第四章一次函数复习课教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

《循函数之脉，探思维之径——一次函数的复习》教学设计 一、教学内容解析 1. 内容 一次函数的复习. 2. 内容解析 一次函数是学生系统学习的第一类具体函数，对后继学习具有奠基意义。本节课是在前面学习了一次函数的相关知识的基础上，引导学生系统回顾本单元知识体系的建构过程，形成一般的研究思路。一次函数是方程的延伸，也是后面学习二次函数、反比例函数的重要知识储备，我们常常利用它来解决生活中含有两个变量的实际问题，因此本节课具有承上启下的重要作用。 本节课通过梳理研究函数的一般思路“实际问题—定义—图象—性质—应用”，确定本节课的教学主线。让学生通过具体的、典型的实例抽象出一次函数，建立函数模型，理解一次函数的特征和意义。在复习回顾一次函数图象的性质过程中，渗透数形结合、建立函数模型的思想方法。在一次函数的应用中，关注一次函数与方程、不等式等知识间的联系，领悟转化的数学思想。在开展小组讨论的活动中，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，进一步培养学生的抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识和创新意识，落实数学核心素养的有效培养。因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的意义和作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一次函数的图象和性质及其综合应用。 二、教学目标设置 课程目标： 1. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式。 2. 能画一次函数的图象，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数。 3. 体会一次函数与二元一次方程的关系。 4. 能用一次函数解决简单实际问题。 单元目标： 1. 以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立函数模型表示变量之间的单值对应关系，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。 2. 结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法(列表法、解析式法和图象法)，能结合图象数形结合地分析简单的函数关系。 3. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。 4. 结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题。 5. 通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。 6. 通过利用一次函数解决实际问题，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。 课时目标： 1. 知识结构化：通过梳理一次函数知识框架的建构过程，让学生体会研究函数的一般思路，发展对函数知识的系统化认识和结构化思维。进一步加深对一次函数的定义、图象和性质的理解，熟练运用待定系数法求一次函数解析式。 2. 思维可视化：引导学生分析k、b符号对一次函数图象的作用、图象平移的具体规律，以及函数与方程（组）的转化逻辑，在此过程中帮助学生熟练运用数形结合思想分析函数特征，掌握用函数观点求解方程（组）及不等式的方法，让学生切实感受函数与方程（组）、不等式的内在联系，有效提高逻辑推理能力。 3. 应用生活化：通过小组合作设计问题并解决复杂的行程问题（例4），能建立一次函数模型解决实际问题，能从函数图象中获取信息并转化为方程（组），形成应用函数模型解决实际问题的意识和能力，增强应用意识和创新意识。 三、学生学情分析 此前学生已学完一次函数的所有基础内容，具备判断函数类型、画出简单函数图象、表述部分函数性质的能力；不过在知识整合与方法认知上仍有欠缺：一方面，对一次函数的整体知识脉络梳理不足，未能构建起完整的知识体系，对知识的关联性理解较浅；另一方面，对“研究函数的一般思路”缺乏清晰理解，尚未形成分析、探究函数问题的结构化思维。 学生已具备初步的识图能力，能够从图象中获取一些基本信息。但在构建知识关联时，对函数、方程、不等式三者的内在联系理解不深入，不能深刻领悟“数”与“形”之间的对应关系。在实际建模中，因题干信息复杂而找不到变量之间的关系，难以准确识别并建立变量间的函数关系。 基于以上分析，本节课的教学难点是：运用数形结合的思想分析、解决关于一次函数的实际问题。 4、 教学策略分析 1. “知识结构化”：以结构图构建知识网络 引导学生自主梳理一次函数的知识框架，将单点知识转化为结构化体系，实现“从点到线、从线到网”的提升，夯实知识基础。 2. “一题一课”：以核心例题串联全章知识 以一道贴近学生实际生活的行程问题为母题，层层设问，串联一次函数的所有核心知识点，让复习更具连贯性，帮助学生在解决问题的过程中构建完整的知识认知。 3. “数形结合”：以图象为桥梁突破理解难点 紧扣“数”与“形”的转化，以函数图象为可视化工具，把抽象的代数关系转化为具体的图形特征，帮助学生突破对“数与形对应”的理解难点，深化数形结合思想的运用。 4. “单元整体教学”：以单元视角渗透思想，实现思维进阶 从单元整体视角设计一次函数复习课，核心是以“函数思想”为统领，串联函数、方程（组）、不等式等知识点，构建“知识关联—方法迁移—思想渗透”的整体复习体系，为今后进一步研究其它类型的函数积累学习经验。 五、教学过程设计 （一）、复习回顾，梳理思路 问题：回顾本章的学习过程，关于一次函数我们学习了哪些内容？ 师生活动：学生通过回答问题，回顾一次函数的相关内容，梳理研究函数的一般思路：实际问题—定义—图象—性质—应用。 设计意图：引导学生自主构建知识框架，明确研究函数的一般思路。 （二）、循脉探径，温故知新 1. 循脉探径——一次函数的定义 (1)写出正方形的周长y与边长x的关系式. (2)根据表格信息，写出水位高度y和时间x的关系式. 时间(x/h) 0 1 2 3 4 5 高度(y/m) 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (3)奇奇的家与学校在同一条直路上，家离学校600 m，他以100 m/min的速度步行去学校. 设奇奇步行时间为 x min，离学校的距离为 y m，写出y与x的关系式. 师生活动：学生回答，教师板书。教师引导学生观察这三个关系式的共同特征，并归纳出一次函数的一般形式 y=kx+b (k≠0)，强调当b=0时，y=kx (k≠0)是正比例函数，为特殊的一次函数。 总结：从实际问题抽象出一次函数的解析式，是建立函数模型的过程。 设计意图：让学生再次经历从实际问题中抽象出函数模型（解析式）的过程，建立模型观念，引导学生对函数、函数类型有更深体会，并巩固一次函数的定义。 追问：第2题的关系是怎么来的？ 设计意图：让学生通过第2题，感知一次函数的本质是研究两个均匀变化的变量之间关系的模型。 2. 循脉探径——一次函数的图象 例1 奇奇的家与学校在同一条直路上，家离学校600 m，他以100 m/min的速度步行去学校. 画出一次函数y = -100x +600的图象. 师生活动：学生动手画函数图象，一名学生上黑板画，画完后请这位同学讲述如何画出图象。 总结：根据解析式画出对应的函数图象，是从数到形的转化。 设计意图：学生经历根据解析式画一次函数图象的过程，掌握一次函数图象的画法，感受从数到形的转化。 追问1：你是如何快速准确的画出一次函数图象？ 追问2：为什么取两个点就足够了？ 师生活动：学生回答，教师总结，两点法：(0,b)、(-,0)或(1,k+b)。 设计意图：进一步梳理并归纳出绘制一次函数图象的最优画法，即通过确定两点来绘制一条直线，再次体会到一次函数图象的本质特征——一条直线。 预设情况：若学生画的是直线，教师总结时要与课件上的线段图象做对比，强调数学的严谨性（实际问题中自变量的取值范围）；若学生画的是线段，就追问学生为什么画的是线段？让学生自主总结遇到实际问题时，要关注自变量的取值范围。 3. 循脉探径——一次函数图象的性质 活动：k、b的符号对函数图象有什么影响？ 师生活动：引导学生根据k、b进行分类，在导学案上画出六种基本函数图象，一位同学上黑板画图，并叙述画六幅图的思路。 设计意图：学生通过分类讨论，归纳常见的一次函数的基本图象，再次感受k、b符号和函数图象的对应关系，将数形结合的思想方法融入到知识复习中。 问题：观察下面两幅图，直线y=kx通过怎样的变化能得到另外两条直线？ 设计意图：通过教师和学生的互动，利用图象将一次函数的性质、平移讲清楚，增强知识的系统性，体会知识之间的脉络与联系。 4. 循脉探径——一次函数的应用 例2 妙妙出发后离学校的距离与时间的函数图象如图. 求妙妙出发后离学校的距离与时间的函数解析式. 问题：观察题目和函数图象，你能得到哪些信息？ 师生活动：学生观察图象，解读两个交点坐标以及它们的实际意义。 设计意图：让学生从图象中获取信息，会把图形语言转化成符号语言。 追问1：如何求这道题的解析式？ 师生活动：学生回答，待定系数法，设y=kx+b。 追问2：题目有说它是一次函数吗？你是从哪里观察到它是一次函数了？ 师生活动：学生回答，没有，图象是一条线段，对应的解析式就一定是一次函数。 设计意图：使学生熟练掌握用待定系数法求函数解析式，让学生再次体会一次函数图象的本质特征是一条直线。 追问3：请同学们动手在导学案上完成解析式的求解。 师生活动：学生在导学案上完成，请一位同学上黑板书写。 设计意图：用运动变化的眼光，以函数为工具，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，从数与形两方面动态的分析问题，从而全面的认识函数。 预设情况：若上台板书的学生写了自变量取值范围，则评价要给予肯定；若学生没有写出自变量取值范围，教师可提问：有没有谁跟他求出的解析式有点不一样？让下面的学生总结：观察图象可知自变量的取值范围。 问题：请同学们回答以下三个问题： (1) 妙妙出发3 min时，距离学校多远？ (2) 妙妙距离学校120 m时，走了多长时间？ (3) 妙妙何时到学校？ 设计意图：从一次函数解析式、图象出发，引导学生对一次函数与一元一次方程关系进行探究，让学生学会运用函数图象求方程的解，进而体会数形结合的数学思想，帮助学生更好地理解函数知识，为进一步拓展知识奠定基础，加深学生对函数应用价值的认识． 追问：做完这三道题以后，你能得到哪些结论呢？ 师生活动：引导学生从三个问题的解题思路回答。 总结：当y=0时，一次函数就转化成一元一次方程，对应的点的横坐标就是方程的解，这就是由形到数的转化。 设计意图：让学生在解决问题之后自行总结，遇到不同的问题和条件时，从数或形不同的角度入手分析、解决问题，找到最优解法。 例3 奇奇和妙妙家在学校的同侧，两人同时出发. y妙妙= -60x +480，y奇奇= -100x +600 问题：两直线交点有什么意义？ 师生活动：引导学生观察两条直线的交点，明确交点的实际意义。 追问：你能求出这个交点的坐标吗？ 师生活动：学生在导学案上完成解题过程，并请一名学生展示解题过程。 总结：二元一次方程组的唯一解就是方程组对应的两条直线交点的坐标；反之，两直线的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的唯一解。一次函数和二元一次方程组是可以相互转化的。 设计意图：深化学生对所学知识的认识，研究“两条直线交点”与二元一次方程组之间的关系。通过对已知图象的观察，教师引导学生从几何角度深入理解一次函数与方程组的联系，并掌握运用函数图象求方程组的解的方法，在充分体会数形结合解题思想的同时，实现由抽象思维到具体思维的转变，促进学生全面发展． 活动：请你根据解析式和函数图象设计一个问题。 师生活动：小组讨论，在A4纸上写出设计的问题。教师从学生提出的问题中筛选出涉及代入求值、距离差及不等式三类问题，进行展示。 设计意图：让学生通过小组活动，充分讨论交流，在例2的解题经验的基础上，主动观察解析式和函数图象，并根据观察结果设计问题，锻炼学生分析图象和提出问题的能力。 预设问题1：奇奇到达学校时，妙妙距离学校还有多远？ 预设问题2：两人何时相距20米？ 预设问题3：奇奇何时在妙妙的前面？何时在后面？ 追问1：请你挑选一个问题，在导学案上完成。请一位同学分享第2个问题的解题过程。 解题思路： 问题1：当x=6时，y妙=-60x+480=120 问题2：当0<x<3时，(-100x +600)-(-60x + 480)=20，x=2.5 当x>3时，(-60x + 480)-(-100x +600)=20，x=3.5 追问2：谁来说一下第三个问题怎么解决？ 师生活动：引导学生从数或形的角度解答。 设计意图：从不同的梯度设置三个问题，落实分层教学。一位同学板书，展示解题格式和完整过程，规范解题格式。第三问让学生讲解，分享学生的解题思路，让学生体会到确定不等关系的前提是找到等量关系。 预设情况：若预设问题学生没有提出，教师要在最后提出问题，让学生说解题思路。 追问3：做完这三道题，你有什么收获？ 师生活动：引导学生从设计问题和解题过程中总结知识、思路方法。 总结：对于实际问题中的两个变量之间的关系，图象法更直观，所以我们可以观察函数图象，从形的角度分析问题，找到等量关系或不等关系，列出对应的方程或不等式，进而求的结果，这就是数形结合的思想。 设计意图：及时小结，让学生养成良好的学习习惯。 （三）、用函数模型解决实际问题——数形结合 例4 奇奇与妙妙参加越野赛跑，当妙妙跑了1600 m时，奇奇跑了1450 m，此后两人分别以a m/s和b m/s匀速跑. 又过100 s时奇奇追上妙妙，200 s时奇奇到达终点，300 s时妙妙到达终点，这次越野赛跑的全程为多少米？ 追问1：行程问题当中，我们需要关注的量有哪些？ 追问2：哪些量已知？哪些量未知？ 追问3：路程和时间是一次函数关系式吗？根据什么判断的？ 追问4：分别写出奇奇和妙妙的路程与时间的函数关系式。 师生活动：引导学生分别写出y奇，y妙与x之间的函数关系式。然后在同一坐标系中画出两个函数的图象示意图。最后根据图象信息，解决问题。 设计意图：通过问题串，逐步引导学生分析行程问题中的基本要素，建立函数模型，学会用函数思想刻画实际问题中的运动变化关系。 追问5：如何画出它们的函数图象？ 预设情况：如果有学生有思路，请学生上台讲解；若学生没有思路，教师引导学生画图象、分析图象，然后让学生完成解题。 解题思路：y妙妙= ax +1600，y奇奇= bx +1450，函数图象如下： 300a+1600 = 200b+1450 100a+1600 = 100b+1450 a = 1.5 b = 3 ∴全程= 1.5×300 +1600=2050 (m) 设计意图：链接真实生活情境，让学生完整经历“实际问题—数学建模—图象求解—解决问题”的过程，提高用函数观点分析问题、解决问题的能力，发展模型观念和应用意识。 追问：做完这道题，你有什么收获？ 总结：当实际问题中有两个变量时，可以借助函数的思想方法，通过画出图象、分析图象找到等量关系，这就是数形结合的奇妙之处。在今后遇到问题的时候，可以先观察一下这个问题可不可以用函数的方法解决。 设计意图：通过对问题的剖析总结知识、思想方法，积累解题经验，会从实际问题中抽象出一次函数模型，形成模型意识，同时再次总结一次函数的研究路径，为后续学习新函数形成结构化思路。 （四）、循函数之脉，探思维之径 问题：这节课你有哪些收获？可以从知识、方法、思想、能力不同的方面说一说。 总结：同学们的总结已经很到位了，回顾一次函数的研究思路，从实际问题中抽象出一次函数的定义，到研究一次函数的图象性质，最后运用一次函数解决实际问题，一次函数从实际中来，又回到实际中去，形成一个闭环。这是函数模型的意义所在，对于研究实际问题中两个变量之间的关系，我们会用数学符号、图形语言描述实际问题，再通过函数图象的性质分析问题，最后结合方程模型解决实际问题。 设计意图：通过学生自主小结和教师精要提升，实现知识的内化与结构化。强化函数研究的一般思路和模型思想，为后续函数学习奠定基础。 （五）、分层作业 基础题：复习题19，第1，3，5，14题 能力题：请你根据本节课的例题出一道用一次函数模型解决的实际问题，看谁出的题新颖、精妙. 选做题：采用研究一次函数的思路，初步探索函数y=x² . 设计意图：分层作业兼顾基础巩固、能力提升和思维拓展，满足不同层次学生的发展需求，让不同的学生在数学上得到不同的发展。 六、课堂教学目标检测 请同学们根据自己的能力从A、B、C三组题中选择一组完成： A组：基础巩固（面向全体，巩固双基） 1. 判断下列函数解析式是否为一次函数？如果是，请指出其中的 k 和 b 的值；如果不是，请说明理由。 (1) ；(2) ；(3) ；(4) 设计意图：考查学生对一次函数定义的掌握情况。帮助学生清晰辨识一次函数的基本特征，巩固对定义中“k为常数且k≠0”、“自变量次数为1”等要点的理解。 2. 已知一次函数 y = (2m-1)x + (3-n). （1）当m、n满足什么条件时，y随x的增大而增大？ （2）当m、n满足什么条件时，函数图象过原点？ （3）若函数图象平行于直线 y = -3x，且与y轴交于(0, 5)，求m、n的值. 设计意图：考查学生对一次函数性质的掌握程度。让学生熟练掌握运用“k决定增减性”、“b决定与y轴交点”等性质，体会数形结合思想的初步应用。 B组：数形结合与初步应用（深化理解，建立联系） 3. 已知一次函数 的图象经过点 A(1, 3) 和点 B(-1,-1)。 (1) 求这个一次函数的解析式； (2) 求此函数图象与x轴的交点坐标； (3) 根据(2)的结果，直接写出方程 的解. 设计意图：考查学生待定系数法的应用，并检测学生对函数与方程关系的理解。让学生体会“函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的解”这一核心概念，体现数形结合与知识关联的结构化。 4.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： (1)求高度为5百米时的气温； (2)求T关于h的函数解析式； (3)测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度． 设计意图：考查学生根据题目和函数图象提取信息的能力，鼓励学生分别从数和形的两个角度分析问题，渗透“数形结合”的思想，培养学生多角度思考问题的习惯。通过一题多解，发散学生的思维。 C组：综合应用与迁移（挑战自我，提升素养） 5. 如图，直线 与直线 相交于点P. (1) 求点P的坐标； (2) 根据图象，直接写出不等式 的解集； (3) 求两条直线与x轴所围成的三角形的面积. 设计意图：本题是本节课核心思想方法的集中体现。第(1)问考查函数与二元一次方程组的关系；第(2)问考查函数与不等式的关系；第(3)问需要学生综合运用交点坐标、点的坐标的几何意义等知识，发展学生的逻辑推理和综合分析能力。 6. “低碳生活，绿色出行”. 小明和小亮相约从各自家中出发，沿同一条笔直路线骑行前往公园. 已知小明家离公园2000米，小亮家离公园2500米. 小明出发4分钟后，小亮以150米/分的速度从家出发，两人均匀速骑行. 设小亮骑行的时间为t分钟，小明、小亮离公园的距离分别为 米、 米. (1) 分别写出 、 与t之间的函数关系式； (2) 画出两个函数的图象； (3) 小亮出发后多长时间追上小明？ (4) 请根据图象提出一个与不等式相关的问题，并简要说明如何从图象上得出答案. 设计意图： 让学生感受到数学在实际生活中的应用，学会从实际情境中提炼出函数模型。第(4)问鼓励学生模仿课堂活动，进行创新性提问，并利用函数图象进行分析。本题考察了“实际问题—数学建模—图象求解—解决问题”的研究函数的一般思路。 学科网（北京）股份有限公司 $