1.1锐角三角函数 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学课件围绕锐角三角函数（正切）展开，通过先行组织激活几何图形研究经验，从直角三角形边、角关系出发，以梯子倾斜程度情境为载体，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以情境探究为主线，通过比较梯子倾斜程度的活动，引导学生从特殊到一般发现边角比值规律，培养抽象能力和推理意识。结合自动扶梯、山坡坡度等实例，体现模型意识，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可借助结构化流程提升教学效率。

锐角三角函数 1 平行线 相交线 三角形 四边形 多边形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 线段 角 一、先行组织，激活经验 我们研究几何图形的思路是什么呢？ 定义 性质 判定 应用 几何图形的研究思路（特殊图形） 几何图形的研究思路（一般图形） 研究内容 研究方法： 组成要素之间的 数量关系、位置关系 观察，操作，猜想，证明 几何图形的研究思路 一、先行组织，激活经验 整体特征 局部要素 勾股定理 两个锐角互余 ？ 直角三角形 边 角 边角关系 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 一、先行组织，激活经验 我们怎样用数学的方式刻画梯子的倾斜程度？ 二、创设情境，探究联系 我们怎样用数学的方式刻画梯子的倾斜程度？ 二、创设情境，探究联系 A B C 倾斜角 水平宽度 铅直高度 二、创设情境，探究联系 活动1 比较梯子的倾斜程度 ①如图，比较 梯子和 哪个更陡？ 倾斜角越大，梯子越陡。 二、创设情境，探究联系 ②如图，比较 梯子和 哪个更陡？ 活动1 比较梯子的倾斜程度 1 2 3 1.5m 铅直高度相等时:水平宽度越小，梯子越陡。 M ③如图，比较 梯子和 哪个更陡？ 1 2 3 6m N 水平宽度相等时：铅直高度越大，梯子越陡。 活动1 比较梯子的倾斜程度 ④如图，比较 梯子和 哪个更陡？ 倾斜角相同 梯子一样陡 相似 比值相等 活动1 比较梯子的倾斜程度 ⑤如图，比较 梯子和 哪个更陡？ 高、宽都不相等且比值不相等 ①高相等，比较宽 ②宽相等，比较高 转化 缩放 活动1 比较梯子的倾斜程度 将下列所有梯子按倾斜程度排序（由陡到缓） 简化——缩放： 使水平宽度都化为1 ④①②③⑤ 1 1 1 1 1 2 1.5 1.6 活动1 比较梯子的倾斜程度 缩放：使宽化为1 转化 越大，梯子越陡 1 高 宽 活动1 比较梯子的倾斜程度 活动2 探索直角三角形的边角关系 的邻边 的对边 ？ 抽象 倾斜角 当时 比值不变 在中 在中 研究特殊角 B C D E 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么无论边的长度如何，它的对边与邻边的比值都是. 活动2 探索直角三角形的边角关系 在含锐角的不同的直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值是否相等？ 请你类比的研究过程自主探索。 活动2 探索直角三角形的边角关系 变化 随之变化 确定 唯一确定 对应 关系 函数 关系 活动2 探索直角三角形的边角关系 正切三角函数 的邻边 的对边 的正切 符号语言：在中，=90°， 锐角三角函数 三、形成概念，理解本质 tan 例1.如图1，在中，求tantan的值. 3 4 tan 解：在中， 直角三角形中两个锐角的正切值互为倒数 图 1 三、形成概念，理解本质 例2. 如图2，在中， 求的长. 图 2 解：在中， 三、形成概念，理解本质 5 三、形成概念，理解本质 1.正切揭示直角三角形的一种边角关系,涉及直角三角形的三个元素，已知两个元素可以求第三个元素。 2.正切是一个比（有顺序）。 3.的值随的变化而变化。 4.符号表示： tantan 的邻边 的对边 tan的值越大，梯子越陡 刻画梯子的倾斜程度有什么方法？ 1.倾斜角 2. 四、运用概念，深化理解 例3 下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯： 甲梯更陡 乙梯： 四、运用概念，深化理解 怎么刻画山坡的倾斜程度？ 1.倾斜角 2. tan 坡角 坡度（坡比） 四、运用概念，深化理解 图4 1.在正方形网格中，的位置如图1所示，则tan的值是______ 3.如图3，某人从山脚下的点 A 处走了 1000 米爬到了山顶的点 B 处，已知点 B 到山脚的垂直距离为 600 米，则该山坡的坡度为______ 2.如图2，在中，根据图中所给数据，tan=_______. 2 图1 图2 图3 4.如图4，在中，，若，，则. 达标检测 勾股定理 两个锐角互余 直角三角形 边 角 边角关系 锐角三角函数 正切 1.回顾本节课研究了什么内容，得出什么结论？ 五、总结梳理，规划单元 比较梯子的倾斜程度 直角三角形的边角关系 锐角三角函数 正切 探索关系 建立概念 理解运用 生活情境 tan 转化 数形结合 2.经历怎样的研究过程获得了结论？运用了哪些数学思想方法？ 从特殊到一般 斜边 量化思维 五、总结梳理，规划单元 类比 实际背景 锐角三角函数的概念 锐角三角函数的计算 解直角三角形 解决实际问题 正切 正弦 余弦 五、总结梳理，规划单元 特殊角 一般角 三角函数值 已知元素 未知元素 测高度、距离... 基础达标作业 1.在中，，，，则tan_____,tan_____. 2.在中，，，,则＝_____. 能力提升作业 3．如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格 点上，则的正切值是____. 拓展延伸作业 4.如图2，在中，，，tan，求的长. 六、设计作业，拓广创新 图2 图1 $