相似的实际应用、位似问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似的实际应用、位似问题专项训练 相似的实际应用、位似问题专项训练 考点目录 相似的实际应用 位似问题 考点一 相似的实际应用 例1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·上海宝山·期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（   ） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 例3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为 ． 例4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 例5．（25-26九年级上·四川达州·期末）达州市标志性建筑——凤凰楼，由凤凰主楼，文化广场，仿古六角楼和艺术回廊构成，总占地面积9750平方米．某校九年级某班数学兴趣小组为了测量凤凰主楼的高度，进行了实地测量：如图2，首先把长为1米的标杆垂直立于地面上的点处，当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米；再将标杆沿方向平移38米至点处（即米，米），当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米，已知，，，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助该兴趣小组求出凤凰楼的高度． 例6．（25-26九年级上·河南安阳·月考）嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，为北魏时期佛塔，是中国现存最早的砖塔．某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量嵩岳寺塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与嵩岳寺塔顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到嵩岳寺塔的水平距离米． (1)求嵩岳寺塔的高度； (2)查阅资料得知，嵩岳寺塔的实际高度为，请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的建议． 变式1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·北京石景山·期末）图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“三角板的两边，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为 ． 变式4．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，圭表是古代一种用于测量日影长度的天文仪器，竖立木杆为“表”，平台上水平放置的刻度标尺为“圭”．若，测得第一时刻的影长为，第二时刻的影长为，则木杆的高度为 ． 变式5．（25-26九年级上·四川成都·月考）为了测量主席台旗杆顶端到地面高度，某数学小组将《海岛算经》介绍的方法进行优化，设计了一种新的测量方式：如图，在地面上平放两面镜子，并分别在镜子上做一个标记，（点，，在一条直线上），测得，间的距离为．小明从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，再从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合． (1)在计算过程中，数学小组推导得到，请证明； (2)已知小明的身高为，请求出主席台旗杆顶端到地面高度的长． 变式6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案． 【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长． (1)方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是______． (2)方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． (3)小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示： ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式； 位置 视力值 的值（） 第1行 第5行 第8行 第14行 ②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是______． 考点二 位似问题 例1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（   ） A．5 B．8 C．13 D．15 例2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 例4．（2026·上海金山·模拟预测）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为 ． 例5．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的；可以求得的面积是_______． (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． (3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 例6．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． (2)以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出的位似图形，使它与位似比为，直接写出点的坐标，并求的面积． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（   ） A．24 B．32 C．40 D．48 变式3．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，与位似，位似中心为点，，的面积为4，则的面积为 ． 变式4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 变式5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)作出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使与的相似比为2，并写出与的关系． 变式6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； (3)求的面积为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似的实际应用、位似问题专项训练 相似的实际应用、位似问题专项训练 考点目录 相似的实际应用 位似问题 考点一 相似的实际应用 例1．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察图中，得出， ∴， ∴， ∵动力臂，阻力臂， ∴， ∴， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·上海宝山·期末）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屋内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米，要使像的长度变为原来的倍，下列操作正确的是（   ） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∴小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， ∵操作前小孔O到人的距离、小孔O到所成像的距离均为6米， ∴操作前； ∵操作后像的长度变为原来的倍， ∴操作后小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离， 当人向暗室后退2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故A不符合题意； 当人向暗室前进2米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，满足题意，故B符合题意； 当人向暗室后退4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故C不符合题意； 当人向暗室前进4米时，小孔O到人的距离：小孔O到所成像的距离，不满足题意，故D不符合题意； 故选：B． 例3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度．如图，镜子平放在地面处（镜子的大小不计），旗杆底端到镜子的距离，小明竖直站在距镜子的处，眼睛到地面的距离，且点在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端的像．，根据光的反射定律，光线的反射角等于入射角，即，则旗杆的高为 ． 【答案】12 【详解】解：，， ∴， 又∵， ， ， ， ， 答：旗杆的高为， 故答案为：12． 例4．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 【答案】 【详解】解：依据题意，如图，其中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故树的高度为， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·四川达州·期末）达州市标志性建筑——凤凰楼，由凤凰主楼，文化广场，仿古六角楼和艺术回廊构成，总占地面积9750平方米．某校九年级某班数学兴趣小组为了测量凤凰主楼的高度，进行了实地测量：如图2，首先把长为1米的标杆垂直立于地面上的点处，当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米；再将标杆沿方向平移38米至点处（即米，米），当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米，已知，，，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助该兴趣小组求出凤凰楼的高度． 【答案】米 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵米，米， ∴，即： ， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴，即， ∴米． 例6．（25-26九年级上·河南安阳·月考）嵩岳寺塔位于河南省郑州市登封市嵩山南麓嵩岳寺内，为北魏时期佛塔，是中国现存最早的砖塔．某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量嵩岳寺塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与嵩岳寺塔顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到嵩岳寺塔的水平距离米． (1)求嵩岳寺塔的高度； (2)查阅资料得知，嵩岳寺塔的实际高度为，请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的建议． 【答案】(1)米 (2)误差为，减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得：， ∵ ∴． 答：嵩岳寺塔的高度为米． （2）∵查阅资料得知，嵩岳寺塔的实际高度为， ∴本次测量结果的误差为， 减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 变式1．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：， ∴ ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴ 即小孔到的距离为， 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·北京石景山·期末）图1是折叠晾衣架，其侧面的示意图如图2所示．点分别在上，且．于点，交于点．测得，，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，， 是的高，是的高， ， ， 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，小南利用三角板测量大树的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“三角板的两边，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题可知：, , , , ，，， ， ， ， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，圭表是古代一种用于测量日影长度的天文仪器，竖立木杆为“表”，平台上水平放置的刻度标尺为“圭”．若，测得第一时刻的影长为，第二时刻的影长为，则木杆的高度为 ． 【答案】50 【详解】解：∵， ， ， ， 答：木杆的高度是， 故答案为：50． 变式5．（25-26九年级上·四川成都·月考）为了测量主席台旗杆顶端到地面高度，某数学小组将《海岛算经》介绍的方法进行优化，设计了一种新的测量方式：如图，在地面上平放两面镜子，并分别在镜子上做一个标记，（点，，在一条直线上），测得，间的距离为．小明从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，再从向后退至，看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合． (1)在计算过程中，数学小组推导得到，请证明； (2)已知小明的身高为，请求出主席台旗杆顶端到地面高度的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为10米 【详解】（1）解：由题意，均为小明的身高，故，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）由（1）知：，， 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：的长为10米． 变式6．（25-26九年级上·广东深圳·月考）为加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案． 【方案一】如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【方案二】如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长． (1)方案一中，若大视力表中“”的高是，直接写出小视力表中相应“”的高度是______． (2)方案二中，如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． (3)小明选择【方案一】制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的高度之间的关系是一种函数模型，视力表上部分视力值和字母的高度的部分对应数据如表所示： ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值与字母的高度（说明理由），并求出视力值与字母高度之间的函数关系式； 位置 视力值 的值（） 第1行 第5行 第8行 第14行 ②若小明的视力值是，则他能看清的最小的字母的高度是______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：由题意知， ， 又， ， ， 由题意知， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是． 故答案为：． （2）解：如图，如图，作于点，延长线交于点， 由题意知，， ， ∴， ， ， ， ， ， 由题意知， ， ， ， ∴镜长至少为． （3）解：①∵视力值V与字母高度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母高度a成反比例函数关系． 设， 把，代入得到， ∴视力值V与字母高度a的函数关系是， ②把，代入，得， ∴则他能看清的最小的字母的高度是． 故答案为：． 考点二 位似问题 例1．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（   ） A．5 B．8 C．13 D．15 【答案】D 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为5， ∴的周长为． 故选：D 例2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，且相似比为， ， ，， ，， ． 故选：C． 例3．（25-26九年级上·湖北·月考）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：因为以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到， 、分别在二､四象限， 所以点的横､纵坐标等于点A的横､纵坐标分别乘以， 因为点坐标是， 所以点A的横为，纵坐标为， 所以A的坐标是， 故答案为：． 例4．（2026·上海金山·模拟预测）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的；可以求得的面积是_______． (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的位似图形，使它与的相似比为，点坐标是_______． (3)判断和是位似图形吗？若是，请直接写出位似中心M的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解， (3)和是位似图形，位似中心坐标为 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形； ． 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求图形， ∵， ∴，即； 故答案为：； （3）解：和是位似图形，理由如下， 如图所示，连接，并延长交于一点， ∴这个点即为位似中心，坐标为． 例6．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三顶点的坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． (2)以原点O为位似中心，在y轴左侧，画出的位似图形，使它与位似比为，直接写出点的坐标，并求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)见解析，， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； ． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作于点E， ∵点，点， ∴， ∵以为边在第四象限内构造矩形，且． ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（   ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·山西运城·期末）如图，与位似，位似中心为点，，的面积为4，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴与相似，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为， 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵设点的横坐标是，， ∴， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． (1)作出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使与的相似比为2，并写出与的关系． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解， 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：如图所示，即为所求． 由位似可知，， ， ，且． 变式6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且相似比为； (3)求的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)28 【详解】（1）解：如图所示，就是所求三角形； （2）解：如图所示，就是所求三角形． （3）解：∵，，，与位似，且位似比为， ∴， ∴． 故答案为：28． 2 学科网（北京）股份有限公司 $