统计与概率：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 考点一 条件概率 例1．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河南·月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考·多选）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 例4．（25-26高三上·辽宁·期末）某书店计划进行促销活动，需从5本小说和4本传记中随机抽取3本书作为展示.在“抽取的3本书中至少有一本是小说”的前提下，“抽取的3本书全是小说”的概率是 例5．（25-26高二上·广西·月考）抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 例6．（25-26高三上·吉林延边·期末）甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. (1)求三人中恰有两人命中目标的概率； (2)在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率. 例7．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 变式1．（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·河北邢台·月考）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河北·模拟预测·多选）有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（    ） A． B． C． D．事件 与不独立 变式4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中有除颜色外其余完全相同的个红球和个白球，每次取个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回.现连续取次球，若袋中还有个红球，则第次取出红球的概率为 变式5．（25-26高二上·吉林长春·期末）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为 ． 变式6．（25-26高三上·广东汕头·期末）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为. (1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由； (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (3)根据上述结果，能得出什么结论？ 变式7．（25-26高二上·陕西渭南·月考）小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 考点二 全概率公式 例1．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·广东·月考·多选）某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的防毒面具是优质品，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为 . 例5．（25-26高三上·河南周口·月考）已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为 ． 例6．（2026·山东枣庄·模拟预测）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98：如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为X和Y，求X的分布列，并分别求出X与Y的期望和方差． 例7．（25-26高三上·河北衡水·期末）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，上半年一次（1月1日至6月30日），下半年一次（7月1日至12月31日）.每次消费2万元以上可以领取4000元补贴.通过调查可知，该市居民家庭对政策的总体了解率为；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策并产生消费意向的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭上半年发生消费行为的概率为，下半年发生消费行为的概率为. (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率. (2)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到8000元补贴，带动家庭可以拿1000元奖励；两个家庭合计拿到12000元补贴，带动家庭可以拿2000元奖励；两个家庭合计拿到16000元补贴，带动家庭可以拿3000元奖励.试估计该家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 变式1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 变式2．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·山东日照·月考·多选）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 变式4．（25-26高三上·辽宁·期末）已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 . 变式5．（25-26高三上·天津南开·月考）甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为 ；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为 . 变式6．（24-25高二上·江西萍乡·期末）某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 变式7．（25-26高三上·江苏南京·月考）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 考点三 贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 例2．（25-26高三上·重庆·月考）通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 例3．（24-25高二下·陕西西安·期末）近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为 . 例4．（24-25高二下·湖南娄底·期中）甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 例5．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 变式1．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·福建福州·期中）随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东深圳·月考）贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 变式4．（25-26高三上·天津·月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 变式5．（24-25高二下·山东青岛·期中）春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 考点一 条件概率 例1．（25-26高三上·重庆·月考）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若， 则，所以，故， 所以，所以， 所以， 则. 故选：C. 例2．（25-26高三上·河南·月考）从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”， 事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”， 则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球， 有，共10种情况， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共6种， 符合事件的有，共3种， 故， 故所求概率为. 故选：B. 例3．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考·多选）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，， 故C正确，D不正确. 故选：ABC 例4．（25-26高三上·辽宁·期末）某书店计划进行促销活动，需从5本小说和4本传记中随机抽取3本书作为展示.在“抽取的3本书中至少有一本是小说”的前提下，“抽取的3本书全是小说”的概率是 【答案】/0.125 【详解】记事件“抽取的3本书中至少有一本是小说”，事件“抽取的3本书全是小说”， 则. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·广西·月考）抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 【答案】 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·吉林延边·期末）甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. (1)求三人中恰有两人命中目标的概率； (2)在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率. 【答案】(1)0.45； (2). 【详解】（1）根据题意，设“甲命中目标”，“乙命中目标”，“丙命中目标”，“三人中恰有两人命中目标”， 则，，，， 故 ； （2）设目标至少被击中一次为事件，则，故， ， 因为事件（甲命中目标）发生，则事件（目标至少被击中一次）必然发生，所以， 故，所以， 所以. 例7．（25-26高二上·陕西渭南·月考）某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记“部件甲合格”为事件，“部件乙合格”为事件. 由题意知，. 记“该电子元件能正常使用”为事件， 则. （2）记“该电子元件恰好只有一个部件不合格”为事件， 则. （3）根据题意，要求的是， 则. 变式1．（2026·河北沧州·一模）某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为， 再安排给3人，总方法数为， 其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以， 而事件与都发生的所有可能结果有，即， 所以所求概率为． 故选：C． 变式2．（25-26高三上·河北邢台·月考）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭三个孩子中有男孩，则三个小孩中有女孩的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示男孩，表示女孩，则样本空间. 设该家庭三个孩子中有男孩为事件，该家庭三个小孩中有女孩为事件，则，， 所以. 故选：D. 变式3．（2026·河北·模拟预测·多选）有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光．”现有甲、乙、丙、丁4位游客慕名来到江西旅游，准备从庐山、三清山和龙虎山三个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，每个景点至少有一位游客前往．事件表示“游客甲前往庐山游玩”，事件表示“游客乙前往三清山游玩”，则（    ） A． B． C． D．事件 与不独立 【答案】BCD 【详解】先将4人分成2、1、1三组，共种分法，再将三组分配给三个景点，共种分法，一共有种分法. 事件表示甲前往庐山，固定甲去庐山后，需将乙、丙、丁分配到三个景点， 且三清山和龙虎山均至少一人.乙、丙、丁的分配方式共种， 排除三清山空（只去庐山和龙虎山）的种、龙虎山空的8种，以及两景点均空的1种， 满足条件的分配数为，故，故选项A错误； 同理得：； 事件表示甲去庐山且乙去三清山，固定甲去庐山、乙去三清山后， 需分配丙、丁，且龙虎山至少一人，丙、丁分配共种， 龙虎山空（只去庐山或三清山）的有种， 故满足条件的分配数为，因此，选项C正确； 由条件概率公式得：. 故，选项B正确； 因为， 所以事件与不独立，选项D正确. 故选： 变式4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中有除颜色外其余完全相同的个红球和个白球，每次取个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回.现连续取次球，若袋中还有个红球，则第次取出红球的概率为 【答案】 【详解】记“第次取出白球为事件”，“第次取出红球为事件”，“连续取球3次，袋中还有1个红球为事件”， 事件的发生，意味着三次取球中有且仅有一次取到红球，该次可能是第一次、第二次或第三次，这三种情况互斥， 则， 因为， ，， 所以， 所以. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·吉林长春·期末）甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为 ． 【答案】 【详解】记事件为取出的两球颜色相同，事件为从甲袋中取出黄球， 则， ， 所以. 故答案为： 变式6．（25-26高三上·广东汕头·期末）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为. (1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由； (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (3)根据上述结果，能得出什么结论？ 【答案】(1)与不相互独立 (2) (3)长时间玩手机与近视存在一定的关联. 【详解】（1）与不相互独立，理由如下： 已知，， 所以； 因为； 所以， 所以与不相互独立. （2）设为 “每天玩手机不超过 1 小时”，则 所以 即，所以. （3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联. 变式7．（25-26高二上·陕西渭南·月考）小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意，的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 因此，的分布列为 1 2 3 0.5 0.3 0.2 （2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件， 则， 所以. （3）设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件， 则， 所以. 考点二 全概率公式 例1．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”， 则. 设“取到产品是次品”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 例2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 例3．（25-26高三上·广东·月考·多选）某市场供应多种品牌的防毒面具，相应的市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中随机买一种品牌的防毒面具，记表示买到的防毒面具分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的防毒面具是优质品，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得， 因为与互斥，所以，所以A正确； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：AC. 例4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）现有10个外表相同的袋子，里面均装有10个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取出后不放回），则第三次取出白球的概率为 . 【答案】/0.45 【详解】设第三次取出白球为事件，选中第个袋子为事件. 因为10个袋子外表相同，从中任选一个袋子， 每个袋子被选中的概率均为，所以. 因为第个袋中有10个球，其中个红球，个白球， 所以在第个袋子中，任意一次取到白球的概率均为， 则在第个袋子中，第三次取到白球的概率. 所以由全概率公式可知，第三次取出白球的概率 . 故答案为： 例5．（25-26高三上·河南周口·月考）已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为 ． 【答案】 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2同色球的概率为. 所求概率为： . 故答案为： 例6．（2026·山东枣庄·模拟预测）DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.98：如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.18．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张和DeepSeek答对的题数分别为X和Y，求X的分布列，并分别求出X与Y的期望和方差． 【答案】(1) (2)0.9 (3)答案见解析 【详解】（1）设小张答对的题数为X，则． （2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知， 则， ． （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是8、9， 且， 所以X的分布列为： X 8 9 P 则， ， 己知DeepSeek答对的题数为Y，则Y服从二项分布， 则， ． 例7．（25-26高三上·河北衡水·期末）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，上半年一次（1月1日至6月30日），下半年一次（7月1日至12月31日）.每次消费2万元以上可以领取4000元补贴.通过调查可知，该市居民家庭对政策的总体了解率为；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策并产生消费意向的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭上半年发生消费行为的概率为，下半年发生消费行为的概率为. (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率. (2)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到8000元补贴，带动家庭可以拿1000元奖励；两个家庭合计拿到12000元补贴，带动家庭可以拿2000元奖励；两个家庭合计拿到16000元补贴，带动家庭可以拿3000元奖励.试估计该家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件“居民家庭了解政策”，事件“居民家庭有消费意向”. 由题意，得，，，， 所以. 由全概率公式，得， 所以， 故在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为； （2）记该家庭拿到的补贴为元，受带动的家庭拿到的补贴为元，拿到的奖励金额为元. 由题意得， ， ， ， 所以， ， ， 则， 所以， 因此，估计该家庭可以拿到元奖励． 变式1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【答案】C 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 变式2．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）某校举办化学竞赛，竞赛试卷分为三大部分：无机化学、有机化学、结构化学．试题数目分别为100、80、60．小钟作为参赛者之一，提交试卷后，收到反馈：“有机化学”正确率0.84，“无机化学”正确率0.72，“结构化学”正确率0.44．现从他作答的试卷中随机选择一题，则正确率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从他作答的试卷中随机选择一题的正确率为： ， 故选:A. 变式3．（25-26高二上·山东日照·月考·多选）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【详解】用,分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 则,,, 抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：，故A正确； 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：，故B正确； 抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为： , ; 抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为： ,故C错误； 抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为, ， 所以,故D正确； 故选：ABD. 变式4．（25-26高三上·辽宁·期末）已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为 . 【答案】/ 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 变式5．（25-26高三上·天津南开·月考）甲、乙两名同学参加一场乒乓球比赛，比赛共五局（无平局），先赢三局者取得比赛最终胜利.已知第一局乙同学获胜的概率为，且对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为；若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为.甲同学第二局比赛获胜的概率为 ；在比赛三局即结束的条件下，乙同学取得比赛最终胜利的概率为 . 【答案】 【详解】第一局乙同学获胜的概率为，则第一局甲同学获胜的概率为 对于每一局，若乙同学在本局中获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为， 若乙同学在本局中未获胜，则他在下一局获胜的概率为，即甲同学在下一局获胜的概率为. 故甲同学第二局比赛获胜的概率. 比赛三局即结束，则甲连胜三局或乙连胜三局， 设事件为“比赛进行三局即结束”，事件为“乙取得比赛最终胜利” 则，， 故. 故答案为：；. 变式6．（24-25高二上·江西萍乡·期末）某学校组织“最强大脑”解密比赛，每个参赛队伍人数限制为2人.某班有6名学生想要组队参加比赛，其中2人有比赛经验（参加过该项比赛即视为有比赛经验），4人没有比赛经验.现先从这6名学生中随机抽选2名参加比赛，此次比赛结束后，再从这6名学生中随机抽选2名参加下一期解密比赛. (1)记第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为，求的分布列和数学期望； (2)求“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 数学期望. （2）记“第一次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为”为事件，则两两互斥，， 记“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”为事件， 由（1）知，， 由全概率公式，， 故“再次抽选的2名学生中，有比赛经验的人数为1”的概率为. 变式7．（25-26高三上·江苏南京·月考）“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，所以，应该换门. （2）因为总共门数是，则山羊门数为， 如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门都比不换门中奖概率更高. （3）由（2）知不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元是值得的，须有：， 整理得：， 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 考点三 贝叶斯公式 例1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 例2．（25-26高三上·重庆·月考）通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3．由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到每一种其他字符的概率均为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为（） A．0.4556 B．0.3689 C．0.9872 D．0.5625 【答案】D 【详解】设表示“收到的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”，表示“传输的字符为”， 由题意可得，，，， ， ， 根据贝叶斯公式可得， . 故选：D. 例3．（24-25高二下·陕西西安·期末）近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为 . 【答案】 【详解】记事件“小明迟到”， 事件“乘飞机”，事件“乘动车”，事件“乘非机动车”， 则 ， 则. 故答案为：. 例4．（24-25高二下·湖南娄底·期中）甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ． 【答案】 0.1/ 0.3/ 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 例5．（24-25高二下·湖南株洲·期中）某保险公司经统计后认为，人分为两类：一类是易出事故的人，他们一年出事故的概率为0.4；另一类是比较谨慎的人，他们一年出事故的概率为0.2．假定第一类人占，那么： (1)一位客户在他购买保险后一年内出事故的概率是多少？ (2)若一位客户在买保险后一年内出了事故，则他是易出事故的人的概率是多少？ 【答案】(1)0.26 (2) 【详解】（1）设事件表示“客户在购买保险后一年内出事故”，事件表示“易出事故的人”，事件表示“比较谨慎的人”， 则， 所以． （2）所以． 变式1．（24-25高二下·福建三明·期中）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 变式2．（24-25高二下·福建福州·期中）随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 变式3．（25-26高三上·广东深圳·月考）贝叶斯公式：，其中称为B的全概率．已知Rh阴性血型又称“熊猫血”，是一种极为罕见的血型，若A，B，C三个地区分别有0.2%，0.4%，0.3%的人是Rh阴性血型，且这三个地区的人口数量之比为，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这个人是Rh阴性血型，则这个人来自C地区的概率为 （结果用分数表示）． 【答案】 【详解】记事件M表示“这个人是Rh阴性血型”，事件，，分别表示“这个人来自A，B，C地区”， 则，，， ， 故， 所以． 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·天津·月考）已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为 . 【答案】 【详解】设事件为“取出的小球来自i号箱”，事件B为“取出的球为红球”， 则构成了总的样本空间，且两两互斥， 由题意有， ， 则由全概率公式得， 则在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱的概率为. 故答案为： 变式5．（24-25高二下·山东青岛·期中）春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)此人来自甲地区的可能性最小 【详解】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 2 学科网（北京）股份有限公司 $