第01讲 相交线（5个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）讲义2025－2026学年七年级下册数学（人教版）

第01讲 相交线（5个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 对顶角的性质 题型二 邻补角的性质 题型三 垂线的定义 题型四 画垂线 题型五 点到直线的距离 题型六 同位角、内错角、同旁内角 题型七 角度计算综合 题型八 三线八角问题 知识点一：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 知识点二：垂线的概念及表示 1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段） 2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足. 4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直. 【即时训练】 1．（2025·云南楚雄·二模）如图，直线分别交，于点，点，过作交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，由题意可得，根据可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）在同一平面内，过直线外一点作已知直线的垂线，可以作 条． 【答案】一 【分析】本题考查了学生对过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直知识的掌握情况．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．据此解答． 【详解】解：过直线外一点作已知直线的垂线，这样的垂线可以作一条． 故答案为：一． 知识点三：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义，邻补角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，两个角称为同旁内角；同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形，邻补角互补，根据定义，性质逐一分析即可． 【详解】解：∵同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形，与是同位角， ∴A正确，不符合题意； ∵两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，与是内错角 ∴B选项正确，不符合题意， ∵两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，与是同旁内角， ∴C正确，不符合题意； D选项，与不是邻补角，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 知识点四：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，欲在河岸上某处点修建一水泵站，将水引到村庄处，可在图中画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是垂线段最短； 故选：C． 2．（24-25七年级下·江西新余·期末）体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的鞋印与踏板边沿之间的距离（如图），从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，直接根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的鞋印与踏板边沿之间的距离（如图），从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 知识点五：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建宁德·期中）过点P向线段所在直线画垂线段，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线段的画法，掌握垂线段的定义是解题的关键． 【详解】解：对于A，过点P的直线与不垂直，故不合题意； 对于B，垂线不过点P，故不符合题意； 对于C，垂线段应为线段，而不是射线，故C不符合题意. 故选D． 2．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 【核心考点一 对顶角的性质】 【例1】（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴依据是对顶角相等． 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·河北唐山·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 【答案】 2 6 【分析】由图1可得，两条直线相交于一点，形成2对对顶角；图2三条直线相交于一点，形成6对对顶角；依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】解：如图1，图中共有对对顶角； 如图2，图中共有对对顶角； 研究图1图2小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得： 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：2，6，． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律，解题的关键是掌握，即有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【例4】（24-25七年级下·福建南平·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝ ． 【答案】36°/36度 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【详解】由题意得，为对顶角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质，即两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，且对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【核心考点二 邻补角的性质】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角，据此求解即可． 【详解】的邻补角是． 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（    ） A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB 【答案】C 【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角 【详解】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角. 故选：C 【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键. 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【答案】 【分析】本题考查的是图形规律探索，结合已知条件及图形总结规律即可． 【详解】解：由①得， 由②可得， 由③可得， 那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有组， 故答案为：． 【核心考点三 垂线的定义】 【例1】（24-25七年级下·山东滨州·月考）如图，直线和相交于点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平角的性质、垂直的性质，解题的关键是利用垂直得到直角，再结合角的和差关系计算． 先由得，再结合，求出． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线、余角、平角，由垂直的定义得到，再由平角的定义得，再由余角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知直线相交于点，则 度． 【答案】55 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等以及角的和差，熟练掌握垂直的定义和对顶角相等是解题关键； 根据垂直的定义可得，对顶角相等可得，再计算角的和差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为 度．（备注：入射角等于反射角）    【答案】27 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故答案为： 【核心考点四 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项． 【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意； C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意； D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可直接得出答案． 【详解】解：由垂线的定义可知，直线， 因此垂线经过的点是点C， 故选C． 【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足． 【例3】（24-25七年级下·四川成都·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 【例4】（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【核心考点五 点到直线的距离】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意从直线外一点引这条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离求解． 【详解】解：选项A，B，C中，与不垂直，故线段的长不能表示点A到直线距离，不合题意； 选项D中，于，则线段的长表示点到直线距离，符合题意． 故选：D． 【例3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到边的距离就是过作的垂直线，即． 【详解】 点到边的距离为的长． 点到边的距离为． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，，线段，线段，线段，则点A到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A到的距离为的长， 又∵， ∴点A到的距离为． 故答案为： 【点睛】本题考查了点到直线的距离，即从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离． 【核心考点六 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，直线与直线相交形成的5个角中，与互为同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．根据同位角的定义判断即可得出． 【详解】解：直线与直线、相交形成的5个角中，与互为同位角的是， 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中有 对同位角；有 对同旁内角；有 对内错角． 【答案】 8 4 5 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角，熟练掌握同位角，内错角和同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角，内错角和同旁内角的定义解答即可． 【详解】解：同位角一共8对，分别是和，和，和，和，和，和，和，和； 同旁内角一共4对，分别是和，和，和，和； 内错角一共5对，分别是和，和，和，和，和． 故答案为：8；4；5． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线，被直线所截而成的 角；和是直线，被直线所截而成的 角；和是直线，被直线所截而成的 角． 【答案】 同位 内错 同旁内 【分析】根据两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，在截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的两侧在截线的内部的两个角是内错角；在截线的同一侧，在截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形解答． 【详解】解：和是直线，被直线所截而成的是同位角；和是直线，被直线所截而成的是内错角；和是直线，被直线所截而成的同旁内角； 故答案为：同位、内错、同旁内． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角属于三线八角的问题，熟记概念是解题关键． 【核心考点七 角度计算综合】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线、相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等得，再由可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）要测量一个古城墙墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是（   ） 方案I： ①延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． 方案II： ①延长到点，延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 【答案】A 【分析】本题主要考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行． 【详解】解：由作图可得是平角， ∴与互补， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 由作图可得与是对顶角， ∴， ∴方案Ⅱ可行； 综上分析可知：I、II都可行． 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查垂线，熟练掌握角的和差是解题的关键． 根据得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·河北保定·期中）嘉淇同学周末去公园踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔（下图），为了测量古塔底部的底角的度数，嘉淇设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数，这个测量方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题考查的是对顶角相等的性质，在两直线相交的前提下，由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：这个测量方案的依据是：对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 【核心考点八 三线八角问题】 【例1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则图中表示的是（    ）    A．同旁内角 B．同位角 C．内错角 D．补角 【答案】A 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：图中表示的是同旁内角． 故选：A 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（   ） A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角 【答案】B 【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可． 【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 所以B选项是正确的， 故选B． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，属于简单题，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 【例3】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，要使木条与平行，则的度数必须是 ． 【答案】65 【分析】本题考查根据平行线的判定，对顶角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．由对顶角的性质得，然后根据平行线的判定方法求解即可． 【详解】解：如图，， ， 若要使，则， ， 故答案为：65． 【变式训练1 对顶角的性质】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期末）将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象成一般的几何图形（如图所示），若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了对顶角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据对顶角相等进行作答，即可求解； 【详解】解：∵和是对顶角，且， ∴， 故答案为：； 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，． (1)当时，求的度数； (2)分别反向延长射线，得射线，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据，结合已知解答即可； （2）根据对顶角相等，等量代换解答即可． 本题考查了周角的定义，角的和，对顶角相等，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______________对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．    【答案】（1）    ；（2）    ；（3）在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角 【分析】根据每两条直线相交可以构成两对对顶角，只需要找到一组直线中相交直线的对数，即可求得对顶角的对数． 【详解】（1）两条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；三条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；四条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角． 故答案为：     （2）两条直线相交于一点，共有对相交直线，有对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角；条直线两两相交于不同的点，共有对相交直线，有对对顶角． 故答案为：     （3）在同一平面内，条直线两两相交，相交直线的对数，对顶角的对数． 故答案为：在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义是解题的关键． 【变式训练2 邻补角的性质】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 3．（24-25七年级上·全国·期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB． (1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　． (2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　． (3)求∠EOD的度数． 【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD (2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD (3)140° 【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可； （2）根据补角的定义进行判断即可； （3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． 故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD． （2）图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD， ∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠BOE=180°， ∴∠COE+∠BOE=180°， ∴∠EOC和∠EOB互补， ∵∠COE+∠EOD=180°， ∴∠AOE+∠EOD=180°， ∴∠AOE和∠EOD互补． 故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD． （3）∵OE平分∠AOC， ∴∠EOC＝∠AOE， 设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，由平角定义得， x+x+x＝180°， 解得：x＝100° ∴∠EOC＝∠AOE＝（180°﹣100°）＝40°， ∴∠DOE＝100°+40°＝140°， 答：∠EOD的度数为140°． 【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 【变式训练3 垂线的定义】 1．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】12或30 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 4．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，直线与相交于点，，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差倍分； （1）先证明，结合，可得，进一步可得答案； （2）先求解，结合，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）由垂直得，即得，进而得，即得到，即可求证； （）由垂直得，即得，进而可得，得到，再根据角的和差即可求解； 本题考查了垂直的定义，角的和差，掌握垂直的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 【变式训练4 画垂线】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别过点作直线的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力，掌握以上知识是解答本题的关键． 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可； 用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和点重合，过点沿直角边向画直线即可． 【详解】解：如图所示： 2．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】(1)图见解析 (2)， 【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可； （2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线段，垂足为H； (3)请判断线段这三条线段长度的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）利用方格线画垂线； （2）利用方格线画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到 ，即可得到线段 的大小关系． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：． 理由如下：线段的长度是点P到直线的距离，所以；线段的长度是点C到直线的距离，所以． 故． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补 (4) 【分析】本题考查画垂线，角的度量，角度之间的关系，熟练掌握垂线的画法，量角器的使用，是解题的关键： （1）借助三角板画出垂线，利用量角器量角后，进行判断即可； （2）同（1）即可得出结果； （3）借助（1）（2）即可得出结论； （4）利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过量角器测量得到； （2）解：作图如下： 通过量角器测量得到； （3）由（1）（2）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； （4）由（2）可知：， ∵， ∴． 【变式训练5 点到直线的距离】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ． ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离． 【答案】①④/④① 【分析】根据点到直线的距离和两条直线互相垂直即可逐项判断． 【详解】解：， ， ①与互相垂直，正确； ， ②与互相垂直，不正确； ③点到的垂线段是线段，而不是，不正确； ④线段的长度是点到的距离，正确； ⑤线段是点到的距离，不正确，应该是线段的长度是点到的距离． ①④正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了点到直线的距离和两直线垂直，解题的关键在于点到直线的距离是一个长度，即垂线段长度，而不是垂线段． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 4．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【答案】(1)，垂线段最短 (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据垂线段最短判断即可； （2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 【变式训练6 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量． 内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量． 【详解】解：当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角， 当时，有对内错角． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，与是内错角的是 ． 【答案】 【分析】内错角在截线的两侧，在被截线的内侧． 【详解】如图所示，与∠C是内错角的是∠2，∠3； 故答案是：∠2，∠3． 【点睛】本题考查了内错角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 【变式训练7 角度计算综合】 1．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线，作射线OE平分． (1)若，求的度数； (2)若的度数比的度数大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，垂直定义，角的和差计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据平角的计算得到，由此即可求解； （2）根据题意得到，根据平角得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：   平分      （2） 又   又   2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，直线相交于点O，于O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)图见解析；的度数为或 【分析】（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得的度数； （2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到的度数； （3）分两种情况：若F在射线上，则；若在射线上，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）分两种情况： 若F在射线上，则； 若在射线上，则； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的计算，对顶角的性质，垂线的意义，关键是分类讨论思想的运用． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，，是直角． (1)如图①，若与重合，求的度数； (2)如图②，若平分，求的度数； (3)如图③，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差关系等知识，解题的关键是： （1）根据垂直的定义以及角的和差关系求解即可； （2）根据角平分线的定义以及角的和差关系求解即可； （3）由已知可求出，然后结合即可求解． 【详解】（1）解：∵是直角，与重合， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点作，请直接写出的度数是_____度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了余角和补角的计算，角的和差，对顶角相等， （1）根据得出答案； （2）先根据求出，进而求出，然后结合得出结论； （3）分两种情况讨论，画出图形，直接根据或可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式训练8 三线八角问题】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）图1中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成． （2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？ 【答案】(1) EF，CD；AB；（2）不是 ． 【分析】（1）根据三线八角的定义求解即可； （2）根据三线八角的定义求解即可； 【详解】解：（1）∠1、∠2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线． 所以图1中，∠1、∠2由直线EF，CD被直线AB所截而成． （2）因为∠D的两边都不在直线AB上，所以∠D不属于以AB为截线的三线八角图形中的角． 【点睛】此题主要考查了“三线八角”，熟练掌握：“三线八角”的定义是解答此题的关键． 2．（24-25七年级下·河南濮阳·月考）我们已经学习了“三线八角”中的内错角，类比内错角，我们给出如下定义： 如图，直线，被所截，和分别在直线，的外侧（在直线上方，在直线下方），且分别在直线两侧（在直线左侧，在直线右侧），具有这种位置关系的一对角叫作外错角． (1)【初步理解】请在图中找出另一对外错角：________； (2)【理解应用】若的度数是它的外错角度数的2倍，，求，的度数． 【答案】(1)和 (2)， 【分析】本题考查几何图形中角度计算，相交及所成的角，一元一次方程的应用，理解外错角的定义是解题的关键． （1）根据外错角的定义，结合图形即可得出答案； （2）根据外错角的定义可得，结合，列一元一次方程，求出，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：图中另一对外错角为：和， 故答案为：和； （2）解：因为的外错角是，且的度数是它的外错角度数的2倍， 所以， 因为，， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以，． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）问题情景： 如图，，直线EF与直线CD、直线AB分别交于点P点Q，构成“三线八角”． 探究： (1)在图中，作“三线八角”中任意两个角的角平分线，试判断这两条角平分线的位置关系．请你画出其中四种不同情况的图形，并选择一种进行证明； 发现： (2)把你的发现用一句话概况出来； 拓展： (3)在备用图中，请你在直线EF的右侧平面内任取一点M，连结MP，MQ，探究∠MPD ，∠MQB ，∠PMQ之间的关系．请你画出所有不同的情况对应的图形，并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意画出对应的图形，然后逐一证明即可； （2）根据（1）所求进行总结即可； （3）分图5、图6、图7三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 图1两条角平分线所在的直线重合； 图2两条角平分线垂直： 证明：∵GQ平分∠AQP，QH平分∠BQP， ∴， ∵∠AQP+∠BQP=180°， ∴， ∴GQ⊥QH； 图3两条直线平行； 证明：∵， ∴∠CPQ=∠BQP， ∵PG平分∠CPQ，QH平分∠BQP， ∴， ∴∠GPQ=∠HQP， ∴； 图4两条直线垂直； 证明：过点I作， ∵， ∴， ∴∠CPF ＋∠AQP＝180°，∠CPN=∠PIH，∠HIQ=∠AQI， ∵PN平分∠DPF，QM平分∠BQP， ∴∠CPN＝∠CPF，∠AQI＝∠AQP， ∴ ∴PN⊥QM； （2）解：对顶角的角平分线在一条直线上； 邻补角的角平分线互相垂直； 两平行线构成的同位角的角平分线平行； 两平行线构成的内错角的角平分线平行； 两平行线构成的同旁内角的角平分线垂直 （3）解：如图5，过点M作， ∵， ∴， ∴∠MPD+∠PMN=180°，∠MQB+∠QMN=180°， ∴∠MPD+∠PMQ+∠QMN=∠MQB+∠QMN， ∴∠MPD+∠PMQ=∠MQB； 如图6所示，过点M作， ∵， ∴， ∴∠PMN=∠DPM，∠QMN=∠MQB， ∴∠PMQ=∠PMN+∠QMN=∠MPD+∠MQB； 如图7所示，过点M作， ∵， ∴， ∴∠PMN=∠DPM，∠QMN=∠MQB， ∴∠PMQ=∠PMN-∠QMN=∠MPD-∠MQB； 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角互补等等，熟知相关知识画出对应的图形是解题的关键． 1．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，直线与相交于点O，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据邻补角定义和对顶角性质求得和的度数，然后求和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查邻补角定义、对顶角性质等知识点，掌握对顶角的性质是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，最后再根据即可得解． 本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列图形中，一定成立的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据邻补角、内错角、同位角、对顶角的定义逐一分析解答即可． 【详解】解：、和是邻补角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是内错角，不一定相等，故选项不符合题意； 、和是对顶角，根据对顶角的性质可知，故选项符合题意； 、和是同位角，不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了邻补角、内错角、同位角、对顶角，邻补角、对顶角成对出现，解题的关键是熟记以上知识的定义． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足为，则下列结论中，正确的个数为（  ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤点到的距离是线段的长度． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义即可判断①②；根据点到直线的距离即可判断④⑤；根据垂线段的定义即可判断③． 【详解】解：∵， ∴与互相垂直，故①正确； 与不垂直，故②错误； 到的垂线段是线段，故③错误； ∵， ∴点到的距离是线段的长度，故④正确； ∵，即， ∴点到的距离是线段的长度，故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，垂线段和点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 6．（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，角度的和差计算，垂直等定义，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 根据邻补角求得，根据，求得，进而求得，根据对顶角求得，根据角平分线的定义求得，根据即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵是的平分线，是的平分线， ， 又， ， 故答案为：． 7．（11-12七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，标有角号的7个角中共有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角． 【答案】 4， 2， 4. 【分析】根据内错角，同位角及同旁内角的定义即可求得此题． 【详解】解：如图，共有4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7； 2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6； 4对同旁内角：分别是∠1和∠5、∠3和∠4、∠3和∠2、∠4和∠2． 故答案为(1). 4，    (2). 2，    (3). 4. 【点睛】本题考查内错角，同位角，同旁内角的定义，解题关键是熟练掌握定义． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 9．（24-25七年级上·河北保定·期末）已知为直线上一点，为直角，平分． （1）如图，若，则 ； （2）若，则的度数为 ，和的数量关系为 ． 【答案】 68° 【分析】（1）由∠COF＝34°，∠COE为直角，可求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，进而求出∠BOE． （2）根据（1）的思路求解即可． 【详解】解：（1）∵∠COF＝34°，∠COE为直角， ∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°． ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝112°． ∴∠BOE＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68°； （2）∵∠COF＝m°，∠COE为直角， ∴∠EOF＝90°﹣m°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2m°． ∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2m°）＝2m°． ∴∠BOE＝2∠COF． 故答案为：2m°，∠BOE＝2∠COF． 【点睛】本题考查角平分线的定义和角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的几何计算、垂直的定义等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据垂直的定义、角的运算可得，再设旋转运动时间为秒，则，，求出，然后分两种情况：①当时，则，②当时，则，分别求出、的大小，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒）， ∴， 当与在一条直线上时，则，即， 解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：， 答：的度数为． 12．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）直线，相交于点O，． (1)写出的邻补角； (2)求，，度数． 【答案】(1)与 (2)、、 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）根据邻补角定义即可求解； （2）根据对顶角相等，邻补角互补进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：的邻补角是与． （2）∵， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴、、． 13．（25-26七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了网格线的特征和垂线、垂线段的性质等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义即可求解； （3）根据垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）线段的长度是点P到直线的距离， 故答案为：； （3）如图：， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知：射线OP∥AE    （1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP=58°，求∠A的度数． （2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO=39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数． （3）如图3，若∠A=m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数． 【答案】（1）°；（2）；（3） 【分析】（1）利用角平分线的性质求得∠，利用平行线的性质和平角的定义即可求得答案； （2）利用角平分线的性质求得∠及∠，利用平行线的性质通过计算可求得∠ABO﹣∠AOB的度数； （3）利用角平分线和平行线的性质，依次求得∠、∠、∠与的代数式，寻找规律，求出∠ABnO的度数． 【详解】   （1）如图1，∵平分∠ ∴∠°， ∵， ∴°， ∴°； （2）如图2，    ∵平分∠ ∴∠ 设∠，∴∠ ∵平分∠，且∠ADO=39°， ∴∠ ∵，∴∠ ∴∠ ∵， ∴∠∠ ∴∠； （3）如图3，    ∵∠， 由（1）可知，∠， ∠， 由上述方法可推出： ∠， … 则∠． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及平行线的性质，第(3)问要根据计算出前几项的代数式，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 相交线（5个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 对顶角的性质 题型二 邻补角的性质 题型三 垂线的定义 题型四 画垂线 题型五 点到直线的距离 题型六 同位角、内错角、同旁内角 题型七 角度计算综合 题型八 三线八角问题 知识点一：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 2．（24-25七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 知识点二：垂线的概念及表示 1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段） 2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足. 4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直. 【即时训练】 1．（2025·云南楚雄·二模）如图，直线分别交，于点，点，过作交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）在同一平面内，过直线外一点作已知直线的垂线，可以作 条． 知识点三：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与互为邻补角 2．（24-25七年级下·全国·周测）如图，与是同位角的角共有 个． 知识点四：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图，欲在河岸上某处点修建一水泵站，将水引到村庄处，可在图中画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．（24-25七年级下·江西新余·期末）体育课上为了测量同学们的跳远成绩，将尺子拉直与踏板边沿所在直线垂直，量取最近的鞋印与踏板边沿之间的距离（如图），从而得出该同学的成绩，其所用的数学原理是 ． 知识点五：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建宁德·期中）过点P向线段所在直线画垂线段，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东韶关·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【核心考点一 对顶角的性质】 【例1】（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（   ） A． 同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 【例3】（24-25七年级下·河北唐山·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 【例4】（24-25七年级下·福建南平·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝ ． 【核心考点二 邻补角的性质】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）如图，点O为直线上一点，则的邻补角是（      ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（    ） A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB 【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角； 如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角； 如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角； 则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．    【核心考点三 垂线的定义】 【例1】（24-25七年级下·山东滨州·月考）如图，直线和相交于点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知直线相交于点，则 度． 【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为 度．（备注：入射角等于反射角）    【核心考点四 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·北京·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【例3】（24-25七年级下·四川成都·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【例4】（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【核心考点五 点到直线的距离】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列图形中，线段的长度表示点到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，在中，，，，，则点到边的距离为 ． 【例4】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，，线段，线段，线段，则点A到的距离为 ． 【核心考点六 同位角、内错角、同旁内角】 【例1】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，直线与直线相交形成的5个角中，与互为同位角的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图中有 对同位角；有 对同旁内角；有 对内错角． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线，被直线所截而成的 角；和是直线，被直线所截而成的 角；和是直线，被直线所截而成的 角． 【核心考点七 角度计算综合】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线、相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）要测量一个古城墙墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是（   ） 方案I： ①延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． 方案II： ①延长到点，延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 【例3】（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，，若，则的度数为 ．    【例4】（24-25七年级下·河北保定·期中）嘉淇同学周末去公园踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔（下图），为了测量古塔底部的底角的度数，嘉淇设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数，这个测量方案的依据是 ． 【核心考点八 三线八角问题】 【例1】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则图中表示的是（    ）    A．同旁内角 B．同位角 C．内错角 D．补角 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（   ） A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角 C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角 【例3】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量，要使木条与平行，则的度数必须是 ． 【变式训练1 对顶角的性质】 1．（24-25七年级下·山东潍坊·月考）如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广西来宾·期末）将一把剪刀张开一定的角度，则可以构成4个角，将其抽象成一般的几何图形（如图所示），若，则 ． 3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，． (1)当时，求的度数； (2)分别反向延长射线，得射线，判断与的数量关系，并说明理由． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有_______________对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有_______________对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．             【变式训练2 邻补角的性质】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 2．（24-25七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB． (1)图中的对顶角有　 　对，它们是　 　． (2)图中互补的角有　 　对，它们是　 　． (3)求∠EOD的度数． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【变式训练3 垂线的定义】 1．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 4．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，直线与相交于点，，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 4．（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式训练4 画垂线】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，分别过点作直线的垂线． 2．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线段，垂足为H； (3)请判断线段这三条线段长度的大小关系，并说明理由． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 【变式训练5 点到直线的距离】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，垂足为，则下面的结论正确有 ． ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④线段的长度是点到的距离；⑤线段是点到的距离． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 4．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 【变式训练6 同位角、内错角、同旁内角】 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，与是内错角的是 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 4．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【变式训练7 角度计算综合】 1．（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线，作射线OE平分． (1)若，求的度数； (2)若的度数比的度数大，求的度数．    2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知：如图，直线相交于点O，于O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，，是直角． (1)如图①，若与重合，求的度数； (2)如图②，若平分，求的度数； (3)如图③，若，求的度数． 4．（24-25七年级下·山东聊城·期中）已知如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)在（2）的条件下，过点作，请直接写出的度数是_____度． 【变式训练8 三线八角问题】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）图1中，∠1、∠2由直线 被直线 所截而成． （2）图2中，AB为截线，∠D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？ 2．（24-25七年级下·河南濮阳·月考）我们已经学习了“三线八角”中的内错角，类比内错角，我们给出如下定义： 如图，直线，被所截，和分别在直线，的外侧（在直线上方，在直线下方），且分别在直线两侧（在直线左侧，在直线右侧），具有这种位置关系的一对角叫作外错角． (1)【初步理解】请在图中找出另一对外错角：________； (2)【理解应用】若的度数是它的外错角度数的2倍，，求，的度数． 3．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）问题情景： 如图，，直线EF与直线CD、直线AB分别交于点P点Q，构成“三线八角”． 探究： (1)在图中，作“三线八角”中任意两个角的角平分线，试判断这两条角平分线的位置关系．请你画出其中四种不同情况的图形，并选择一种进行证明； 发现： (2)把你的发现用一句话概况出来； 拓展： (3)在备用图中，请你在直线EF的右侧平面内任取一点M，连结MP，MQ，探究∠MPD ，∠MQB ，∠PMQ之间的关系．请你画出所有不同的情况对应的图形，并直接写出结论． 1．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）如图，直线与相交于点O，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列图形中，一定成立的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，，，垂足为，则下列结论中，正确的个数为（  ） ①与互相垂直；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤点到的距离是线段的长度． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（24-25七年级下·广西梧州·期末）如图，直线、交于点O，，是的平分线，是的平分线，，则 ．    7．（11-12七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，标有角号的7个角中共有 对内错角， 对同位角， 对同旁内角． 8．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 9．（24-25七年级上·河北保定·期末）已知为直线上一点，为直角，平分． （1）如图，若，则 ； （2）若，则的度数为 ，和的数量关系为 ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·月考）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 12．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）直线，相交于点O，． (1)写出的邻补角； (2)求，，度数． 13．（25-26七年级上·吉林长春·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．格点P是的边上的一点，仅用无刻度的直尺完成下列各题： (1)过点P画边的垂线，垂足为H； (2)在图中，线段的长度是点P到直线______的距离； (3)在边上任取一点C（不与点H重合），连接，则______（填“”“”或“”）． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 15．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知：射线OP∥AE    （1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP=58°，求∠A的度数． （2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO=39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数． （3）如图3，若∠A=m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $