精品解析：贵州省毕节市七星关区第三实验学校（集团）2025-2026学年上学期七年级数学期末质量检测卷

毕节市七星关区第三实验学校（集团） 2025年秋季学期七年级上册期末质量检测卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试内容：新北师大版七年级数学上册． 5．考试结束后，本试卷自行带走，答题卡交给监考老师． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 如图，从A地到C地有四条道路，其中最短的一条道路是（ ） A. B. C. D. 3. 陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片，体现了中华文明的连续性、创新性、统一性、包容性和和平性．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（ ） A. B. C. D. 4. 从点滴行动开始，节约资源、减少污染，守护这颗蓝色星球—地球，地球的半径约为米．这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下表呈现了2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温．其中北京当天气温的温差是（ ） 城市 北京 昆明 西安 哈尔滨 气温 A. B. C. D. 6. 若，则下列等式变形错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点在线段上，下列结论不能说明点是线段的中点的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一个含角的三角尺的直角顶点摆放在直线l上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 学生的身高，是定性数据 B. 学生上学采用的交通工具，是定量数据 C. 计划于2026年发射的“嫦娥七号”零部件的检查，采用普查 D. 对我市2025年12月份流感学生情况的调查，采用普查 11. 在《九章算术》中有这样一个问题“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”题目大意：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱：每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为人，则根据题意，可以得到的方程为（ ） A. B. C. D. 12. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，这句话承载的勤俭节约、尊重劳动是中国传统美德的重要体现．七星关区某学校为了让学生吃饭时能更好地用餐，现设计一款用餐餐桌和桌椅．摆放方式如图所示： 按如图方式继续摆放餐桌和桌椅，摆10张桌子可坐（ ） A. 38人 B. 42人 C. 46人 D. 50人 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13. 请写出任意一个二次单项式，则这个单项式为___________． 14. 若是关于的一元一次方程，则的值___________． 15. 图1中的线段，则图2中线段表示的线段长度是___________． 16. 若互为相反数，，则的值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中； 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，点是线段的中点，线段上有一点，且，． （1）请问图中的线段有___________条； （2）求线段的长； 20. 学校需要培养全面发展的学生“德、智、体、美、劳”．我区某学校办学理念中提到一个前卫的办学理念“人人会3+N”：“3”指的是该校师生必须会3个技能“人人会演讲”“人人会打球（篮球、足球、排球中一种）”“人人会下棋（象棋、五子棋、围棋中一种）”，“N”指的是在这三种必会技能基础上再学习其他技能．该校将课外活动设置了四类：演讲、篮球、象棋、其他类，随机抽查了七年级部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生___________人，在扇形统计图中的值为___________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校约有2800名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数； 21. 如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． （1）将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． （2）根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 22. 角的表示、作图与计算： （1）请用任意一种表示角的方法表示图1的角，表示为___________； （2）已知：，（图2、图3）； 求作：在图3中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）在第（2）问的条件下，，，是的角平分线，求的度数． 23. 七星关区某学校位于碧海大道上（碧海大道近似看成一条直线），该校涵盖了12个校区，秉持着“自然教育”理念，推行“一三五+德育体系”．新学期开学，家长为了了解部分校区规划情况，该校教师开车带领家长朋友们从校本部出发，向东行驶2千米到达店子校区参观，继续向东行驶千米到达前所校区参观，然后向西行驶千米到达青龙校区参观，再向东行驶千米到达汉屯校区参观，最后回到校本部．如图所示，回答下列问题： （1）如图，以校本部为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请在数轴上表示出青龙校区和汉屯校区的位置． （2）青龙校区在校本部的什么地方？距离校本部多远？ （3）店子校区距青龙校区多远？ （4）若该校教师的轿车1千米消耗油，整个参观过程中，轿车一共消耗多少升油？ 24. 毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． （1）小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ （2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； （3）现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 25. 从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三等分线，显然一个角的三等分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三等分线． （1）如图1，若，，则___________； （2）如图2，若，，是的两条三等分线． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转度得到，当射线恰好是的三等分线时，求的值； （3）如图3，若，射线是的一条三等分线（射线在的上方），分别是和的角平分线，将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三等分线，直接写出此时绕点旋转的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 毕节市七星关区第三实验学校（集团） 2025年秋季学期七年级上册期末质量检测卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试内容：新北师大版七年级数学上册． 5．考试结束后，本试卷自行带走，答题卡交给监考老师． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 如图，从A地到C地有四条道路，其中最短的一条道路是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合四个选项中的路线，由两点之间线段最短逐个验证即可得到答案． 本题考查最短路线，掌握两点之间线段最短是解决问题的关键． 【详解】解：结合“两点之间，线段最短”，，，选项都是折线或曲线，都是错误的， 故选：C． 3. 陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片，体现了中华文明的连续性、创新性、统一性、包容性和和平性．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形．根据已知图形，通过几何直观得出选项． 【详解】解：将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是C选项的花瓶， 故选：C． 4. 从点滴行动开始，节约资源、减少污染，守护这颗蓝色星球—地球，地球的半径约为米．这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 【详解】解：， 故选：D． 5. 下表呈现了2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温．其中北京当天气温的温差是（ ） 城市 北京 昆明 西安 哈尔滨 气温 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法的计算．温差是最高气温与最低气温的差值，直接计算即可． 【详解】解：∵北京的最高气温为，最低气温为， ∴温差． 故选：A． 6. 若，则下列等式变形错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质，等式的性质1：等式的两边都加(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边都乘上同一个数或者都除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 根据等式基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．等式两边同时加上1，等式仍然成立，即成立，变形正确，故A不符合题意； B．∵，∴，变形不正确，故B符合题意； C．由得出，变形正确，故C不符合题意； D．等式两边同除以2，等式仍然成立，即成立，变形正确，故D不符合题意． 故选：B． 7. 如图，点在线段上，下列结论不能说明点是线段的中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，熟知线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点在线段上，且点是线段的中点， ∴，，， 故选：C． 8. 如图，将一个含角的三角尺的直角顶点摆放在直线l上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，根据题意得求解即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：C． 9. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项和去括号的法则，根据整式加减的运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：∵选项A中，和不是同类项，不能合并，∴A错误； 选项B中，，∴B错误； 选项C中，，∴C错误； 选项D中，，∴D正确． 故选：D． 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 学生的身高，是定性数据 B. 学生上学采用的交通工具，是定量数据 C. 计划于2026年发射的“嫦娥七号”零部件的检查，采用普查 D. 对我市2025年12月份流感学生情况的调查，采用普查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查和抽样调查，定性数据与定量数据，根据定量数据是表示事物数字特征的数据，定性数据表示事物性质属性的数据，普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此即可解答． 【详解】解：A. 学生的身高，是定量数据，故该选项不正确，不符合题意； B. 学生上学采用的交通工具，是定性数据，故该选项不正确，不符合题意； C. 计划于2026年发射的“嫦娥七号”零部件的检查，采用普查，故该选项正确，符合题意； D. 对我市2025年12月份流感学生情况的调查，采用抽样调查，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 11. 在《九章算术》中有这样一个问题“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”题目大意：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱：每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为人，则根据题意，可以得到的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．设合伙人数为人，根据每人出钱400，会多出3400钱：每人出钱300，会多出100钱，列出方程即可． 【详解】解：设合伙人数为人，根据题意得： ， 故选：B． 12. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，这句话承载的勤俭节约、尊重劳动是中国传统美德的重要体现．七星关区某学校为了让学生吃饭时能更好地用餐，现设计一款用餐餐桌和桌椅．摆放方式如图所示： 按如图方式继续摆放餐桌和桌椅，摆10张桌子可坐（ ） A. 38人 B. 42人 C. 46人 D. 50人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，注意结合图形进行观察，发现数字之间的运算规律，利用规律解决问题．第一张餐桌上可以摆放把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放把椅子．第张餐桌共有，据此即可求解． 【详解】解：有张桌子时有把椅子， 有张桌子时有把椅子，， 有张桌子时有把椅子，， 多一张餐桌，多放把椅子， 第张餐桌共有． ∴摆10张桌子可坐人 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13. 请写出任意一个二次单项式，则这个单项式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义．二次单项式是指次数为2的单项式，即所有字母的指数之和为2． 【详解】解：单项式是由数字与字母的积组成的代数式，二次单项式的次数为2，例如、或等，其中字母的指数和均为2， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 若是关于的一元一次方程，则的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1，因此令指数部分等于1求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 图1中的线段，则图2中线段表示的线段长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段的和与差，由图可知：，根据线段的和差关系，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：， ∴； 故答案为： 16. 若互为相反数，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值与平方的非负性，代数式求值．根据相反数的定义和绝对值与平方的非负性，求出、和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：因为，互为相反数，所以． 由， 得且， 解得，． 则． 所以． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中； 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式化简求值； （1）先计算绝对值、乘方和乘法，再进行加减运算； （2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代入数值计算． 【详解】解：（1）原式 ， （2）原式 ， 当时，原式 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据去括号、合并同类项和系数化为1的步骤求解； （2）根据去分母、去括号、移项和合并同类项，系数化为1的步骤求解． 【小问1详解】 解： 去括号得 合并同类项得 移项得 即 系数化为得 【小问2详解】 解： 两边同乘得 去括号得 合并常数项得 移项得 即 系数化为1得 19. 如图，点是线段的中点，线段上有一点，且，． （1）请问图中的线段有___________条； （2）求线段的长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段的条数问题，线段的中点的性质，线段的和差计算． （1）根据题意数出所有线段，即可求解； （2）根据线段中点的性质可得，根据求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：图中的线段有共条， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点是线段的中点， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 20. 学校需要培养全面发展的学生“德、智、体、美、劳”．我区某学校办学理念中提到一个前卫的办学理念“人人会3+N”：“3”指的是该校师生必须会3个技能“人人会演讲”“人人会打球（篮球、足球、排球中一种）”“人人会下棋（象棋、五子棋、围棋中一种）”，“N”指的是在这三种必会技能基础上再学习其他技能．该校将课外活动设置了四类：演讲、篮球、象棋、其他类，随机抽查了七年级部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一类，将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）被抽查的学生___________人，在扇形统计图中的值为___________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校约有2800名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数； 【答案】（1）200，40 （2） 条形统计图： （3）（名） 【解析】 【分析】（1）被抽查人数等于其他类人数除以其他类占比；篮球类占比等于篮球类人数除以被调查人数； （2）得到象棋类人数即可求解； （3）根据篮球类占比乘以2800名学生即可求解． 本题考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，理解题意是解题关键． 【小问1详解】 解：被抽查总人数：（人）， 篮球类占比， 则， 故答案为：200，40． 【小问2详解】 解：由题可得：象棋类人数为：（人）， 【小问3详解】 解：估计全校最喜欢“篮球类”运动的学生人数为：（名） 故答案为：（名）． 21. 如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． （1）将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． （2）根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，点、线、面、体四者之间的关系，圆柱的体积； （1）观察图形旋转，可以得到一个圆柱，说明的事实是面动成体，即可作答． （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故答案为：③； 【小问2详解】 解：该几何体的体积为． 22. 角的表示、作图与计算： （1）请用任意一种表示角的方法表示图1的角，表示为___________； （2）已知：，（图2、图3）； 求作：在图3中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （3）在第（2）问的条件下，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】（1）（或或） （2） 如图所示： 就是所求的角． （3） 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角平分线的有关计算， （1）根据角的表示方法表示图1的角，即可求解． （2）根据题意，以为一边，在的内部作即可； （3）先根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义求得，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：图1的角，表示为（或或） 故答案为：（或或）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∴． 23. 七星关区某学校位于碧海大道上（碧海大道近似看成一条直线），该校涵盖了12个校区，秉持着“自然教育”理念，推行“一三五+德育体系”．新学期开学，家长为了了解部分校区规划情况，该校教师开车带领家长朋友们从校本部出发，向东行驶2千米到达店子校区参观，继续向东行驶千米到达前所校区参观，然后向西行驶千米到达青龙校区参观，再向东行驶千米到达汉屯校区参观，最后回到校本部．如图所示，回答下列问题： （1）如图，以校本部为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，请在数轴上表示出青龙校区和汉屯校区的位置． （2）青龙校区在校本部的什么地方？距离校本部多远？ （3）店子校区距青龙校区多远？ （4）若该校教师的轿车1千米消耗油，整个参观过程中，轿车一共消耗多少升油？ 【答案】（1） 如图， （2）青龙校区在校本部的西边，距离校本部 （3）店子校区距青龙校区 （4）整个参观过程中，轿车一共消耗升油 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减，正负数的意义，有理数的乘法的应用． （1）根据题意得出青龙校区，汉屯校区的位置，在数轴上表示即可； （2）根据数轴上点的位置，正东为正方向，即可求解． （3）根据数轴上两点距离，即可求解； （4）根据题意计算总路程，再乘以，即可求解． 【小问1详解】 解：青龙校区在 汉屯校区在 【小问2详解】 解：由（1）可得，青龙校区在校本部的西边，距离校本部 【小问3详解】 解： 答：店子校区距青龙校区 【小问4详解】 解： 答：整个参观过程中，轿车一共消耗升油 24. 毕节市织金洞被誉为“溶洞之王”，为了吸引大量游客前来参观．国庆节期间织金洞推出了两种购票方案： 方案一：成人票每张120元，儿童票每张50元； 方案二：团体票（10人及以上）每张80元． （1）小明一家7口人去织金洞旅游共花费630元，请求出小明一家有几个成年人和几个儿童？ （2）织金洞内太壮观了，小明回来后介绍了朋友小军家去旅游，小军家成年人有4人，儿童有6人，请你帮小军一家计算选择哪种方案旅游最划算； （3）现有外省朋友7个成人，4个儿童来织金洞旅游，请你帮助外省朋友设计一种最省钱的购票方案？并说明理由． 【答案】（1）小明一家有成年人4个，儿童3个 （2）选择方案一最划算 （3）最省钱的购票方案是购买10张团体票和1张儿童票，总费用850元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用． （1）设成年人数为，儿童数为，根据总人数和总花费列方程组求解． （2）分别计算方案一和方案二的总费用，比较后选择费用低的方案． （3）比较全部个人票、全部团体票以及混合方案（10张团体票和1张儿童票）的总费用，混合方案最省钱． 【小问1详解】 解：设成年人数为，儿童数为，根据题意得， 解得： 答：小明一家有成年人4个，儿童3个 【小问2详解】 解：方案一费用：（元） 方案二费用：（元） 选择方案一最划算 【小问3详解】 解：全部个人票费用：（元） 全部团体票费用：（元） 购买张团体票（元）和张儿童票（元），总费用（元） 最省钱的购票方案是购买张团体票和张儿童票，总费用元 25. 从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫做这个角的三等分线，显然一个角的三等分线有两条． 例如：如图1，若，则是的一条三等分线． （1）如图1，若，，则___________； （2）如图2，若，，是的两条三等分线． ①求的度数； ②将绕点逆时针旋转度得到，当射线恰好是的三等分线时，求的值； （3）如图3，若，射线是的一条三等分线（射线在的上方），分别是和的角平分线，将绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若射线恰好是的三等分线，直接写出此时绕点旋转的时间． 【答案】（1）或； （2）①；②或； （3），，或秒． 【解析】 【分析】本题主要考查角的和差倍分运算，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键． （1）由是的一条三分等线，分类讨论，即可求解； （2）以O为中心，将逆时针旋转n度得到，当恰好是的三等分线时，分两种情况：当是的三等分线，且时；当是的三等分线，且时，分别求解即可； （3）由是的一条三等分线，，得或，分两种情况讨论：当时；当时，分别求出绕点O沿逆时针方向旋转的度数，进而即可求解． 【小问1详解】 解：，是的一条三等分线， ，或， 或． 【小问2详解】 解：①∵，，是的两条三等分线 ∴ ②以O为中心，将逆时针旋转n度得到，当恰好是的三等分线时，分两种情况： 当是的三等分线，时，如图， ∴ ∴ ∴ 当是的三等分线，时，如图， ∴ ∴ 故答案为：或；． 【小问3详解】 解：是的一条三等分线，， 或， ，分别是与的平分线， ， 当时，如图， 或， 绕点O沿逆时针方向旋转或时，是的一条三等分线， （秒）或（秒）； 当时，如图， 或， 绕点O沿逆时针方向旋转或时，是的一条三等分线， （秒）或（秒）； 综上，绕点O沿逆时针方向旋转的时间是，，或秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $