高一期末考试 数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据交集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断的单调性，利用零点存在定理判断根所在的区间. 【详解】在是增函数， 而 根据零点存在定理，可得函数的零点所在的区间为. 故选：C 【点睛】判断函数零点所在的大致区间的方法如下： 若函数在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即，则在区间[a,b]内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间[a,b]内至少有一个实数解。 3. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念及正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】充分性：函数在区间上是单调递增的. 若，且，根据单调性可得； 必要性：若，且，同样由的单调性，可推出. 因此，“”是“”充要条件. 故选：C. 4. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求得m的值，再利用指数 函数的图象过定点问题，得出结论. 【详解】幂函数在上单调递增， ，且， 求得， 故， 令， 求得， 可得的图象过定点， 故选：B. 5. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心. 【详解】由已知，令 当时，，ABD均符合题意， 故选：C 6. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（ ）． A. 4弧度 B. 3弧度 C. 2弧度 D. 1弧度 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的周长可得，然后利用扇形面积公式以及二次函数性质并结合弧长公式可得结果. 【详解】设扇形半径为r，弧长为l． ∵扇形的周长为，∴，即， ∴， ∴当半径时，扇形的面积最大，为， 此时，． 故选：C 【点睛】本题考查扇形面积公式以及弧长公式，掌握公式，理清思路，属基础题. 7. 若实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】由可得， 记， 由于函数均为单调递增函数，故为单调递增函数， 故，则，即, 故选:D 8. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到与图象的交点关于对称，则有，，即可得到答案. 【详解】函数，定义域为， 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称； 定义域为的函数满足，则的图象关于点对称. 所以函数与图象的交点也关于点对称. 函数与的图象有四个交点，分别为，，，， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据和，结合诱导公式即可判断. 【详解】因为， 所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由作差法可判断A，C，D，取特值可判断B. 【详解】对于A，若，则， 而，得到，故A正确； 对于B，取，满足，则，故B错误； 对于C，， 因为，，所以， 所以，故C正确； 对于D，若，则， 得到，则，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在上存在，，满足 B. 在上有2个最大值点 C. 的取值范围为 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数的零点求的取值范围，即可判断C；对于A：求的取值范围，结合正弦函数最值分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 若在上有且仅有3个零点， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项A：若，则，且， 当时， ；当时， ； 所以在上存在，，满足，故A正确； 对于选项B：例如， 若，则，且正弦函数在内有且仅有1个最大值点， 所以在上有且仅有1个最大值点，故B错误； 对于选项D：例如， 若，则，且正弦函数内不单调， 所以在内不单调，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两边同时平方，利用同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用两角和的余弦公式、结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 . 故答案为： 14. 已知且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知可得，结合对数的性质解方程求参数值即可. 【详解】， 所以， 所以或，而，故. 故答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解， （2）根据二倍角公式以及余弦的和角公式即可求解. 【小问1详解】 由可得，故， 因此， 【小问2详解】 由，可得， 故， ， 故. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求a的值； （2）求在上的解析式； （3）若函数在上存在零点，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质代入求解即可； （2）根据题意结合奇函数的定义求函数在上的解析式； （3）令，可得，结合指数函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，且函数是定义在上的奇函数， 当，则，可得， 所以. 【小问3详解】 若，则， 若函数在上存在零点， 令，可得，解得， 所以实数k的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若方程在上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围； （2）令，若对，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）转化为，讨论与，结合二次函数性质列不等式求解即可； （2）换元，结合对勾函数求出的范围，求出的最值，即的最值，，恒成立，转化为，即可求解. 【小问1详解】 方程在上有两个不同的实数根，即方程 在上有两个不相等的实数根，当时，不合题意，舍去； 当时，结合根与系数关系有，解得， 实数的取值范围是． 【小问2详解】 由题意知， 令， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴ ∵函数的对称轴为， ∴函数在上单调递增． 当时，；当时，； 即， ∵对都有恒成立， ∴，即，解得， ∵， ∴的取值范围是． 18. 已知直线和是函数图象的两条相邻对称轴． （1）求的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3）设，记在区间上的最小值为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，再，结合，即可求出的值； （2）先求出，再令，即可求出答案； （3）根据，求出的范围，结合，分段讨论即可求出. 【小问1详解】 因为，所以，则， ，所以， 因为，取所以. 所以. 【小问2详解】 , 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. 【小问3详解】 令，因为，， 因为，， 当，即，. 当，即，， 当，即，. 综上可得 19. 设函数在非空数集M上的取值集合为N，即，若，则称为M上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数b，使得为上的“集中函数”，求实数a的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 【答案】（1）是上的“集中函数”，不是上的“集中函数”，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据幂函数单调性求出值域，结合集中函数的定义进行判断即可； （2）先分析二次函数：对称轴，开口向上；再分类讨论单调性：当或：函数单调，验证值域包含于，仅、满足；当：函数先减后增，存在使值域包含于，区间内均满足；最后得出结论. （3）用函数的单调性的定义，结合指数函数和对数函数的单调性判断单调性，由“集中函数”定义得值域，进而转化为对数不等式；再通过指数变形、结合基本不等式，得，最终证得. 【小问1详解】 因为是上的增函数， 所以有， 因为，所以是上的“集中函数”. 因为是上的增函数， 所以有， 因为不是子集，所以不是上的“集中函数”. 【小问2详解】 因为在上的值域， 又因是开口向上的二次函数，对称轴为，则分3种情况讨论： 当时，在上单调递增， 值域, 由，需满足： 两个不等式相加消去得：，结合，得. 当，在递减、递增， 设表示中最大的数， 值域. 由，需满足： 因为，， 所以， 故存在满足条件，因此均成立. 当，此时在上单调递减，值域. 由，需满足：， 两个不等式相加消去得：，解得. 结合，得. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 所以该函数的定义域为， 设是内任意两个实数，且，则有， ， ， 因为， 所以， 所以 所以在上单调递减，且， 所以值域. 由“集中函数”定义可得，得： ， 对变形：， 对变形：， 所以， 令，， 因为，所以， 则式子变为：， 因为， 所以 ，而， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州高级中学2025学年第一学期高一期末考试 数学试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（ ）． A. 4弧度 B. 3弧度 C. 2弧度 D. 1弧度 7. 若实数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，，则 D. 若，则 11. 设函数，已知在上有且仅有3个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 在上存在，，满足 B. 在上有2个最大值点 C. 的取值范围为 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知，则______． 13. 的值为______． 14. 已知且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求a的值； （2）求在上的解析式； （3）若函数在上存在零点，求实数k的取值范围． 17. 已知函数． （1）若方程在上有两个不同实数根，求实数k的取值范围； （2）令，若对，恒成立，求实数t的取值范围． 18. 已知直线和是函数图象的两条相邻对称轴． （1）求解析式； （2）求函数的单调增区间； （3）设，记在区间上的最小值为，求． 19. 设函数在非空数集M上的取值集合为N，即，若，则称为M上的“集中函数”． （1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由； （2）设，若存在实数b，使得为上的“集中函数”，求实数a的取值范围； （3）若为上的“集中函数”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $