18.2等腰三角形的判定（2）教学设计2025-2026学年沪教版 数学（五四制） 七年级 下册

18.2等腰三角形的判定（2） 教材：上海教育出版社　义务教育教科书（五·四学制） 七年级 下册 一、教学内容解析 等腰三角形是初中数学“图形与几何”领域的“图形的性质”主题中的一个教学单元，共11课时，具体课时分配如下： 等腰三角形是继三角形后的一单元，其研究路径与三角形一致，都是从定义、性质、判定再到运用．从三角形到等腰三角形的研究过程，是将三角形的边特殊化产生的新研究对象，这样从一般到特殊的研究路径也为后续学习直角三角形、四边形等图形提供基本经验． 本节课是本单元“等腰三角形的判定”的第二课时，是等腰三角形判定定理的运用，是等腰三角形相关知识的延伸．其中的两个例题实际上是“大角对大边”和“三线合一的三角形是等腰三角形”这两个事实性知识的探究活动，在两个例题的问题解决过程中，蕴含了类比、分类讨论、转化等数学思想．学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的完整探究过程，强化从理性角度看待问题的意识.教学内容有一定的综合运用要求，特别是添加辅助线解决问题、利用反证法证明都与等腰三角形的判定定理密切相关．通过适切的活动设计，激发学生的推理潜能，促进学生的几何认知水平得到新的发展，同时所获得的体验和经验,逆向思维与批判性思维对今后进一步学习几何证明具有重要的意义． 所以，确立本节课的【教学重点】等腰三角形判定定理的运用． 二、教学目标设置 1.进一步掌握等腰三角形的判定方法，能灵活运用等腰三角形的判定方法解决几何证明问题，发展几何直观、空间观念与推理能力. 2.通过小组探究活动，在发现、提出、分析、解决问题的过程中感受辅助线的添加方法，体会转化思想，在运用反证法进行几何证明的过程中，拓宽几何证明思路，积累几何证明的学习经验. 3.在数学命题的证明过程中体会条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性. 三、学生学情分析 学生在本课之前已经学习了平行线的性质、等腰三角形的性质和判定和三角形全等的判定方法等相关内容.学生经历了等腰三角形的性质和判定定理的探索过程，能够运用它们解决简单的几何证明，也积累了一些添辅助线证明几何问题的经验，并能够说出反证法的一般步骤. 具备达成教学目标所需要具备的认知基础．但由于证明线段或角相等的工具逐渐丰富，在分析探讨证明途径时，往往有多条路可走，辅助线的添加往往也有多种思路.部分学生逻辑思维能力稍弱，能够从条件推得部分结论，但从结论进行逆向分析能力还有待加强，还需要进一步学习演绎推理的思维方法.解决两个例题时添加辅助线以及反证例2，大部分的同学无法独立完成，需要同伴互助和教师引导. 所以，确立本节课【教学难点】添加辅助线与利用反证法解决问题． 在例题3的直接证明中，引导学生类比迁移“大边对大角”的学习经验，进一步感悟通过添线把不等问题转化为（部分）相等问题的解题策略，归纳分析几何证明的一般思路.反证例3时回顾反证法的一般步骤，直接证明例2时的问题串设计等，都是为了帮助学生激活原有学习经验，自然地从已知向未知探索，让学习过程更具连贯性与逻辑性.同时将独立思考、小组交流、师生对话等多向互动策略始终贯穿教学过程，助力学生突破教学难点. 四、 教学策略分析 教学策略1：结构完善，提升整体认知 基于数学整体观理念，突出知识整体性、思想方法的一致性和逻辑的连贯性，并将其融入具体的问题中，让学生发现知识在其系统中的逻辑关系，了解知识之间的来龙去脉及内在联系．在教材内容的研究过程中有两个盲点，“大边对大角”、“等腰三角形三线合一”的逆命题还暂缺，而本节课的两道例题与逆命题相关，所以我们对教材进行二次开发.整体理解和把握学习内容，通过类比寻找关联，实现用相同（相似）的路径和方法学习不同的知识内容，提升整体认知,发展核心素养. 教学策略2：问题引领，激活学生思维 结合本节课教学目标，依据知识内在逻辑与学生认知逻辑，设计以主问题引领、子问题推进的教学策略，引导学生开展主动学习．整节课的探究围绕“大边对大角的逆命题是真命题吗？”、“等腰三角形三线合一的逆命题是真命题吗？”两个核心问题展开．通过 10 个阶梯式子问题的引导，促进学生的深度思考，突破添加辅助线、反证法中推出矛盾等教学难点，形成问题解决路径，逐步发展推理能力． 教学策略3：多向互动，推动学习进阶 本节课通过构建“独立思考-小组交流-师生对话”的多向互动循环，旨在有效推动学生的学习进阶． 独立思考是互动的基石，确保每位学生都带着个人见解参与课堂．小组交流拓宽思维，学生在碰撞中修正、丰富自己的认知，实现初步进阶．师生对话则在此基础上升华，教师通过精准点拨，引导学生提炼规律、构建体系，完成从具体经验到思想方法的深度进阶．这三个环节贯穿课堂始终，形成一个螺旋上升的认知闭环，使学习在多向互动中不断深化，直达教学目标． 五、教学过程设计 （一）复习回顾，梳理脉络 问题1：我们已经学过等腰三角形的哪些知识？ 设计意图：通过呈现知识结构图，将知识之间的联系可视化、结构化，体现单元的结构特征，挖掘不同课时之间的内在联系． （二）启发思考，提出问题 问题2：等腰三角形的性质定理“等边对等角”和判定定理“等角对等边”是什么关系？ 问题3：我们一般会从一个图形的性质出发，将它的已知条件和结论互换，是得到这个图形判定方法的重要思路．不过图形性质的逆命题是否是真命题呢？需要我们作进一步的验证．按照这样的思路，你们能否提出新的问题？ 预设：大边对大角的逆命题是真命题吗？等腰三角形三线合一的逆命题是真命题吗？ 设计意图：观察原有的知识框架性结构，让学生感悟图形性质与判定可能存在的互逆关联，感受框架的不完备性，发现和提出新问题，明确本节课的探究内容． （三）合作探究，解决问题 1.类比探究，激活思维 探究活动1：在三角形中“大边对大角”的逆命题是真命题吗？ 问题4：在三角形中大边对大角的逆命题是什么？ 请写出已知、求证并证明． 例3：如图，已知：在△ABC中，∠C ＞∠B．求证：AB＞AC． 【小组探究完成】 类比“大边对大角”的学习，添加辅助线. 【完成推理路径图】 问题5：回顾刚才的证明过程，我们是怎样思考的？ 设计意图：搭建思维的脚手架，通过类比迁移已有的知识经验，突破添加辅助线的难点，在推理过程中不断内化经验.感悟辅助线的添加架起已知与未知的桥梁. 用反证法证明例题3 问题6：用反证法证明的一般步骤是什么？ 设计意图：学生感悟正难则反的逆向思维丰富了几何证明的方法. 2.深化探究，发展思维 探究活动2：“等腰三角形三线合一”的逆命题是真命题吗？ 问7：“等腰三角形三线合一”的逆命题是什么？ 结合图形改为已知和求证． 已知：在△ABC中，①AD⊥BC，②D是边BC的中点，③∠1=∠2．求证：AB=AC． （预设①+②+③可证，①+②可证，①+③可证.） 问8：②+③可以证明结论吗？进一步探究． 例2：已知：在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2． 求证：AB=AC． 问9：我们已经学过的证明线段相等的方法有哪些？ 问10：“等角对等边”的前提是什么？ 问11：如何把角放在同一个三角形中？ 问12：如何添加辅助线？ 【学生探究并汇报方法】 设计意图：借助空间观念直观感知图形特征，开展融合直观与逻辑的推理论证活动.通过设置问题串，感悟利用中点构造中心对称全等三角形的添线方法，逐步形成解决问题的路径，发展几何直观、空间观念和推理能力. 问13：这道题还有什么不同的方法？ 设计意图：类比迁移添加辅助线、反证例3的学习经验，感悟利用角平分线构造成轴对称全等三角形的添线方法.通过思考、讨论、交流，让学生有充足的时间寻找矛盾点，积累用反证法证明的成功经验，拓展学生思维路径． （四）总结反思，思维进阶 1. 知识技能 2. 思想方法 3. 知识脉络与研究方法. 设计意图：学生自主总结，感悟知识创生、验证、运用的过程，发展和提升思维水平．这个研究框架也有益于学生体会不同内容间数学研究方法的一致性和可迁移性，进而以整体的、联系的、发展的视角看待和研究几何图形，发展几何直观和推理能力． 结束语 几何中，添辅助线为难题开新径；生活中，换思路让困境变坦途.这份 “另辟蹊径” 的智慧，藏在数学里，更能解生活中的难题. 设计意图：将数学活动中积累的克服困难的勇气、灵活转化的智慧、多角度思考的策略，进行了一次高阶的情感态度与价值观的升华．让学生相信，数学学习不仅仅是为了考试，更是为了获得一种能够迁移到未来生活与工作中的宝贵思维方式和人生智慧． 六、课堂教学目标检测 【基础型作业】 完成七年级数学第二学期练习册18.2（2） 【拓展型作业】 1.尝试用反证法证明： 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等. 2.例2还有其他证明方法吗？如果有请完成证明，再利用信息技术查阅例2的不同证法，或许你会有新的发现，请小组合作完成多种证明方法，并进行展示与交流. 【跨学科作业】（两周内完成） 等腰三角形在建筑设计中的应用探究 1. 资料收集 · 分组查找国内外著名建筑的图片或视频资料，筛选出包含等腰三角形结构的建筑案例. · 记录所选建筑中等腰三角形结构的具体位置、尺寸，分析该结构在建筑中的作用. 2. 数学分析 · 针对建筑案例画出等腰三角形结构的几何示意图，标注角度、边长或特殊线段的长度. · 运用本节课所学的等腰三角形判定方法，验证你所识别的结构是否为等腰三角形. 3. 成果展示 · 以小组为单位，制作PPT或手抄报，内容包括建筑案例介绍、几何示意图、数学分析过程、探究结论. · 各小组进行 5-8 分钟的成果汇报，分享探究过程中的发现并回答其他同学或老师的提问. 设计意图：基础作业旨在通过练习检测，牢固掌握核心知识，形成必要的技能熟练度和知识稳定性．拓展型作业是课堂教学的延伸，深化对本节课教学内容的理解，促进学生学习进阶．跨学科作业帮助学生在实践中培养创新能力． 学科网（北京）股份有限公司 $