第09讲 平方根、立方根、实数70道计算题专项训练-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级数学下册寒假衔接讲义

第09讲 平方根、立方根、实数70道计算题专项训练 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·青海海西·期中）化简求值： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）计算： (1)； (2). 5．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）数、在数轴上的位置如图所示，化简并求值：其中， 6．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解：     第一步         第二步 ．        第三步 （2）计算： 7．（25-26七年级上·浙江衢州·期中） 素材一：探究有多大呢？ 因为，，，所以； 因为，，，所以； 因为，，，所以； 因为，，．所以； …… 素材二：如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为和．    根据以上素材，解决下列问题： (1)求素材二中小正方形的边长，并估计此边长在哪两个连续的整数之间？ (2)求阴影部分的面积（精确到个位） 8．（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分______； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值． (3)已知，其中x是正整数，，求解的值． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 有多大呢？，，，，，；，，；又，， (1)的近似值为__________结果保留两位小数 (2)用上述方法估算的计算值结果保留两位小数 (3)若的整数部分为，小数部分为，，均为有理数且满足，求的值 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，求的平方根． 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（25-26八年级上·全国·课前预习）请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 37 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知正实数的平方根为和． （1）当时，的值为 ； （2）若，则的值为 ． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，求的值． 18．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）A、、、四人做传数游戏，A任报一个数给把这个数减1传给再把所得的数平方后传给把所听到的数加2报出答案． (1)若A报的数为21，则的答案是______； (2)设A报给的数为，若报出的答案是27，求传给的数是多少？ 19．（24-25七年级下·广西河池·月考）计算下列各式并归纳结论： (1) ； ； (2) ； ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 20．（24-25七年级下·广西防城港·月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如： ，， 这三个数，，，其结果 6，3，2 都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”，请问：，， 这三个数是“完美组合数”吗? 请说明理由 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）解方程： (1)； (2)． 22．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）计算、求值： (1)计算：； (2)求的值：． 23．（24-25七年级下·吉林·月考）已知，，求的值． 24．（25-26七年级上·全国·期末）（1）计算： （2） 已知，求x的值． （3）已知：求x的值． 25．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知一个正数的平方根分别为和． (1)求正数的值． (2)若求的立方根． 26．（24-25八年级上·四川·月考）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 27．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 28．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 29．（24-25七年级下·安徽六安·月考）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 30．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 31．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 32．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）任意找一个正数，利用计算器将该数除以，将所得结果再除以……随着运算次数的增加，你发现了什么？ （2）再用一个负数试一试，看看是否仍有类似规律． 33．（2025七年级上·浙江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 34．（24-25八年级·全国·假期作业）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 35．（24-25七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 36．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式 　 　． (2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　． (3)利用（2）中结论计算：． 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 38．（24-25七年级上·江西九江·期中）观察： 等式①： 等式②： 等式③： 等式④： …… (1)仿此：写出等式⑤：___________________________________ 等式⑩：_________________________________________________ (2)按此规律计算 ①___________ ②求的值 39．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 40．（24-25七年级下·安徽黄山·月考）小明同学在探究如何计算连续正整数之和后，得到公式S（n）＝1＋2＋3＋…＋n＝，于是他猜想连续正整数的平方和S（n2）是否也有类似的公式，为此，他将相关数值列成如下表格，请观察表格规律，并完成问题： n 1 2 3 4 5 6 … S（n） 1 3 6 10 15 a … S（n2） 1 5 14 b 55 91 … 1 c d … （1）根据规律，表格中a＝ ；c＝ ； （2）用含n的代数式表示 ； （3）推导出计算公式S（n2）． 【经典计算题五 实数的新定义运算】 41．（25-26七年级上·湖南永州·月考），试计算 (1)， (2) 42．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）定义一种运算符号“★”，，如：．计算： (1)； (2)． 43．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 45．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 46．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）对任意有理数，定义一种运算“”：． (1)计算的结果为______； (2)计算的值； (3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 47．（24-25七年级上·河南周口·月考）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 48．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 49．（24-25七年级下·重庆南川·期末）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数．例如，；． (1)计算：； (2)求出满足的所有四位数． 50．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【经典计算题六 无理数的估算】 51．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）（1）若多项式中不含项，求的值． （2）若的小数部分是，若的小数部分是，求的平方根． 52．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 53．（24-25八年级上·吉林长春·月考）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为______，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是小数部分，求的值． 54．（24-25七年级下·广西河池·期中）阅读理解． ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求，的值； (2)求的值． 55．（24-25七年级下·浙江台州·期中）已知为整数，为计算它的值，请你思考并回答下列问题. (1)整数1至9中，立方后，个位数字为7的是 ； (2),,由此可知：是 位数； (3)计算，，，再求的值. 56．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 57．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数． 例如：，；，． (1)计算：______，_______． (2)若，满足题意的所有整数的和为______． (3)若，，求的平方根． 58．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）阅读下列材料并解答问题∶ 对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数．如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4． (1)计算25的根整数，得_____________________． (2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2．若对2020进行连续求根整数，则第________________次可得结果为2． 59．（24-25八年级上·山西·月考）综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确． 方法尝试 “善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 解决问题 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． (3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数． 60．（24-25七年级上·浙江·周测）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数．由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)现已知， 使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； (2)的整数部分为，小数部分为，求的值． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级·全国·课后作业）计算下列各式并观察： ①________，②________，③________，④________，通过上述各式，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来：__________________. 62．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 63．（24-25七年级下·湖北荆州·月考）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 64．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 65．（24-25八年级上·全国·课后作业）借助计算器计算下列各题． （1）________； （2）________． （3）________； （4）________； （5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求的值． 66．（24-25七年级下·江苏南京·月考）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． a 67．（24-25七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 68．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式：，； ______________，_______________； 通过以上计算：猜想得出（，）=_________________． (2)运用（1）中的结论进行化简： 例如：；． 请化简① ② 69．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ______； ______； ______． (2)用公式表示这一规律，当（n为整数）时，______． (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知 ，则①_____；②______． 70．（24-25七年级下·青海玉树·期中）阅读下列材料，回答相关问题： 求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如，等，有些数开不尽方，如，等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： 探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来） 理解应用：用你发现的规律，探究下列问题： 已知，求下列各数的算术平方根： （1）； （2）． 拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知，则________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平方根、立方根、实数70道计算题专项训练 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先乘法，再加法进行计算即可； （2）先去绝对值，进行开方和乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先算乘方，求算术平方根，立方根，然后再计算加减法． （2）先算乘方，求算术平方根，立方根，然后再计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： 3．（24-25七年级下·青海海西·期中）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方和开方，再算加减即可； （2）利用加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1） （2） 4．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式和立方根，再进行加减计算； （2）先计算绝对值和二次根式乘法，在进行加减计算． 本题考查实数的运算．正确运用绝对值的性质，二次根式的性质，立方根的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 5．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）数、在数轴上的位置如图所示，化简并求值：其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了实数混合运算，化简绝对值，先根据、在数轴上的位置得出，然后再化简绝对值，根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值意义，求出b的值，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ， ． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解：     第一步         第二步 ．        第三步 （2）计算： 【答案】（1）第一步计算乘法分配律时符号出错，见详解；（2） 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，绝对值，乘方，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算乘法分配律时符号出错，根据乘法分配律进行计算即可； （2）按照实数的混合运算法则进行，绝对值，乘方，最后进行加减即可． 【详解】解：（1）第一步计算分配律时符号出错 ． （2） ． 7．（25-26七年级上·浙江衢州·期中） 素材一：探究有多大呢？ 因为，，，所以； 因为，，，所以； 因为，，，所以； 因为，，．所以； …… 素材二：如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为和．    根据以上素材，解决下列问题： (1)求素材二中小正方形的边长，并估计此边长在哪两个连续的整数之间？ (2)求阴影部分的面积（精确到个位） 【答案】(1)；和之间 (2) 【分析】本题考查了算术平方根的估算、正方形的面积、矩形的面积，关键是熟练掌握计算方法； （1）运用正方形面积公式和算术平方根进行求解和估算； （2）应用正方形和矩形面积公式及前一问结论进行计算． 【详解】（1）解：∵， ∴边长为， ∵， ∴在整数和之间． （2）解：∵， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为： ． 答：阴影部分的面积为． 8．（25-26八年级上·江西鹰潭·期中）我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答： (1)的整数部分______； (2)a为的整数部分，b为的小数部分，求解的值． (3)已知，其中x是正整数，，求解的值． 【答案】(1)2 (2) (3)6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算法则求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算法则求出的取值范围，则可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案； （3）求出的取值范围，则可求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴； （3）解：由（1）得， ∴， ∵，其中x是正整数，， ∴， ∴， ∴ ． 9．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【阅读理解】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 有多大呢？，，，，，；，，；又，， (1)的近似值为__________结果保留两位小数 (2)用上述方法估算的计算值结果保留两位小数 (3)若的整数部分为，小数部分为，，均为有理数且满足，求的值 【答案】(1)1.41 (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法，是解题的关键． （1）直接根据题干给出的范围，进行作答即可； （2）利用题干的方法进行判断即可； （3）先根据题干给定的方法，确定的值，再结合，求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的近似值为1.41； 故答案为：1.41； （2）∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴． （3）∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）________________________________；（用“>”“<”或“=”填空） （2）由（1）可知： ①________； ②________； ③________；（结果保留根号） （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1）<；<；<；<；（2）①；②；③；（3） 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算． （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：<；<；<；<； （2）∵， ∴，，， ∴①； ②； ③， 故答案为：①；②；③； （3） ． 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 12．（24-25八年级上·江西宜春·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值的非负性、算术平方根的非负性及平方根的定义，解题关键是正确得出m，n的值．直接利用绝对值的非负性及算术平方根的非负性得出m，n的值，进而利用平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的平方根为：． 13．（2025七年级上·浙江·专题练习）已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 15．（25-26八年级上·全国·课前预习）请填写下列表格： 平方根 算术平方根 64 37 【答案】见解析 【分析】本题考查了求一个数的平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据，，，，，求解即可得． 【详解】解：∵， ∴64的平方根是，算术平方根是8； ∵， ∴的平方根是，算术平方根是； ∵， ∴的平方根是，算术平方根是； ∵， ∴37的平方根是，算术平方根是； ∵，， ∴的平方根是，算术平方根是． 则填写表格如下： 平方根 算术平方根 64 8 37 16．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知正实数的平方根为和． （1）当时，的值为 ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 9 2 【分析】本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解； （2）根据平方根的定义得到，，最后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵正实数的平方根是a和， ， ， ， ； ∴． 故答案为：9； （2）∵正实数的平方根是a和a＋b， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：2 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和求代数式的值．根据算术平方根的定义，得到关于，的方程，求出，的值进而算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴． 18．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）A、、、四人做传数游戏，A任报一个数给把这个数减1传给再把所得的数平方后传给把所听到的数加2报出答案． (1)若A报的数为21，则的答案是______； (2)设A报给的数为，若报出的答案是27，求传给的数是多少？ 【答案】(1)402 (2)6或 【分析】本题考查了有理数混合运算，利用平方根解方程，根据题意列出相应的方程是解本题的关键． （1）根据题目中提供的信息，列式计算即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：A报的数为21，则的答案是： ． （2）解：根据题意得：， 解得：，． 19．（24-25七年级下·广西河池·月考）计算下列各式并归纳结论： (1) ； ； (2) ； ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 【答案】(1)； (2)12； (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根： （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可； （3）根据（1）（2）的计算结果即可得到结论． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解：； ； （3）解：由（1）（2）的结果可知，， 故答案为： 20．（24-25七年级下·广西防城港·月考）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如： ，， 这三个数，，，其结果 6，3，2 都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”，请问：，， 这三个数是“完美组合数”吗? 请说明理由 【答案】是，理由见解析 【分析】根据定义计算判断，本题考查了新定义，正确理解定义是解题的关键. 【详解】，，这三个数是“完美组合数”，理由如下 ，，， 其结果 12，4，6 都是整数， ∴，，这三个数称为“完美组合数”. 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的性质解方程，熟知求平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2后开立方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以3，再同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 22．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）计算、求值： (1)计算：； (2)求的值：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的运算及利用立方根解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，准确进行开方运算． （1）先分别计算、、的值，再进行加减运算； （2）通过移项将方程化为立方形式，利用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： （2）解： 解得． 23．（24-25七年级下·吉林·月考）已知，，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了开平方，开立方，解题关键是掌握开平方，开立方． 先用开平方，开立方，分别求出，，再代入求值． 【详解】解：∵， ∴，解得：或， ∵， ∴，解得：， 当，时，； 当，时，． 24．（25-26七年级上·全国·期末）（1）计算： （2） 已知，求x的值． （3）已知：求x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别运算立方根，乘方，算术平方根，再化简绝对值，最后运算加法，即可作答． （2）先在方程左右两边同时乘上，再开立方，即可作答． （3）先移项，再开平方，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）∵ ∴ ∴ 则 （3）∵ ∴ 则， ∴或 解得或 25．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知一个正数的平方根分别为和． (1)求正数的值． (2)若求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根、非负数的性质，掌握算术平方根、绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数求出的值，进而即可求解； （2）根据算术平方根、绝对值、一个数的平方的非负性求出，，的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：因为一个正数的两个平方根互为相反数， 所以， 解得 所以 （2）由， 可知，，， 解得，，， 所以， 26．（24-25八年级上·四川·月考）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 27．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，且x和y满足． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题主要考查了平方根的性质和立方根的计算，理解性质及准确计算是解题的关键． （1）由题知，解得，再代入求出y即可； （2）由（1）知，再代入计算立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ∴解得：， 把代入得， ， 解得：； （2）解：当时，． 28．（24-25七年级下·广东汕尾·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 【答案】(1)① -5，5；②-2，2 (2) (3) 【分析】（1）根据立方根的定义解答即可； （2）根据（1）总结规律即可解答； （3）根据（2）所得规律以及（3）的已知条件可得（x-1）+（2x-3）=0，然后求解即可． 【详解】（1）解：①-5，5； ②-2，2． 故答案为① -5，5；②-2，2． （2）解：由（1）的计算可归纳： 故答案为． （3）解：∵与互为相反数 ∴+=0 ∴（x-1）+（2x-3）=0，解得：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根、数字规律以及相反数的意义等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 29．（24-25七年级下·安徽六安·月考）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 30．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （2）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （3）根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了与实数有关的运算，解题的关键是理解题意，正确的对每一项进行裂项，然后求解． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 31．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的加减法计算，根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． 【详解】解： ． 32．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）任意找一个正数，利用计算器将该数除以，将所得结果再除以……随着运算次数的增加，你发现了什么？ （2）再用一个负数试一试，看看是否仍有类似规律． 【答案】（1）结果越来越小，趋于；（2）结果越来越大，但也趋于 【分析】（1）选取一个数12，然后进行求解，观察规律即可； （2）选取一个负数-12，然后一次次进行求解，观察规律即可． 【详解】解：（1）选取正数（不唯一） 第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 第五次： 第六次： 第七次： …… 规律：结果越来越小，趋于 （2）选取负数（不唯一） 第一次： 第二次： 第三次： 第四次： 第五次： 第六次： 第七次： …… 规律：结果越来越大，趋于 【点睛】此题考查了数字类规律的探索，涉及了有理数的除法，解题的关键是正确计算出各项数据，观察规律进行求解． 33．（2025七年级上·浙江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 34．（24-25八年级·全国·假期作业）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据提供的解法可得答案； （2）根据规律推广至一般情况即可； （3）利用上述规律方法解答即可． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）由上述规律可得， ； （3）． 【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键． 35．（24-25七年级下·浙江金华·期中）你会求（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋‥‥a2＋a＋1）的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律： （a－1）（a＋1）＝a2－1 （a－1）（a2＋a＋1）＝a3－1； （a－1）（a3＋a2＋a＋1）＝a4－1； (1)由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝________． (2)利用上面的结论，求22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是__________． (3)求52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值． 【答案】(1)a2013－1 (2)22014－1 (3) 【分析】（1）根据题意，由已知算式发现其规律：（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1即可得出答案； （2）由发现的规律，将a换为2，计算即可得到答案； （3）将a换为5，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由上面的规律我们可以大胆猜想，得到（a－1）（a2012＋a2011＋a2010＋……a2＋a＋1）＝a2013－1， 故答案为：a2013－1； （2）解：∵（2－1）（22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1）＝22014－1 ∴22013＋22012＋22011＋……22＋2＋1的值是22014－1； 故答案为：22014－1； （3）解：∵（5－1）（52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1） ＝， ∴52013＋52012＋52011＋……52＋5＋1的值为 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题关键是根据题中给出的算式发现其中的规律． 36．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式 　 　． (2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　． (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)＝7 (2)n+1 (3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据得出的结论可知，利用规律即可得． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 【点睛】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律． 37．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明做数学题时，发现①； ②，即； ③，即； ④，即，… （1）按上述规律，猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想． （2）第n个等式是什么？你能验证吗？来试试吧！ 【答案】（1）；见解析（2），见解析 【分析】（1）参照题目中的计算方法计算即可； （2）依据题目给出的数字可发现规律，按照题目解题方法验证即可． 【详解】解：（1）， 验证：； （2）由① ②； ③； ④， …… 第n个等式是， 验证：． 【点睛】本题考查了算术平方根的化简，解题关键是理解题目中的解法并会运用． 38．（24-25七年级上·江西九江·期中）观察： 等式①： 等式②： 等式③： 等式④： …… (1)仿此：写出等式⑤：___________________________________ 等式⑩：_________________________________________________ (2)按此规律计算 ①___________ ②求的值 【答案】(1)； (2)①240；②518 【分析】（1）根据题目的等式可以写出等式⑤和等式⑩； （2）①根据（1）中的规律可得等式和，可以求得所求式子的值； ②根据规律和题目中所求式子的特点，可以求得相应的结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 等式⑤为：， 等式⑩为：； （2）解：①， 故答案为：272； ② ． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的特点，求出所求式子的值． 39．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）观察下列等式，并回答问题： ①； ②； ③； ④； …… (1)请写出第⑤个等式：______，化简：______； (2)写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示） (3)比较与1的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果； （2）由前4个等式可以猜想第n个等式为； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：， ， 故答案为：；． （2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为， 故答案为：． （3）解：∵， ∴． 【点睛】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 40．（24-25七年级下·安徽黄山·月考）小明同学在探究如何计算连续正整数之和后，得到公式S（n）＝1＋2＋3＋…＋n＝，于是他猜想连续正整数的平方和S（n2）是否也有类似的公式，为此，他将相关数值列成如下表格，请观察表格规律，并完成问题： n 1 2 3 4 5 6 … S（n） 1 3 6 10 15 a … S（n2） 1 5 14 b 55 91 … 1 c d … （1）根据规律，表格中a＝ ；c＝ ； （2）用含n的代数式表示 ； （3）推导出计算公式S（n2）． 【答案】（1）21，3；（2）；（3） 【分析】（1）分别计算 从而可得答案； （2）分别求解当时，的值，再总结出规律即可； （3）把代入，即可得到答案. 【详解】解：（1）当时， 所以 当时， 故答案为：21，3 （2）当时， 当时， 当时， 当时， 归纳总结可得：， 故答案为： （3）由及（2）知： ， 【点睛】本题考查的是运算规律的探究，掌握“从具体到一般的探究方法及运用总结出的规律解决问题”是解题的关本键. 【经典计算题五 实数的新定义运算】 41．（25-26七年级上·湖南永州·月考），试计算 (1)， (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算规则下的计算，理解新的运算规则是解题的关键． （1）根据，表示出，计算后即可解题； （2）先根据完成小括号里面的计算，再第二次进行新定义运算即可完成此题． 【详解】（1）解：． （2）解：． 42．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期中）定义一种运算符号“★”，，如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查定义新运算，将新定义的运算转化为四则混合运算； （1）根据定义的运算规则直接代入数值进行计算； （2）需要先计算括号内的运算，再计算括号外的运算. 【详解】（1）解：∵， ∴. （2）解：先计算， 再计算， ∴. 43．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）对于有理数，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值； (3)定义的新运算“”是否满足交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2) (3)满足，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算，读懂运算规则是解题关键． （1），即可求解； （2）先算，再计算，即可求解； （3）验证与是否相等即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵， ∴“”满足交换律； 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）符号“”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，，…… (1)利用以上运算的规律写出_____；（n为正整数） (2)计算； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查找规律与分式乘法运算，运用归纳推理思想，通过观察运算规律得出表达式，利用分式约分技巧简化连乘运算，解题关键是归纳的通式并发现交叉约分规律，易错点是忽略规律或约分不彻底．解题思路：先归纳\的表达式，再将各展开后通过交叉约分计算连乘结果． 【详解】（1）解：观察已知的运算可归纳出规律： 故答案为； （2）解：∵；；；；； ∴ 故答案为：； （3）解：由，可得： 故答案为：． 45．（24-25七年级上·安徽淮北·月考）若是有理数，定义一种新运算，例如：． 根据上述关于“”计算法则，完成下列任务． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)189 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握新定义的法则，是解题的关键． （1）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可； （2）根据新定义的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式 ． 46．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）对任意有理数，定义一种运算“”：． (1)计算的结果为______； (2)计算的值； (3)定义的新运算“”对交换律是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2)22 (3)定义的新运算“”对交换律成立 【分析】本题主要考查了新定义下实数运算． （1）按照给定的新定义运算计算即可； （2）先按照新定义运算计算 ，再将其结果与计算即可求出结果； （3）按新定义分别运算和即可说明理由． 【详解】（1）解： （2） ； （3）∵，， ∴， 定义的新运算“”对交换律成立． 47．（24-25七年级上·河南周口·月考）【新考向】在学习完“有理数的运算”后，小红对运算产生了浓厚的兴趣．她定义了一种新运算“*”，规则如下：，其中． (1)求3*的值； (2)求的值； (3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“*”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1)3 (2) (3)不具有，见解析 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）先计算，再计算即可求解； （3）验证是否成立即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∵， ∴， ∴， 所以这种新运算“*”不具有交换律. 48．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1；i． （2）解：原式． 49．（24-25七年级下·重庆南川·期末）对于任意一个四位正整数，我们可以记为，即．若规定：对四位正整数进行F运算，得到整数．例如，；． (1)计算：； (2)求出满足的所有四位数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【分析】（1）依据带入计算即可； （2）得，结合，进行分析即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴即， ∵， ∴， ∴，且为整数， ∴或或或， 所以，满足条件的四位数有，，，． 【点睛】本题考查了新定义下的有关计算；理解新定义的概念是解题的关键． 50．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 【经典计算题六 无理数的估算】 51．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）（1）若多项式中不含项，求的值． （2）若的小数部分是，若的小数部分是，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查多项式的无关项、估算无理数的大小、平方根等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先将多项式整理，然后令项的系数为求解即可； （2）先估算出的范围，进而可得，，求出，的值，然后代入求平方根即可． 【详解】解：（1）， 由于多项式不含项，故，解得：． （2）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 52．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读下列材料：，即，的整数部分为，小数部分为．规定实数的整数部分记为，小数部分记为，如：，．解答以下问题： (1)______，______，______； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据阅读材料解答即可求解； （）根据阅读材料解答即可求解； 本题考查了无理数的估算，实数的运算，解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：， ， ，， ， ，， 原式． 53．（24-25八年级上·吉林长春·月考）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分，根据以上信息回答下列问题： (1)的小数部分为______，的小数部分为______； (2)若m是的整数部分，n是小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查无理数的估算，实数的混合运算．熟练掌握“夹逼法”进行无理数的估算，是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法，确定出整数部分，进而求解即可； （2）先求出的值，代入代数式，求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的小数部分为； ∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为； 故答案为：，； （2）∵，m是的整数部分， ∴． ∵，n是的小数部分， ∴， ∴． 54．（24-25七年级下·广西河池·期中）阅读理解． ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根的定义，代数式求值，准确估算是解答本题的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得出、的值； （2）把，代入计算即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分，的小数部分， ，； （2）当，时， ． 55．（24-25七年级下·浙江台州·期中）已知为整数，为计算它的值，请你思考并回答下列问题. (1)整数1至9中，立方后，个位数字为7的是 ； (2),,由此可知：是 位数； (3)计算，，，再求的值. 【答案】(1)3 (2)两 (3)73 【分析】（1）根据偶数的立方的个位为偶数可排除偶数，再由5的立方的个位为5可排除5，1的立方的个位为1可排除1，3的立方的个位为7，7的立方的个位为3可排除7，9的立方的个位为9可排除9，即可得出答案； （2）根据题意可得，即可得出为两位数； （3）分别计算603，703，803，判断的范围即可求解． 【详解】（1）∵偶数的立方的个位为偶数，5的立方的个位为5，1的立方的个位为1，3的立方的个位为7，7的立方的个位为3，9的立方的个位为9， ∴满足条件的数是3， 故答案为：3； （2）∵1000＜389017＜1000000， ∴， ∴为两位数， 故答案为：两； （3）∵603=216000，703=343000，803=512000， ∴， ∴=73． 【点睛】本题考查实数的相关性质，解题的关键是熟练掌握立方根的计算． 56．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 57．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数． 例如：，；，． (1)计算：______，_______． (2)若，满足题意的所有整数的和为______． (3)若，，求的平方根． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意即可解决问题； （2）由题意可得，且为整数，所以或或，进而可以解决问题； （3）根据题意可得，，所以，，得，然后根据平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）由题意可知：；； 故答案为：；； （2）由题意可知：，且为整数， 或或， 满足题意的所有整数的和为； 故答案为：； （3），， ，， ， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了估算无理数大小，解决本题的关键是掌握平方根定义． 58．（24-25七年级下·上海徐汇·期中）阅读下列材料并解答问题∶ 对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数．如表示不小于的最小整数，即，所以10的根整数为4． (1)计算25的根整数，得_____________________． (2)现对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2．若对2020进行连续求根整数，则第________________次可得结果为2． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题中所给运算进行求解即可； （2）根据题中所给运算对2020进行连续求解即可． 【详解】（1）解： ∴ 故答案为： （2）对2020进行连续求根整数， 第一次： 第二次： 第三次： ∴ 第四次： ∴ 第四次可得结果为 故答案为：2 【点睛】此题考查了新定义运算以及算术平方根的求解，解题的关键是掌握算术平方根的求解，并理解题中所给运算． 59．（24-25八年级上·山西·月考）综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确． 方法尝试 “善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 解决问题 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． (3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，以及相反数定义，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再类比题干求解，即可解题； （2）估算无理数的大小，进而确定a、b的值，再代入计算，即可解题； （3）先估算无理数的大小，进而确定、的值，再代入计算，最后结合相反数的定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解： ， 即，， ； （3）解：， ， ， ，其中是整数，且， ，， 则， 的相反数为． 60．（24-25七年级上·浙江·周测）中国古代的数理天文学通常都是以分数的形式选择历法中用到的天文学常数．由于这些天文学常数基本上都是无理数，因此，历法家们设计了一些算法用来挑选合适的有理数去逼近这些常数，这样的方法在数学上被称作“实数的有理逼近”．我国南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”便是利用分数的加成性质而设计的一种实数的有理逼近算法，其步骤大体如下：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，再由可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)现已知， 使用一次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用二次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； 使用三次“调日法”计算的一个更为精确的近似分数为______________； (2)的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】（1）先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，使用二次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，再使用三次“调日法”计算即可求解； （2）先估算无理数的范围，求出、的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴利用“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：， ∵， ∴， ∴使用二次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：， ∵， ∴， ∴使用三次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级·全国·课后作业）计算下列各式并观察： ①________，②________，③________，④________，通过上述各式，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来：__________________. 【答案】①90； ②9； ③0.9； ④0.09; （5）一个数缩小为原来的，则它的算术平方根变为原来的 【分析】根据算术平方根的定义直接求出8100，81，0.81，0.0081的算术平方根，进而得出数据变化规律． 【详解】解：根据算术平方根的求法得出： ①，②，③，④，通过上述各式，发现的规律是：一个数缩小为原来的则它的算术平方根变为原来的． 【点睛】此题主要考查算术平方根的求法以及数据变化规律等知识点，根据已知得出数据变化规律是中考的考查重点，同学们应重点掌握． 62．（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）解：原式 ． 63．（24-25七年级下·湖北荆州·月考）【问题情境】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：______； （2）计算：； 【迁移应用】 （3）若符合上述规律，请直接写出x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）根据所给算式总结规律计算即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）由题中所给规律可进行求解． 【详解】解：（1）； ； ； …； ∴， ∴． 故答案为：； （2） ； （3）∵符合， ∴， ∴， ∴． 64．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解． （3）根据（2）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，；； 故答案为：，，，． （2）解：由（1）可得， 故答案为：． （3）解：①； ②． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 65．（24-25八年级上·全国·课后作业）借助计算器计算下列各题． （1）________； （2）________． （3）________； （4）________； （5）从上面的计算结果，你发现了什么规律？利用你发现的规律求的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）6；（4）10；（5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的；结果为 【分析】（1）直接计算可得； （2）直接进行计算发现：； （3）直接进行计算发现：； （4）直接进行计算发现：； （5）总结（1）-（4）总结规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的，根据规律即可得出答案． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）规律为：被开方数等于被开方数中每个加数底数的和，结果为项数乘以（项数加1）的； ∴． 【点睛】题目主要考查了算术平方根的一般规律性问题，解题的关键是认真观察给出的算式总结规律． 66．（24-25七年级下·江苏南京·月考）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 67．（24-25七年级下·广东珠海·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … … (1)分析发现：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 倍； (2)若一块长方形纸片的面积是400cm2，长与宽之比为2：1，求这块长方形纸片的长与宽（精确到，，． 【答案】(1) (2)这块长方形纸片的长为，宽为 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致； （2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为，根据题意列出方程，进而根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍； 故答案为：． （2）设这块长方形的纸片的宽为，则长为， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， 答：这块长方形纸片的长为，宽为． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 68．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式：，； ______________，_______________； 通过以上计算：猜想得出（，）=_________________． (2)运用（1）中的结论进行化简： 例如：；． 请化简① ② 【答案】(1)20，20， (2)①；② 【分析】（1）第一个式子：先计算乘法，再计算算术平方根即可得；第二个式子：先计算算术平方根，再计算乘法即可得；通过前面的计算，猜想出规律即可得； （2）①参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得； ②参照例子，利用（1）中的结论、以及算术平方根化简即可得． 【详解】（1）解：，， 通过计算可知：，， 则猜想得出， 故答案为：20，20，． （2）解：①； ②． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，猜想出是解题关键． 69．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如等，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请你观察下表： a … 0.04 4 400 40000 … … x 2 y z … (1)表格中的三个值分别为： ______； ______； ______． (2)用公式表示这一规律，当（n为整数）时，______． (3)利用这一规律，解决下面的问题： 已知 ，则①_____；②______． 【答案】(1)0.2；20；200 (2) (3)， 【分析】（1）直接利用算术平方根定义计算填表即可； （2）归纳总结得到一般性规律，然后求出的值即可； （3）利用（2）得出的规律即可解答． 【详解】（1）解：根据算术平方根定义可得：． 故答案为0.2；20；200． （2）解：当（n为整数）时，． 故答案为：． （3）解：若，则①；②． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、数字规律等知识点，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 70．（24-25七年级下·青海玉树·期中）阅读下列材料，回答相关问题： 求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如，等，有些数开不尽方，如，等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： 探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来） 理解应用：用你发现的规律，探究下列问题： 已知，求下列各数的算术平方根： （1）； （2）． 拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知，则________． 【答案】探究发现：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位；理解应用：（1），（2）；拓展应用： 【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； （3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解． 【详解】解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． 理解应用：，被开方数为 （1）可由的小数点向左移动两位得到，所以可以由的小数点向左移动一位得到， 又∵ ∴ （2）可由的小数点向右移动四位得到，所以可以由的小数点向右移动两位得到， 又∵ 拓展应用：类比可以得到，被开立方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位， ∵，开立方数为，开立方数为， 可以由得小数点向右移动3位得到，因此可以由小数点向右移动一位得到， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． 学科网（北京）股份有限公司 $