第10讲 用坐标描述平面内点的位置（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第10讲 用坐标描述平面内点的位置（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标 题型七 坐标与图形综合 题型八 点的位置与坐标新定义问题 知识点一：坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）下列各点中，位于第二象限的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系象限的定义，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正．根据坐标点的位置特征逐一判断即可． 【详解】解：∵第二象限的点需满足且， ∴选项B：中，，，符合条件； 选项A：中，，，位于第一象限； 选项C：中，，，位于第三象限； 选项D：中，，，位于第四象限． 因此，只有选项B位于第二象限． 故选：B． 2．（2025·广东·模拟预测）冰壶是在冰上进行的一种投掷性模拟预测项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图，这是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则，更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶位于第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了点所在象限的确定，解决本题的关键是找到胜方壶所在的位置，根据胜方最靠近原点的壶所在的位置确定它所在位置的象限． 【详解】解：根据图可知：最靠近原点的壶是图中红队下方的壶，此壶位于第四象限． 故答案为：四 ． 知识点二：点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标．根据点在坐标系中的位置写出坐标即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为． 故选：A 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标．根据第一象限内点的坐标特征和点到坐标轴的距离定义，可确定点的坐标． 【详解】解：点在第一象限， 点的横坐标和纵坐标均大于， 点距离轴个单位长度， 点的横坐标为， 点距离轴个单位长度， 点的纵坐标为， 点的坐标是． 故答案为：． 【核心考点一 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·浙江·月考）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标特征，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴， ∵点M到x轴的距离为3， ∴，即， ∵点M到y轴的距离为2， ∴，即， ∴点M的坐标为． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置．若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的坐标确定，熟练掌握根据已知点确定坐标系进而确定未知点坐标的方法是解题的关键．根据旋转木马和过山车的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，进而确定摩天轮的坐标． 【详解】根据旋转木马和过山车的坐标，可确定平面直角坐标系的位置如图， 摩天轮的坐标为． 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知第一象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点的坐标， 点P在第一象限，则其横坐标和纵坐标均为正数，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】解：点P到x轴的距离为4，即，由于点P在第一象限，，因此，点P到y轴的距离为3，即，由于点P在第一象限，，因此． 故点P的坐标为． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·天津·月考）在一个小正方形边长为1的的网格图中建立适当的平面直角坐标系，则该三角形的三个顶点坐标分别为 、 、 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了平面直角坐标系，熟练掌握建立平面直角坐标系的方法是解题关键．先根据网格图形建立平面直角坐标系，再写出三个顶点的坐标即可得． 【详解】解：在的网格图中建立适当的平面直角坐标系如下： 则的三个顶点坐标分别为， 故答案为：（答案不唯一）． 【核心考点二 求点到坐标轴的距离】 【例1】（2025·河南南阳·一模）点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的纵坐标绝对值即可求得点到轴的距离． 此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值． 【详解】解：， 点到轴的距离是， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍， ∴， 解得或， 故答案为：3或7． 【例4】（24-25八年级上·江苏·月考）已知点A的坐标为，则它到x轴的距离为 ；到坐标原点的距离为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值．根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得第一个空的答案，根据点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值，可得答案． 【详解】解：已知点A坐标为，则点A到x轴距离为2，到原点距离为， 故答案为：2，． 【核心考点三 判断点所在的象限】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，各个象限内点的坐标的特点；第一象限的点的横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数；分析点P的横坐标和纵坐标的符号即可确定P点所在象限． 【详解】解：的横坐标，是负数，纵坐标，是正数， ∴P点一定在第二象限， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征判断即可． 【详解】解：由图可知中心位置在第四象限，故其坐标可能是． 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点，且，，则点M位于第 象限． 【答案】 三 【分析】本题考查了点的坐标，首先根据，得出，或，，然后由平面直角坐标系特点即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 【详解】解：∵， ∴，或，， 又∵， ∴， ∴点位于第三象限， 故答案为：三． 【例4】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【答案】二 【分析】此题主要考查根据点坐标判定其所在象限，熟练掌握各象限的点的坐标特征是解题关键．根据点在轴上，可得横坐标为，即可得出，进而得出点的坐标，即可判定其在第二象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴在第二象限． 故答案为：二 【核心考点四 已知点所在的象限求参数】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标轴上的点的特点，注意在轴上的点，纵坐标为0，在y轴上的点，横坐标为0． 点Q在轴上，则点Q的纵坐标为0，据此求出的值并求得点Q的坐标． 【详解】解：∵点在轴上 ∴ 解得： ∴ 故选：A 【例2】（24-25八年级上·山东济南·月考）已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（    ） A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线 平行于 x 轴，则且 D．若直线平行于 y 轴，且，则 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标平面内点的坐标特征，根据各选项的条件，逐一应用坐标系中的相关性质进行判断即可． 【详解】解：A、点A在第一、三象限角平分线上，则其横纵坐标相等，即，解得，故选项A错误； B、点B在第二、四象限角平分线上，则其横纵坐标互为相反数，即，解得，故选项B错误； C、直线平行于x轴，则两点的纵坐标相等且横坐标不等，由得；由得，条件完全满足，故选项C正确； D、直线平行于y轴，则横坐标相等，即，解得，此时的长度为，令其等于3，解得或，选项D仅给出，未包含，故选项D错误； 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）点在轴上，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，在x轴上的点的纵坐标为0，据此求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， 故答案为：3． 【例4】（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，根据y轴上的点的横坐标为0求出x的值，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【核心考点五 坐标系中描点】 【例1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中有点A（－1，3）和点B，且AB＝2，则点B不可能在（    ）． A．第一象限 B．x轴上 C．第二象限 D．y轴上 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系的特点画出图形解答即可． 【详解】解：如图所示： 以点A为圆心，2为半径作图， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，根据平面直角坐标系的特点画出图形是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）如图，象棋盘上，若“马”位于点(6，1)，则“将”位于（    ） A．(3，－2) B．(2，－2) C．(0，－1) D．(－3，0) 【答案】A 【分析】根据“马”的位置确定x轴、y轴及原点位置确立平面直角坐标系，再确定“将”的坐标． 【详解】由“马”位于点(6，1)，知y轴为从左往右数的第二条竖直直线，且向上为正方向，x轴是从上往下数第三条水平直线，这两条直线交点为坐标原点， 如图所示，则“将”的位置为（3，﹣2）， 故选A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的位置的确定，根据题中的已知条件，确定坐标轴位置及原点是解决本题的关键． 【例3】（24-25七年级下·上海·期末）经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 ． 【答案】y＝﹣3 【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，为-3，所以为直线：y=-3． 【详解】解：由题意得：经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线y＝﹣3， 故答案为：y＝﹣3． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相 【例4】（24-25七年级下·全国·课前预习）在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成 ． 水平的数轴称为x轴或 ，取向 方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或 ，取向 方向为正方向．两坐标轴的交点为平面直角坐标系的 ，一般用 来表示． 【答案】 平面直角坐标系 横轴 右 纵轴 上 原点 O 【解析】略 【核心考点六 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标】 【例1】（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】题目主要考查坐标与图形，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为点，平行x轴， 所以点的纵坐标为． 又因为， 所以，， 则点的坐标为或． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，长方形的边均与某坐标轴平行．已知是该长方形的两个顶点坐标，则下列各点中可以是该长方形顶点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形，根据由于长方形的边与坐标轴平行，其顶点坐标由两组不同的x值和y值组合而成，而顶点为对角顶点，在确定长方形的另外两个顶点即可. 【详解】解：如图，长方形的边均与某坐标轴平行．是该长方形的两个顶点坐标， ∴另外两个顶点坐标为：，， ∴B符合题意； 故选：B 【例3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）过点和作直线，则直线与 （填“”或“”）轴平行． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征特征．根据和的纵坐标相同，即可得到直线轴．熟练掌握与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同，是解题的关键． 【详解】解：∵点和的纵坐标相同， ∴直线轴； 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·北京西城·开学考试）如图，直线，在平面直角坐标系中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点，点，则图中C点在第 象限，D点在第 象限． 【答案】 二 三 【分析】首先根据题意，确定平面直角坐标系原点的位置，从而由图判断出点所在象限． 【详解】解：根据题意中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点，点，大致作出如下平面直角坐标系， 由图可知，C点在第二象限，D点在第四象限， 故答案是：二，三． 【点睛】本题考查了坐标系的确定，判断点所在象限，解题的关键是能根据题意大致确定平面直线坐标系的位置． 【核心考点七 坐标与图形综合】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知线段，轴，若点M坐标为，则N点坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，平行于x轴的线段上所有点的纵坐标相等，且该线段上两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，点M坐标为， ∴点 N的纵坐标为2． ∵， ∴点N的横坐标为或， ∴点N的坐标为或， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据点的坐标可得轴，再由长方形对边平行且相等得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴轴， ∵长方形对边平行且相等， ∴， ∴轴， ∴，即， 故选：D． 【例3】 （24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，已知点．若点，且轴，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点，点，且轴， ∴， ∴． 故答案为： ． 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，B所表示的点为，C表示的点为，并且长方形的面积为6，则点D可以表示为 ． 【答案】 【分析】该题考查了坐标与图形，根据坐标的特点，长方形的面积，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，由长方形的面积为6，得到， 得到， 故． 故答案为：． 【核心考点八 点的位置与坐标新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】本题考查的是新定义的含义，点到坐标轴的距离，根据“完美点”的定义，点C到x轴和y轴的距离相等，即横纵坐标绝对值相等．由此建立方程，分情况求解即可． 【详解】解：∵为“完美点”， ∴， ∴或， 解得：或， 故选：D 【例2】（24-25七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为时，所有满足条件的点组成的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的特点，理解题意，掌握点到坐标轴距离的计算是关键． 根据题意，当时，，当时，，则或，由此即可求解． 【详解】解：已知若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为， ∴点的“绝对距离”为时，或， 当时，，当时，， ∴或， ∴所有满足条件的点组成的图形为边长为4的正方形， 故选：D ． 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的符号特征，根据新定义求出，再根据点的符号特征，判断点所在的安象限即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第三象限， ∴， ∴， ∵ ∴在第四象限； 故答案为：四． 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两点、，所连线段的中点是，则的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于 ． 【答案】2或6/6或2 【分析】本题主要考查了坐标轴上点坐标的特征，根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点在轴的负半轴上时和当点在轴的负正轴上时，利用中点坐标列方程即可求解，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键． 【详解】解：依题意得：点的横坐标为：，纵坐标为：， 由点恰好位于轴上，且到轴的距离是2， 则当点在轴的负半轴上时： ， 解得：， ， 当点在轴的负正轴上时： ， 解得：， ， 综上所述，的值等于2或6， 故答案为：2或6． 【变式训练1 写出直角坐标系中点的坐标】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的运用，理解重心的计算方法是关键． 根据题意分别算出，结合重心坐标的计算方法代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系， ∴， ∵四边形，四边形是长方形，点是对角线的交点， ∴，即， ，即， ∴“”形的重心坐标的计算如下， ，， ∴， 故选：B ． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则“善”字的笔画“”下端所在的位置点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握根据点的位置得到点的坐标是解题的关键． 根据点Q的坐标找到坐标原点，再根据点C的位置得到点的坐标． 【详解】解：根据题意，可知点N为坐标轴原点 点C的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大4，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据横坐标比纵坐标大4即可列方程解题； （2）根据条件推出横坐标为，进而解题． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：由题意得：， 解得， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题： (1)请在图中建立适当的直角坐标系，则图书馆B的坐标为________； (2)在坐标系中标出体育馆的位置； (3)在（2）的条件下，食堂为轴下方一点，且，则食堂的坐标为________． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了画平面直角坐标系，求坐标系中点的坐标． （1）根据学校位置坐标画出平面直角坐标系，进而写出图书馆B的坐标即可； （2）根据体育馆的坐标标出位置即可； （3）根据在平面直角坐标系中标出食堂，进而写出食堂的坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： 可知图书馆B的坐标为． 故答案为：； （2）如图： （3）在平面直角坐标系中标出食堂如图所示： 可知食堂的坐标为． 故答案为：． 【变式训练2 求点到坐标轴的距离】 1．（24-25八年级上·安徽六安·月考）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标．根据到x轴的距离为4，求出y的值，即可表示出该点的坐标． 【详解】解：∵到x轴的距离为4， ∴或， 当时，， 解得， ∴该点的坐标为； 当时，， 解得， ∴该点的坐标为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·重庆合川·期末）在平面直角坐标系中，点，点．若点A到x轴、y轴距离之和等于k，点B的横、纵坐标之和等于，且a、b、c、d均为正整数，称四位数为“k级坐标数”，则最小的“5级坐标数”是 ；若一个“6级坐标数”能被7整除，则满足条件的最大四位正整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标特征与数的组合，解题关键是根据“级坐标数”定义，结合正整数条件，通过分析、、、的和的关系，确定数字组合求解． 依据点、的条件，分别得出、，列出所有可能的坐标组合．按照使四位数最小的原则，让高位数字尽可能小，确定，，，，得到最小数．由“6级坐标数”定义，得、，列出对应坐标组合．为求最大四位数，让高位数字尽可能大，先取，，，，发现不能被整除．调整、为、，得到，验证能被整除，确定该数． 【详解】∵点到轴、轴距离之和等于，点到轴距离为，到轴距离为，、为正整数， ∴． ∴可能的组合有、、、． ∵点的横、纵坐标之和等于，、为正整数， ∴． ∴可能的组合有、、、、． 要得到最小的四位数，应让尽可能小， 当，（取中最小的情况）； 尽可能小， 当，（取中最小的情况）， ∴最小的“级坐标数”是． ∵是“级坐标数”，点满足（、为正整数）， ∴可能的组合有、、、、． 点满足（、为正整数）， 则可能的组合有、、、、、． 要得到最大的四位数，应让尽可能大， 先取，； 尽可能大， 先取，，此时四位数是，，不能被整除． 再调整、，取，，四位数是，，能被整除． 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的特征，掌握平面直角坐标系中点的特征和分类讨论是解题的关键． （1）根据点到两坐标轴的距离相等，列出关于的方程，求出的值即可解答； （2）根据轴，所以点的横坐标和点的横坐标相同，列出方程求出的值，即可解答； （3）根据点在坐标轴上，分两种情况讨论，列出关于的方程，求出的值即可解答； （4）根据轴，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，得，根据得到，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得或， 当时，，； 当时，，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （2）解：∵点，点，且轴， ∴， 解得， 则， ∴M的坐标为； 故答案为：； （3）解：∵点在坐标轴上， ∴或， 解得或； 当时，； 当时，； ∴M的坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵点，点，且轴，， ∴，， 解得或， ∴M的坐标为或； 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·广东广州·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． 已知点，B为y轴上的一个动点． (1)若点，则点A与点B的“非常距离”为　　　； (2)若点A与点B的“非常距离”为2，求出点B的坐标； (3)点A与点B的“非常距离”的最小值为　　　． 【答案】(1)3 (2)点B的坐标是或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义“非常距离”、坐标与图形性质、绝对值以及最小值，正确理解“非常距离”的定义是解题的关键． （1）根据若，则点P1与点P2的“非常距离”为，求解即可； （2）设点B的坐标为，根据“非常距离”的定义可以确定，据此求得y的值即可； （3）设点B的坐标为，根据，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴点A与点B的“非常距离”为3， 故答案为：3； （2）解：设点B的坐标为， ∵， ∴，解得：或， ∴点B的坐标是或； （3）解：设点B的坐标为， 当，点A与点B的“非常距离”最小值为， 故答案为：． 【变式训练3 判断点所在的象限】 1．（2025七年级下·吉林长春·学业考试）点在第一象限，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据第一象限上点的横、纵坐标均为正，可得和的取值范围，然后得到点的横、纵坐标的正负情况，可得答案． 【详解】解：点在第一象限， ，， 解得：，， ，， 点在第三象限， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查象限点的坐标特征、“关联点”的定义等知识点，根据关联点的定义确定点的“关联点”是解题的关键． 先根据关联点的定义确定点的“关联点”，然后再确定其所在的象限即可． 【详解】解：由“关联点”的定义可知：点的“关联点”的坐标为， ∴点的“关联点”在第二象限． 故答案为：二． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 【答案】(1) (2)点在第二象限 【分析】本题主要考查了坐标轴上点的特点，根据点的坐标判断点所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． ()根据在轴上的坐标，横坐标为，计算出，即可得到P的坐标； ()根据P的纵坐标比横坐标大，列出等式，求出，然后根据四个象限点的符号特点进行判断即可． 【详解】（1）解：点在轴上，且点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）根据题意得， 解得， ∴点的坐标为， ∴点在第二象限． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知点． (1)若，则P点在第 象限； (2)若点P在x轴上，求P点的坐标； (3)若点P到x轴的距离是2，求P点的坐标； (4)若轴，且，，求P点坐标． 【答案】(1)一 (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特点；熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解题的关键． （1）根据，求出，，即可得出答案； （2）根据x轴上点的纵坐标为0求出a的值，即可得出答案； （3）点P到x轴的距离是2，得出，求出a的值，即可得出答案； （4）根据得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴P点在第一象限； （2）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：∵点P到x轴的距离是2， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （4）解：∵轴，且， ∴， 解得：， ∴， ∴P点坐标为． 【变式训练4 已知点所在的象限求参数】 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征．观察平面直角坐标系，根据点P的位置确定m的取值范围，然后对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察平面直角坐标系可知：点P在第三象限， ， ， ，C，D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 【答案】 3 或 【分析】（1）根据P点在x轴上，得解答即可； （2）根据点P到y轴的距离为3，得到，解答即可． 本题考查了点在x轴上，点到坐标轴的距离，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：（1）根据P点在x轴上，得， 解得， 故答案为：3； （2）解：根据点P到y轴的距离为3，得到， 得或， 解得或， 故或， 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知点，点B的坐标为 (1)若直线轴，求a的值 (2)若直线与x轴没有交点，求a的值 (3)若点A在坐标轴上，求a的值 【答案】(1)3 (2) (3)2或 【分析】（1）根据“垂直于x轴的直线上的点的横坐标相同” 求解即可； （2）根据“平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同”求解即可； （3）分两种情况：①点A在x轴上，则纵坐标为0；②点A在y轴上，则横坐标为0．分别求解即可． 【详解】（1）解：∵直线轴， ∴， 解得． （2）解：∵直线与x轴没有交点， ∴． ∴． 解得． （3）解：①若点A在x轴上， 则， 解得； ②若点A在y轴上， 则， 解得． 综上，若点A在坐标轴上，则a的值为2或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．垂直于x轴的直线上的点的横坐标相同，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同．x轴上的点的纵坐标为0， y轴上的点的横坐标为0．熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)3 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里的定义． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出 的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （3）解：点的“长距”为7，且点在第二象限内，， ∴，且， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是3， 是“完美点”． 【变式训练5 坐标系中描点】 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 【答案】图形见解析，所得到的图形像一只蝴蝶，其面积为22 【分析】本题考查了坐标系中描点问题，割补法求面积． 找出各坐标表示的点的位置，依次连接成封闭的图形，可知所得到的图形像一只蝴蝶，根据割补法求面积即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 所得到的图形像一只蝴蝶， 面积为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们把，两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫作，两点间的“折线距离”，记作．例如： 已知，则． (1)已知，则的值为________． (2)已知，且，求的值． (3)已知，动点．若，两点间的“折线距离”与，两点间的“折线距离”的差的绝对值是，求的值，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出所有符合条件的点组成的图形． 【答案】(1) (2) (3) 的值为或，图见解析 【分析】（1）根据题干给出的可以求得值； （2）逆用题干公式即可求得的值； （3）根据公式和，两点间的“折线距离”与，两点间的“折线距离”的差的绝对值是，可得的关系式，分类讨论，即可求解，并在平面直角坐标系画出即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：. （2）解：， ， 解得； 故答案为：． （3）解：由题意可知，， ． 当时， ，不合题意，舍去； 当时， ， 即， 解得或； 当时， ， 不合题意，舍去． 综上所述，的值为或． 所有符合条件的点组成的图形如图所示 故答案为：的值为或. 【点睛】本题考查了两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． 【变式训练6 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标】 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）已知直线平行于轴，若点M的坐标为，且点N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 到轴的距离等于4， ， 点的坐标为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值． 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与轴平行的点的坐标特征，熟练掌握与轴平行的点的坐标特征是解题的关键．根据与轴平行的点的坐标特征得到，即可得到答案． 【详解】解：与轴平行的点横坐标相等， ， ， 故， 则线段的长为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由点在轴上，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （2）由过点，的直线，与轴平行，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （3）由点到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （2）解：过点，的直线与轴平行， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （3）解：点到两坐标轴的距离相等， ． 当时，解得， ； 当时，解得， ， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、…，顶点依次用、、、、…表示． (1)请直接写出、、、的坐标； (2)根据规律，求出的坐标； 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由题意可求中心在坐标原点，边长为4的正方形的四个顶点的坐标； （2）由知在第二象限，根据题中图形规律进而可得的坐标． 【详解】（1）解：∵，分别在第三、第二、第一、第四象限 ∴由题意可得的坐标分别为，，， ∴，，，． （2）解：∵ ∴与，在同一象限，即都在第二象限 ∵，， ∴根据题中图形规律可得． 【点睛】本题考查了正方形下点坐标规律的探究．解题的关键在于掌握各象限点坐标的特征． 【变式训练7 坐标与图形综合】 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标以及平行线的性质． 根据已知条件求出和的长度，再结合平行线的性质确定点的坐标． 【详解】解：∵ , , ∴， ∵，， 又∵，， ∴，， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴． 故选：． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 3．（24-25八年级·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点，的坐标分别为______、______． (2)点的坐标为，若点在轴上，请求出点的坐标，并在坐标系中描出点． (3)在（2）的条件下，为网格中的一点，且，，则点的坐标为______（写出一个即可）． 【答案】(1)，； (2)，图见解析； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系，解决本题的关键是根据平面直角坐标系内点坐标的特点解决问题． 借助网格写出点、的坐标即可； 根据轴上的点的横坐标为可知，可知点的纵坐标为，根据点的坐标在平面直角坐标系中描出点即可； 根据，，在平面直角坐标系中画出图形，根据图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：借助网格可知，点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：点的坐标为，点在轴上， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，    （3）解：如下图所示，，， 点的坐标是，    故答案为：． 【变式训练8 点的位置与坐标新定义问题】 1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，      ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 2．（2025·山东济南·一模）对于平面坐标系中任意两点、定义一种新运算“*”为：，根据这个规则，若在第三象限，在第四象限，则在第 象限． 【答案】四． 【分析】直接利用已知运算公式结合各象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵在第三象限，在第四象限， ∴， ∴， ∴在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题主要考查了运算符号的判断及点所在的象限，正确利用已知运算法则是解题关键． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键. ()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解； ()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）解：． （2）设，由题意可知，． 点在第二象限， ，， ， 即， 点在直线上． 令直线与轴，轴分别交于点，则有，， ，． ． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查点到坐标轴的距离，根据平面直角坐标系内点的坐标含义即可判断，解题的关键是熟知坐标点的含义，平面直角坐标系内一个点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，到轴的距离是其横坐标的绝对值． 【详解】解：∵平面直角坐标系内一个点到轴的距离是其横坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， 故选：． 2．（24-25七年级下·海南三亚·月考）点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确利用坐标性质得出的值是解题关键． 直接利用第二象限点的坐标性质结合轴的距离为5，得出，解题即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 又∵到轴的距离为5， ∴，即， 解得：， 故选C． 3．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，在坐标系中用手盖住点P，则点P的坐标可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】解：由图可知，被墨水污染部分位于坐标系中第四象限， ∴被墨水污染部分遮住的点的坐标位于第四象限，则可能为：， 故选：C． 【点睛】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征是解题的关键． 4．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了“遵”字，为“遵”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题关键是先确定坐标系． 先确定坐标系，再观察网格，即可得解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点，， 点和点在轴上，且， 网格中每格代表， 观察点的位置，其横坐标与点的相同横坐标为：， 点的纵坐标通过网格数得为：， 点的坐标为． 故选：C． 5．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及轴，得到轴，结合点的坐标，即可求解． 本题主要考查坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握坐标与图形． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴轴， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：，即：， 故选：A． 6．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若点与关于y轴对称，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出、的值，从而得到点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点与关于y轴对称， ∴点在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据点的坐标求面积． 通过观察坐标，点A和点B的纵坐标相同，因此线段是水平线段，可作为三角形的底边；点C到的垂直距离即为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由点的纵坐标均为4， 得底边的长度为． 点到直线即的垂直距离为， 因此三角形面积为． 故答案为：6． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点C的坐标是1,1，那么点A、B、D的坐标分别为：A（ , _____)，B（ , _____)，D（ , _____).其中，横坐标相等的点有______和_____，_____和_____.A、B、C、D四个点组成的图形是_________. 【答案】2,1,2,1,1,1,A,B,C,D,长方形 【分析】根据平面直角坐标系中，点的坐标定义进行分析即可，结合各象限点的坐标符号特点可得. 【详解】解：根据题意可知： 点C的坐标是1,1，那么点A、B、D的坐标分别为：A（ -2，1)，B（-2，-1)，D（1，1).其中，横坐标相等的点有A和B，C和D.A、B、C、D四个点组成的图形是长方形. 故答案为(1). 2    (2). 1    (3). 2    (4). 1    (5). 1    (6). 1    (7). A    (8). B    (9). C    (10). D    (11). 长方形 【点睛】理解平面直角坐标系中，点的坐标的意义. 9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A、B两点的坐标分别为，．点P是x轴上一点，且三角形的面积为6，则点P的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式．根据三角形面积公式得到，求出的值，再写出P点坐标． 【详解】解：由题意，得，解得， ①当点在点的左侧时，， ②当点在点的右侧时，， 故答案为：或． 10．（25-26七年级下·山西临汾·期中）临汾市某中学举办秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用坐标确定位置，利用已知点的坐标为，点的坐标为，先确定平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系即得答案，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系如下， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且的坐标可以表示成，求的长． 【答案】(1)点的坐标为 (2)3 【分析】本题考查了点的坐标特征． （1）根据题意得出，求出，即可得出答案； （2）根据题意得出，求出，据此计算即可得出答案 【详解】（1）解：点在轴上， ． 解得． ． 点的坐标； （2）直线平行于轴， ． 解得． ． 点的坐标为，． ． 12．（24-25七年级下·江西·期末）已知点当，满足时，称为“开心点”． (1)若点的坐标为，则点__________“开心点”（填“是”或“不是”）． (2)若点是开心点，且点的横坐标为，则点的坐标是__________． (3)若点是“开心点”，请判断点在第几象限？并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)点在第一象限，理由见解析 【分析】（1）计算点A的坐标是否满足，即可判断； （2）令求出b的值，即可得到点P的坐标； （3）根据“开心点”的定义代入，求得m的值，得到点M的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为， ∴，，即， ∴点是“开心点”， 故答案为：是； （2）当，， 解得， 点P的坐标为， 故答案为：； （3）将点M坐标代入中，可得， 解得：， ∴， ∴， ∴点在第一象限． 【点睛】本题主要考查了点的坐标、坐标与图形，正确掌握“开心点”的定义并正确求解是解题关键． 13．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： (1)以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； (2)在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 【答案】(1)建系见解析，长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、 (2)，，三点坐标分别为：，， 【分析】题目主要考查建立直角坐标系，求点的坐标，理解题意是解题关键． （1）根据题意建立直角坐标系即可得出结果； （2）根据题意结合图形即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系： ∵长方形草坪（长12米、宽8米）， ∴， ∴长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、； （2）∵喷头在草坪中心， ∴过点A作轴，轴， ∴， ∴， ∵石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米； ∴即， ∵花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米， ∴ ． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)如果存在点，使得三角形和三角形的面积相等，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在平面直角坐标系中描点，，，然后连接即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积； （）利用三角形面积公式得，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：画出三角形如图所示； （2）解：； （3）解：依题意得， ∵， ∴， ∴或． 15．（24-25八年级上·北京海淀·开学考试）对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，是线段的投影点的是 ； (2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； (3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)M，N (2)见解析 (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，理解新定义，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）画图后根据定义可以判定； （2）根据点，，如图2所示，区域内的每个点均为三边的投影； （3）分两种情况：①n在m的下方，②n在m的上方，先根据平移3个单位确定与x轴的交点坐标，作m的平行线n，n与x轴的交点为E，确定Q，过Q作x轴的垂线，可得结论． 【详解】（1）解：如图1所示：，垂足为D，过M作的垂线，垂足为M，都在线段上， 所以线段的投影点的是：M，N； 故答案为：M，N； （2）解：如图2所示，图中阴影部分即为所求； （3）解：存在点Q， 分两种情况： ①当n在m的下方时，如图3， ∵，， ∴过点作直线的平行线，平行线交x轴于E，则，交y轴于点， 过B作直线，交平行线n于Q，点Q即为所求， 过Q作轴于P，则P为E、B中点，， ∴， ∴， ∴； ②当直线n在直线m的上方时，如图4， 同理得； 综上，点Q的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 用坐标描述平面内点的位置（2个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 题型二 求点到坐标轴的距离 题型三 判断点所在的象限 题型四 已知点所在的象限求参数 题型五 坐标系中描点 题型六 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标 题型七 坐标与图形综合 题型八 点的位置与坐标新定义问题 知识点一：坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）下列各点中，位于第二象限的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）冰壶是在冰上进行的一种投掷性模拟预测项目，被喻为冰上的“国际象棋”．如图，这是红、黄两队某局比赛投壶结束后冰壶的分布图，以冰壶大本营内的中心点为原点建立平面直角坐标系，按照规则，更靠近原点的壶为本局胜方，则胜方最靠近原点的壶位于第 象限． 知识点二：点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标是 ． 【核心考点一 写出直角坐标系中点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·浙江·月考）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置．若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知第一象限内的点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则P点的坐标是 ． 【例4】（24-25七年级下·天津·月考）在一个小正方形边长为1的的网格图中建立适当的平面直角坐标系，则该三角形的三个顶点坐标分别为 、 、 ． 【核心考点二 求点到坐标轴的距离】 【例1】（2025·河南南阳·一模）点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知点到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏·月考）已知点A的坐标为，则它到x轴的距离为 ；到坐标原点的距离为 ． 【核心考点三 判断点所在的象限】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ）    A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，若点，且，，则点M位于第 象限． 【例4】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【核心考点四 已知点所在的象限求参数】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东济南·月考）已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（    ） A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则 B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则 C．若直线 平行于 x 轴，则且 D．若直线平行于 y 轴，且，则 【例3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）点在轴上，则的值是 ． 【例4】（25-26八年级上·辽宁锦州·期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为 ． 【核心考点五 坐标系中描点】 【例1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中有点A（－1，3）和点B，且AB＝2，则点B不可能在（    ）． A．第一象限 B．x轴上 C．第二象限 D．y轴上 【例2】（24-25七年级下·河南南阳·期中）如图，象棋盘上，若“马”位于点(6，1)，则“将”位于（    ） A．(3，－2) B．(2，－2) C．(0，－1) D．(－3，0) 【例3】（24-25七年级下·上海·期末）经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 ． 【例4】（24-25七年级下·全国·课前预习）在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成 ． 水平的数轴称为x轴或 ，取向 方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或 ，取向 方向为正方向．两坐标轴的交点为平面直角坐标系的 ，一般用 来表示． 【核心考点六 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标】 【例1】（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【例2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，长方形的边均与某坐标轴平行．已知是该长方形的两个顶点坐标，则下列各点中可以是该长方形顶点的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）过点和作直线，则直线与 （填“”或“”）轴平行． 【例4】（24-25八年级上·北京西城·开学考试）如图，直线，在平面直角坐标系中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点，点，则图中C点在第 象限，D点在第 象限． 【核心考点七 坐标与图形综合】 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知线段，轴，若点M坐标为，则N点坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形中，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，已知点．若点，且轴，则 ． 【例4】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）如图，B所表示的点为，C表示的点为，并且长方形的面积为6，则点D可以表示为 ． 【核心考点八 点的位置与坐标新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：一个点到两坐标轴的距离相等，称该点为“完美点”．若为“完美点”，a的值为（   ） A．0 B．2 C．或2 D．0或2 【例2】（24-25七年级下·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点的“绝对距离”为：若，则点的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为时，所有满足条件的点组成的图形为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两点、，所连线段的中点是，则的坐标为，例如：点、点，则线段的中点的坐标为，即．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，，线段的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，则的值等于 ． 【变式训练1 写出直角坐标系中点的坐标】 1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）《综合与实践活动》探究中发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“”形的重心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点的坐标为，则“善”字的笔画“”下端所在的位置点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大4，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为，解答以下问题： (1)请在图中建立适当的直角坐标系，则图书馆B的坐标为________； (2)在坐标系中标出体育馆的位置； (3)在（2）的条件下，食堂为轴下方一点，且，则食堂的坐标为________． 【变式训练2 求点到坐标轴的距离】 1．（24-25八年级上·安徽六安·月考）若点的坐标满足等式，则称该点为“和谐点”．若某个“和谐点”到轴的距离为4，则该点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级下·重庆合川·期末）在平面直角坐标系中，点，点．若点A到x轴、y轴距离之和等于k，点B的横、纵坐标之和等于，且a、b、c、d均为正整数，称四位数为“k级坐标数”，则最小的“5级坐标数”是 ；若一个“6级坐标数”能被7整除，则满足条件的最大四位正整数是 ． 3．（25-26八年级上·广东深圳·周测）在平面直角坐标系中： (1)若点到两坐标轴的距离相等，求M的坐标为________； (2)若点，点，且轴，求M的坐标为________； (3)若点在坐标轴上，求M的坐标为________； (4)若点，点，且轴，，求M的坐标为________． 4．（25-26八年级上·广东广州·期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）． 已知点，B为y轴上的一个动点． (1)若点，则点A与点B的“非常距离”为　　　； (2)若点A与点B的“非常距离”为2，求出点B的坐标； (3)点A与点B的“非常距离”的最小值为　　　． 【变式训练3 判断点所在的象限】 1．（2025七年级下·吉林长春·学业考试）点在第一象限，则点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 3．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知，点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，求点P在第几象限？ 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知点． (1)若，则P点在第 象限； (2)若点P在x轴上，求P点的坐标； (3)若点P到x轴的距离是2，求P点的坐标； (4)若轴，且，，求P点坐标． 【变式训练4 已知点所在的象限求参数】 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是被枫叶盖住的一点，则m的值可能为（   ） A． B．4 C．0 D． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）已知点，点B的坐标为 (1)若直线轴，求a的值 (2)若直线与x轴没有交点，求a的值 (3)若点A在坐标轴上，求a的值 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”是______； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的长距为7，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【变式训练5 坐标系中描点】 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，我们把，两点横坐标差的绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫作，两点间的“折线距离”，记作．例如： 已知，则． (1)已知，则的值为________． (2)已知，且，求的值． (3)已知，动点．若，两点间的“折线距离”与，两点间的“折线距离”的差的绝对值是，求的值，并在如下图所示的平面直角坐标系中画出所有符合条件的点组成的图形． 【变式训练6 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标】 1．（24-25七年级下·贵州黔东南·期末）已知直线平行于轴，若点M的坐标为，且点N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级下·北京·期末）已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、…，顶点依次用、、、、…表示． (1)请直接写出、、、的坐标； (2)根据规律，求出的坐标； 【变式训练7 坐标与图形综合】 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，线段的端点，的坐标分别为，，，，且，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 3．（24-25八年级·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点，的坐标分别为______、______． (2)点的坐标为，若点在轴上，请求出点的坐标，并在坐标系中描出点． (3)在（2）的条件下，为网格中的一点，且，，则点的坐标为______（写出一个即可）． 【变式训练8 点的位置与坐标新定义问题】 1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·一模）对于平面坐标系中任意两点、定义一种新运算“*”为：，根据这个规则，若在第三象限，在第四象限，则在第 象限． 3．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 1．（2025·河南洛阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·海南三亚·月考）点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D． 3．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，在坐标系中用手盖住点P，则点P的坐标可能是（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了“遵”字，为“遵”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为4，点的坐标为，点在第二象限，点在第三象限．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东茂名·期中）若点与关于y轴对称，则点在第 象限． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点C的坐标是1,1，那么点A、B、D的坐标分别为：A（ , _____)，B（ , _____)，D（ , _____).其中，横坐标相等的点有______和_____，_____和_____.A、B、C、D四个点组成的图形是_________.                      9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A、B两点的坐标分别为，．点P是x轴上一点，且三角形的面积为6，则点P的坐标为 ． 10．（25-26七年级下·山西临汾·期中）临汾市某中学举办秋季田径运动会，为了保障开幕式表演的整体效果，该校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示点的坐标为，表示点的坐标为，则表示点的坐标为 ． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且的坐标可以表示成，求的长． 12．（24-25七年级下·江西·期末）已知点当，满足时，称为“开心点”． (1)若点的坐标为，则点__________“开心点”（填“是”或“不是”）． (2)若点是开心点，且点的横坐标为，则点的坐标是__________． (3)若点是“开心点”，请判断点在第几象限？并说明理由． 13．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： (1)以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； (2)在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)如果存在点，使得三角形和三角形的面积相等，求的值． 15．（24-25八年级上·北京海淀·开学考试）对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，是线段的投影点的是 ； (2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； (3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $