第13讲 消元——解二元一次方程组（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第13讲 消元——解二元一次方程组（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 题型八 三元一次方程组的定义及解 知识点一：二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南开封·月考）用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中是三元一次方程组的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若是一个三元一次方程，那么 ， ． 【核心考点一 代入消元法】 【例1】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏·月考）在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）把方程改写成用含的式子表示的形式是 ． 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【核心考点二 加减消元法】 【例1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和（   ） A．互为倒数 B．大小相等 C．互为相反数 D．都等于0 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组为则的值是 ． 【例4】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组则 ． 【核心考点三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·山西运城·月考）已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 【例4】（25-26八年级上·福建漳州·月考）二元一次方程的解为 5 2 4 二元一次方程的解为 2 3 4 则方程组的解为 ． 【核心考点四 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】 （24-25七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·月考）解方程组时某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么a、b、c的值是（   ） A． B．a，b不能确定， C． D．a，b，c的值不能确定 【例3】（2025八年级·全国·模拟预测）在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错了，得到解为，则 ． 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 【核心考点五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（24-25七年级下·广西柳州·开学考试）甲乙两数的和是，甲的比乙的多，甲乙两数的差是（ ）． A．120 B．240 C．360 D．480 【例2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【例3】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是 ． 【核心考点六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·四川南充·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程，下表中给出的几组，的值都是此方程的解，则的值为（   ） … 0 1 2 … … … A． B．1 C．2 D．3 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）若方程组的解中：，则k等于 ． 【例4】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【核心考点七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于x，y的方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，则a，b的值分别是（　　） A．2，1 B．2，-1 C．-2，1 D．-2，1 【例3】 （24-25八年级上·陕西西安·月考）已知方程组和方程组有相同的解，则 ． 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的二元一次方程组和同解，则可通过解方程 组成的方程组求得这个解．（请填写序号） 【核心考点八 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·期末）方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南信阳·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知三元一次方程组，则 ． 【例4】（24-25七年级下·湖南永州·期末）小李去文具店购买、、三种学习用品各一种，已知一件学习用品比一件学习用品贵4元，一件学习用品比一件学习用品贵3元，那么一件学习用品比一件学习用品贵 元． 【变式训练1 代入消元法】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组把________代入________，可以消去未知数________，方程变为________．（不用化简） 3．（24-25七年级下·全国·周测）用代入法解下列方程组： (1) (2) 4．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【变式训练2 加减消元法】 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为 ；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为 ． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解方程组： (1) (2) 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【变式训练3 二元一次方程组的特殊解法】 1．（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组② 变形为方程组③ 设，则方程组③可化为方程组④比较方程组④与方程组①可得即 ∴方程组②的解为 我们把这种解方程组的方法称为换元法． 若已知方程组的解为则方程组：的解为 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【变式训练4 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 3．（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 4．（25-26八年级上·江西九江·月考）下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：①，得，③第一步 ②，得，④第二步 ③＋④，得，解得，第三步 把代入①，得，第四步 ∴原方程组的解为，第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作______法，以上求解步骤中，第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【变式训练5 构造二元一次方程组求解】 1．（24-25七年级下·重庆渝中·月考）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为(    ) （1），； （2）若，()，则； （3）若，则有且仅有6组整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 4．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 【变式训练6 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）方程组的解，的值互为相反数，则的值为（        ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 4．（24-25七年级下·吉林白城·月考）（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【变式训练7 方程组相同解问题】 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）方程组与方程组的解相同，求的值． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【变式训练8 三元一次方程组的定义及解】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 2．（2025七年级下·湖南长沙·模拟预测）已知，当时，；x=6时，；时，．则当时，y的值为 ． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·月考）解方程组： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 1．（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·天津和平·期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），以下结论中：①若，则；②若，则；③无论取何值，的值不变；④，无自然数解．以上四个结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 5．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·月考）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知关于的二元一次方程组和关于的二元一次方程组有相同的解，则的值是______． 9．（2025·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元． 10．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 12．（24-25七年级下·海南海口·期末）已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中，，的值． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 14．（24-25七年级下·山东日照·月考）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 15．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 消元——解二元一次方程组（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 二元一次方程组的错解复原问题 题型五 构造二元一次方程组求解 题型六 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型七 方程组相同解问题 题型八 三元一次方程组的定义及解 知识点一：二元一次方程组的解法 1.代入消元法 ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2.加减消元法 ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河南开封·月考）用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 根据解二元一次方程组，通过将两个方程相加可直接求出的值． 【详解】解：二元一次方程组， 将两式相加，， 整理后为：， 即． 故选：A ． 知识点二：三元一次方程（组）的概念与解法 三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。 一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。 解法： （1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。 （2）三元一次方程组解题的基本步骤： ①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列方程组中是三元一次方程组的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三元一次方程组中共含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，由此进行判断即可． 【详解】解：A、a的最高次数是2，选项错误； B、x、y、z的最高次数都是2，选项错误； C、每个方程都是分式方程，选项错误； D、符合题意，选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查三元一次方程组的识别，牢记定义是解题的切入点． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）若是一个三元一次方程，那么 ， ． 【答案】 -1 0 【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：． 故答案为：-1，0． 【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义． 【核心考点一 代入消元法】 【例1】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是将方程①中的代入方程②替换对应的未知数． 利用代入消元法，把方程①中的表达式代入方程②，替换方程②里的． 【详解】解：由方程①得， 将其代入方程②得：． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏·月考）在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把，和，代入原等式中可得两个二元一次方程，进而建立方程组求出k、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵在等式中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）把方程改写成用含的式子表示的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．将看作已知数，利用移项、系数化为1的步骤解答即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得，即， 故答案为：． 【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为 ；如果先消去y，可以将方程②变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．消去某个未知数需将该未知数用另一个未知数表示，据此解答即可． 【详解】解：如果先消去x，由方程① ， 移项得 ； 如果先消去y，由方程② ， 移项得 ， 即． 故答案为 ，． 【核心考点二 加减消元法】 【例1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解；根据加减消元法计算二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴二元一次方程组的解是． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）在解二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和（   ） A．互为倒数 B．大小相等 C．互为相反数 D．都等于0 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，由加减消元法求出的结果，要使直接消去y，需y的系数在相减后为零，据此可得答案． 【详解】解：得， ∵可直接消去未知数， ∴， ∴，即和大小相等， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组为则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过将方程组的两个方程相加，进行整体运算，直接求出代数式的值 【详解】解：给定方程组 ，将①和②相加，得， 即． 故答案为：6． 【例4】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中两个方程相加即可得解． 【详解】解：， 得， 故答案为：5． 【核心考点三 二元一次方程组的特殊解法】 【例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件将方程组变形为，根据二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：方程组的解是，方程组可变为 ∴ 解得 ∴方程组 的解为：， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组的解的定义去构造方程组，解答即可． 本题考查了方程组的解，正确理解定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴是方程组的解， ∵的解是， ∴ ∴， 故的解为， 故选C． 【例3】（25-26八年级上·山西运城·月考）已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 通过将第二个方程减去第一个方程，直接得到的值． 【详解】解：由方程组， 由②①得： ， ， ， ． 故答案为． 【例4】（25-26八年级上·福建漳州·月考）二元一次方程的解为 5 2 4 二元一次方程的解为 2 3 4 则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组． 通过比较两个二元一次方程的解，寻找公共解，即可得方程组的解． 【详解】解：根据题意可知，是方程和的公共解， ∴方程组的解为． 故答案为：． 【核心考点四 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】 （24-25七年级上·安徽合肥·期末）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 【例2】（24-25七年级下·黑龙江绥化·月考）解方程组时某同学把c看错后得到，而正确的解是，那么a、b、c的值是（   ） A． B．a，b不能确定， C． D．a，b，c的值不能确定 【答案】C 【分析】看错后的解满足，正确的解满足两个方程，进行求解即可． 【详解】解：∵把c看错后得到， ∴满足方程，即： ∵正确的解是， ∴， ∴， 解方程组可得：； ∴； 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组错解复原以及二元一次方程组的解．熟练掌握方程组的解满足方程组中的方程，以及消元法解二元一次方程组，是解题的关键． 【例3】（2025八年级·全国·模拟预测）在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错了，得到解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可． 【详解】解：根据题意，； 把代入的②中，得， 解得； 把代入①中，得， 解得， ， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山东泰安·期中）甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 故答案为： 【核心考点五 构造二元一次方程组求解】 【例1】（24-25七年级下·广西柳州·开学考试）甲乙两数的和是，甲的比乙的多，甲乙两数的差是（ ）． A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】C 【分析】设甲为，乙为，根据题意列出方程组，加减消元即可求解． 【详解】解：设甲为，乙为，依题意， 由②得③ 得， 解得：， 将代入①得， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 结论Ⅰ：的值是一个定值16； 结论Ⅱ：若m的值为6，则x的值是1； 上述结论正确的是（    ） A．结论Ⅰ B．结论Ⅱ C．两个结论都正确 D．两个结论都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了了解二元一次方程组，根据题意得出，，，则可求出，即可判定结论Ⅰ，若m的值为6，则，则可得，解方程组即可判定结论Ⅱ． 【详解】解∶根据题意，得，，， ∴， ∴，故结论Ⅰ错误； 若m的值为6，则， ∴， 解得，故结论Ⅱ正确， 故选：B． 【例3】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中为常数，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到，再由锂原子的个数相等得到，即可建立二元一次方程组求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是 ． 【答案】829 【分析】本题考查的是解二元一次方程组．先设有p个x取1，q个x取，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． ∴，，，，中数值取0的个数是829． 故答案为：829． 【核心考点六 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·四川南充·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，联立不含参数的方程求出解后代入含参数的方程求解即可． 【详解】联立方程组中不含参数的两个方程： 将两方程相加，消去得： 解得 将代入， 得： 解得 将解，代入含参数的方程， 得： ∴ 解得：． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于，的二元一次方程，下表中给出的几组，的值都是此方程的解，则的值为（   ） … 0 1 2 … … … A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解．依题意，任选一组解代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入，得，， 解得：， 验证，当时，， 解得，符合题意， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·月考）若方程组的解中：，则k等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含字母参数的二元一次方程组的字母求解问题，解题关键是理解题意，能利用整体代入法进行消元并求解，本题将两个方程相加，再将的值代入即可求解， 【详解】解：方程组的两个方程相加得： ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：4 ． 【例4】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．先解二元一次方程组，再代入中求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得，， 将代入得， ， 解得，， 故答案为：． 【核心考点七 方程组相同解问题】 【例1】（24-25七年级下·山东泰安·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若关于x，y的方程组的解与关于x，y的方程组的解相同，则a，b的值分别是（　　） A．2，1 B．2，-1 C．-2，1 D．-2，1 【答案】B 【分析】两个方程组的解相同，则这组成这两个方程组的四个方程有公共解，再代入含有a、b的两个方程得到一个关于a、b的二元一次方程组，可解得a、b的值． 【详解】解：因为关于x，y的方程组的解与关于x，y的方程组的解相同， 所以， 把x=4，y=3代入ax+by=5和bx+ay=2中，可得：， ①×3-②×4得：b=-1， 把b=-1代入①得：a=2， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，由条件得出只含x、y的二元一次方程组求出x、y的值是解题的关键． 【例3】 （24-25八年级上·陕西西安·月考）已知方程组和方程组有相同的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同解方程组问题，根据方程组同解得出，解之求得x、y的值，代入另外两个方程得出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 将此代入得： ∴， 故答案为：1． 【例4】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的二元一次方程组和同解，则可通过解方程 组成的方程组求得这个解．（请填写序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了同解方程组； 根据方程组解的定义可得答案． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然满足两方程组， 故答案为：①④． 【核心考点八 三元一次方程组的定义及解】 【例1】（24-25七年级下·河南周口·期末）方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 【例2】（24-25七年级下·河南信阳·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系． 【详解】解：由题意得：， 得，， ∴， 将③代入①得，， ∴ ， ∵为定值， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知三元一次方程组，则 ． 【答案】//19.5 【分析】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ①+②+③，得 ， ∴， 故答案为． 【例4】（24-25七年级下·湖南永州·期末）小李去文具店购买、、三种学习用品各一种，已知一件学习用品比一件学习用品贵4元，一件学习用品比一件学习用品贵3元，那么一件学习用品比一件学习用品贵 元． 【答案】7 【分析】根据题意列方程组，再整体求解． 【详解】解：设A一件x元、B一件y元、C一件z元， 根据题意得： ， 由①+②得：xz=7， 即一件A学习用品比一件C学习用品贵7元， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，整体求解是解题的关键． 【变式训练1 代入消元法】 1．（24-25七年级上·安徽亳州·月考）李老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的4名成员每人完成一步，如图所示是4个人合作完成方程组的解题过程，解题过程中开始出现错误的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查代入消元法求二元一次方程组，利用代入消元法进行求解，进行分析判断即可，掌握解方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 由，得， 将代入得，， , ， ∴解题过程中开始出现错误的同学是丙， 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组把________代入________，可以消去未知数________，方程变为________．（不用化简） 【答案】①，②，y，2x+3（x-3）=7 【解析】略 3．（24-25七年级下·全国·周测）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把①变形为③，把③代入②即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）把①代入②即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （2）解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是 4．（25-26八年级上·山西运城·月考）下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 【变式训练2 加减消元法】 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）下列二元一次方程组中，方程组的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键． 逐一利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】A.， ①+②，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为； B.， ②①，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； C.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； D.， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为． 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）用加减消元法解方程组时，要使的系数相等，则可将该方程组转化为 ；要使的系数为相反数，则可将该方程组转化为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，两边同时即可得到①，两边同时即可得到② 【详解】解：中， 两边同时即可得到 ； 两边同时即可得到 ； 故答案为：①② ． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 4．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）依题意得， ， ，即， 解得． 【变式训练3 二元一次方程组的特殊解法】 1．（2025七年级上·上海·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解． 【详解】解：设，， 则新方程组化为： ∵原方程组的解为， ∴，， 即：， 解得， 故选D． 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）先阅读下列解方程组的求解过程，再解答问题． 已知方程组①的解为，求方程组②的解． 解：将方程组② 变形为方程组③ 设，则方程组③可化为方程组④比较方程组④与方程组①可得即 ∴方程组②的解为 我们把这种解方程组的方法称为换元法． 若已知方程组的解为则方程组：的解为 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．熟练掌握换元法是解题的关键． 设，利用换元法计算求解即可． 【详解】解：设， 则方程组可化为． 比较方程组与方程组， 得． 即． ∴原方程组的解为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 4．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 【变式训练4 二元一次方程组的错解复原问题】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【答案】A 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 【详解】把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键. 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 3．（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 4．（25-26八年级上·江西九江·月考）下面是小贤同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：①，得，③第一步 ②，得，④第二步 ③＋④，得，解得，第三步 把代入①，得，第四步 ∴原方程组的解为，第五步 (1)小贤求解二元一次方程组的方法叫作______法，以上求解步骤中，第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元；四； (2)见解析． 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的错解复原问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据所给的解题过程确定解法，从中找出错误步骤； （2）利用加减消元求解即可． 【详解】（1）解：小贤求解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，以上求解步骤中，第四步开始出现错误， 故答案为：加减消元；四． （2）解：①，得，③ ②，得，④ ③④，得， 解得：， 把代入①，得， ∴原方程组的解为． 【变式训练5 构造二元一次方程组求解】 1．（24-25七年级下·重庆渝中·月考）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为(    ) （1），； （2）若，()，则； （3）若，则有且仅有6组整数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】首先根据题意可得，求解即可判断结论（1）；由可得，结合即可判断结论（2）；由可得，整理可得，结合均为整数可知或或，进一步求得的值，即可判断结论（3）． 【详解】解：根据题意，，， ∴， 解得，故结论（1）错误； ∵，即， ∵， ∴，故结论（2）正确； ∵，即， 当时，则有不成立， ∴， ∴， 又∵均为整数， ∴或或， ∴2或或或0或或， ∴满足条件的值为或或或或或，故结论（3）正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）对于任意实数、，定义新运算：，．例如：时，． (1)若，求、的值； (2)若关于、的方程组（为常数）的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组，能够根据题意列出二元一次方程组是解题关键； （1）根据定义新运算得出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得； （2）解：∵， ∴， 得到， ∵， ∴，解得． 4．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在表格中任意取两组数据代入方程，用加减消元法求出、的值即可； （2）将，代入方程组可得，由加减消元法求出，再由，求出，即可求． 【详解】解：（1）将，和，代入方程， 得：， 由①得③， 将③代入②得，， 将代入③得，， ∴a，b的值为； （2）将，代入方程组， 得．   两方程相减，得． ∴． 把代入，得． ∴． ∴． 于是，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解的应用，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练6 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 1．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）方程组的解，的值互为相反数，则的值为（        ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了已知方程组的解求参数．利用相反数的定义设，代入原方程组得到关于和的方程，解方程组即可求出的值 【详解】解：与互为相反数， 代入方程组： 由，得 ， ① 由，得 ， ② 由②得， 代入①： 解得： ， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的二元一次方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】2 【分析】解方程组，用含的代数式表示出根据，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】 ①×2+②，得， 即． ， ， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解决本题的关键是利用整体思想，通过方程组的线性组合直接求出的表达式，进而建立关于的方程求解． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 4．（24-25七年级下·吉林白城·月考）（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 【变式训练7 方程组相同解问题】 1．（25-26七年级上·广西崇左·月考）关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， ． 故答案为： ． 3．（25-26八年级上·全国·假期作业）方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． 4．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：，得， 把代入①得， 解得， 将，代入②得， 解得：， 故答案为：； （2），得， 即， 解得：． 【变式训练8 三元一次方程组的定义及解】 1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面写着1，2，3，⋯，49，50，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，这五张卡片记为，下表是抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 两数的和 78 54 36 59 71 根据表格数据，可以确定的是（    ） A．卡片上的数最小 B．卡片上的数最小 C．卡片上的数比卡片上的数大 D．卡片上的数比卡片上的数大 【答案】A 【分析】本题主要考查代数方程的建立和求解，以及逻辑推理能力．通过设立方程组求解各卡片上的数值，再比较各数大小即可确定正确选项． 【详解】解：设五张卡片上的数分别， 根据题意列出方程：， 由方程①得，代入方程⑤得， 由方程②得，代入方程③得， 将和代入方程④：，解得：， 则， 比较各数大小：为最小值，故选项A正确． 其他选项中，非最小，，，均不成立． 故选：A． 2．（2025七年级下·湖南长沙·模拟预测）已知，当时，；x=6时，；时，．则当时，y的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解三元一次方程组． 根据题意列出三元一次方程组，求出，得到，将代入计算即可． 【详解】解：根据x，y的取值，联立方程： ， 解得：， ∴， 当时，． 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·月考）解方程组： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解三元一次方程组、解二元一次方程组，解决本题的关键是运用消元的思想解决问题． （1）由加减消元法求解即可； （2）由加减消元法求解即可； （3）先运用代入消元法，再运用加减消元法求解． 【详解】（1）解：； 得：， 得， 将代入①得， 方程组的解为：； （2）解：； 得：③， 得：， 得， 将代入②得：， 方程组的解为：； （3）解：， 将①代入②得：， 解得： 所以得， 得：， 解得：， 得：， 解得， 方程组的解为：． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 【答案】（1）方程组的解为；（2）；（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用整体代入法求解即可； （2）①－②得：，然后两边都乘以即可求解； （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详解】解：（1）， 把②代入①得： ∴ 把代入②得： ∴ ∴方程组的解为． （2）， ①－②得：③ ，得 ． （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元： 则：， 得：③， ③得： 采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元． 1．（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 2．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 3．（24-25七年级下·天津和平·期末）已知关于，的二元一次方程组（是常数），以下结论中：①若，则；②若，则；③无论取何值，的值不变；④，无自然数解．以上四个结论中，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及对解性质的分析．利用消元法解二元一次方程组，再根据各个结论逐一分析对错． 【详解】解： 解方程组 通过加减消元法解得： 结论①：当时，，，故①错误； 结论②：若，即，解得，故②正确； 结论③：由，可知，无论取何值，恒为定值，故③正确； 结论④：自然数要求为非负整数，若存在自然数解，则和需为非负整数，但需同时满足为整数，导致无法使得同时为自然数，故④正确． 综上，结论②、③、④正确，共3个． 故选：C ． 4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 5．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·月考）甲乙解方程组，由于甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组及二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，． 故答案为：，． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知关于的二元一次方程组和关于的二元一次方程组有相同的解，则的值是______． 【答案】5 【分析】本题考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，首先求得方程组的解是解题的关键．当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入中直接求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 代入中，得， 解得：， 故答案为：． 9．（2025·北京大兴·模拟预测）小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 元． 【答案】 ① 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差元，列出方程即可求解． 【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，则，依题意有： ， 则使用会员卡花费少 ； 由， 解得． 故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差元． 故答案为：①，． 10．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，分别用含的代数式表示，然后再相加即可得出的值 【详解】解： ，得：， ，得：， ∴， 故答案为：1. 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键； （1）（2）利用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： ，得， 解得． 把代入①， 得， 解得， ∴原方程组的解为 （2）解： 由②，得．③ ，得， 解得． 把代入①， 得， ∴原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·海南海口·期末）已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中，，的值． 【答案】 【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键． 【详解】解：由题意得：，解得． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求m的值． (3)无论m取何值，方程总有同一个解，请求出这个解． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解． （1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可； （2）写成方程组求出x、y的值，再代入方程求出m的值即可； （3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有同一个解，可得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或或； （2）解：， ∵， ∴， 将③代入①得， 将代入③得， 将代入②得，； （3）解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的同一个解为． 14．（24-25七年级下·山东日照·月考）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合，求k的值即可． （3）根据，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为． （2）解：方程为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 故方程组的解为． 由得， 解得． （3）解：根据题意，得， 故方程组变形为， 整理，得， 根据题意，方程组的解为，方程组的解为， 故； 解得， 此时方程组变形为， 解得， 故． 15．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）观察发现： 解方程组： 将①整体代入②得． 解得． 把代入①，． 故原方程组的解为． 这种解法称为“整体代入法”，你细心观察，有很多方程组均可采用此方法解答． (1)实践运用： 请用“整体代入法”解方程组． (2)拓展提升： 请你仿照上面的解法解方程组，．（提示，将看作一个整体） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 即， 将变形为 将代入得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $