1.1锐角三角函数 教学设计 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦锐角三角函数（正切）概念，通过“比较梯子倾斜程度”探究活动导入，从特殊到一般结合相似三角形和函数概念，搭建从直观到抽象的学习支架，梳理正切概念形成脉络。 以“三会”核心素养为导向，用几何画板动态演示角度与比值关系突破函数性理解难点，五组梯子比较活动体现转化思想，分层作业满足差异需求。培养学生抽象能力和推理意识，帮助教师落实单元整体教学，提升课堂效率。

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 一、教学内容解析 1. 教学内容的内涵 本节课是北师大版教材九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》第一节《锐角三角函数》第一课时，主要内容为正切的概念形成过程及正切概念的理解应用。 锐角三角函数反映直角三角形的边角关系，是直角三角形性质研究的进一步深化。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，在测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到距离、高度、角度的计算问题，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题，需要用锐角三角函数解决问题，而正切是生活中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山坡的坡度等，因此教材内容将正切安排在第一课时，第二课时再类比正切的概念获得正弦和余弦的概念。 基于对课标和教材的理解，本节课的教学内容确立为：从刻画梯子倾斜程度的探究活动中，发现直角三角形锐角和它的对边与邻边的比值之间的函数对应关系，形成正切的概念，理解并运用正切解决问题。探究过程中体现了转化、从特殊到一般、数形结合、类比的数学思想方法和精细的数学量化思维。 本节课的教学重点为：1.探索并理解正切的概念；2.能根据正切概念进行简单计算。 2.教学内容的知识类型 正切三角函数的概念具有二重性，首先它具有函数性，在直角三角形中锐角的对边和邻边的比值与该锐角的角度有函数对应关系，角度确定时，比值就唯一确定，角度变化时，比值才发生变化，这是将其命名为正切三角函数的根本原因；其次它具有关系性，正切的概念揭示了直角三角形中三个元素之间的关系，已知两个元素，可以求出第三个元素，是解直角三角形的重要依据之一。 在本节课的教学过程中，在引导学生体会比值与角度的对应关系的环节突出函数性，基于函数关系理解正切的概念，在正切的应用中用它的关系性作为直角三角形的性质进行计算。 正切三角函数属于度量性概念，数学中为比较两个事物某个方面的差异，往往需要对该方面的差异进行量化，借助某个量来进行比较，为此，自然引出相应的度量。正切是刻画梯子、台阶、山坡等倾斜程度的度量工具和方法。度量性概念教学的常用模式是：问题情境——探究（猜测、交流、验证、确认）——明晰概念——运用巩固，因此本节课选择刻画梯子倾斜程度的情境活动来引入正切概念，帮助学生理解比值与角度的对应关系。 正切的应用和计算部分紧密关联着程序性知识，比如计算正切值要按照一定的步骤和程序进行：识别锐角的对边和邻边，再计算比值；使用计算器求正切值时按下tan（角度）的操作流程，解决实际问题的过程等。 3.知识的整体结构 （1）上位知识：直角三角形的基本性质，相似三角形的性质与判定，函数概念。 （2）下位知识： 初中阶段：解直角三角形，实际应用，圆中的应用。 高中阶段：任意角的三角函数，解斜三角形，三角恒等变化，正弦定理余弦定理，三角函数的图象与性质。 锐角三角函数的研究路径与初中阶段其他函数不同，本章主要根据其蕴含的关系性解直角三角形及解决生活中的问题，其图象与性质、一般角的三角函数等内容在高中研究。 4.内容蕴含的教学资源 探索正切的函数性的过程要经历从现实情境抽象出直角三角形的过程、从特殊到一般的归纳过程、借助相似三角形判定与性质的推理过程，有运用数学眼光的过程，有数学思维方式的运用；探索正切的关系性，不仅揭示边角关系，为解直角三角形提供依据，又可让学生体会研究几何图形的一般观念：直角三角形边与角之间的关系，形成有支撑意义的结构。 二、教学目标设置 下面是《义务教育数学课程标准（2022版）》中与本节课相关内容的摘录与理解： 课程标准总目标指出：通过数学学习，学生逐步形成“三会”核心素养，本节课都有体现：会用数学的眼光观察现实世界（定量刻画梯子的倾斜程度、抽象为直角三角形探究）、会用数学的思维思考现实世界（比较梯子倾斜程度、探索角度与比值的关系）、会用数学的语言表达现实世界（运用正切解直角三角形、刻画梯子和山坡的倾斜程度）。 本章属于图形与几何领域“图形的变化”主题下的二级主题“图形的相似”中的小主题。本章的内容要求是：利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（,,）。学业要求是：知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际问题。 基于以上分析，本节课的教学目标为： 1.通过量化比较现实情境中梯子的陡与缓，会用不同方法刻画梯子的倾斜程度，体会精细刻画、定量分析的数学思维方式，体会转化、特殊到一般的数学思想，发展抽象能力和推理能力。 2.经历探索直角三角形边角关系的过程，能利用相似的直角三角形发现锐角与它对边与邻边比值之间的函数对应关系，体会从特殊到一般、类比、数形结合的数学思想，发展几何直观和推理能力。 3.经历运用正切三角函数解决问题的过程，理解正切反映了直角三角形的一种边角关系，能运用正切蕴含的关系性解决简单问题，会用正切刻画梯子、山坡的倾斜程度，发展推理能力和应用意识。 三、学生学情分析 1. 学生已经具备的认知基础 （1）知识储备：直角三角形的基本性质，相似三角形的性质与判定定理；在直角三角形边角关系的认知上，局限于特殊角度的情形，尚未构建起一般性的边角关系认知体系；已学习了两类函数，对于函数的概念具备一定的认知基础，但对函数的理解尚停留在代数领域内。 （2）研究经验：积累了一定的数学探究活动经验，具有化未知问题为已知问题的意识，有较强的逻辑推理能力和表达能力。 2. 达成教学目标所需要具备的认知基础 （1）想到比较梯子的倾斜程度的一般思路（水平宽度化为1） （2）理解直角三角形中锐角与它对边与邻边的比值之间的函数关系 3. 根据差异，分析解决策略 （1）通过前5组比较梯子倾斜程度的活动，学生充分思考、交流、展示，体会到不能测量倾斜角时，只需转化为铅直高度相等或水平宽度相等的情况就能比较梯子的倾斜程度，第6组梯子探讨比较一组梯子倾斜程度的方法，提出“水平宽度化为什么数？”，学生先找最小公倍数（等比例放大），发现不好找，再想到等比例缩小也可以，教师提出“缩小为什么数最简单？”自然引出“将水平宽度化为1”的思路。 （2）直角三角形中一个锐角是一般角时，它的对边与邻边的比值以及比值和角度之间的对应关系对学生来说是陌生的、抽象的，因此教师演示几何画板，给出角度和比值，引导学生观察发现、验证猜想。 4. 明确教学难点，分析突破难点的策略 锐角三角函数所呈现的并非单纯的数值间对应关系，而是角度与数值的特定对应形式，这种对应形式不同于一次函数、反比例函数以及二次函数，它的自变量是锐角。对学生而言，锐角三角函数是抽象的，是初中数学学习的一个难点。 因此，确定本节课的教学难点为：1.用函数的观点理解正切；2.正切的符号表示。 突破难点1的策略： 从特殊到一般展开探究，学生自主探究特殊角，感受唯一确定的对应关系，借助几何画板演示一般角对应的比值随角度的变化情况，感受变化规律及唯一确定的对应关系，设置环环相扣的问题链帮助学生从函数的角度理解正切。 突破难点2的策略： 解释符号表示的意义，引导学生分析和之间的函数关系，用符号刻画梯子和山坡的倾斜程度。 四、教学策略分析 1.课程资源的选择与组织 （1）将教材中刻画梯子倾斜程度的活动作为探究活动一引入正切概念，并在教材基础上进行补充，增加了几组情况，难度和问题层层深入，促使学生在不断地解决新问题的过程中深度思考、理解本质。 ①锐角三角函数的概念属于度量性概念，在这个活动中学生从直观定性到准确定量，用数学的眼光和数学的定量思维来刻画生活中事物的差异，自然引出角度与比值关系的猜想，为后面引入正切的概念做好铺垫； ②这个问题情境学生比较熟悉，能激发学生学习兴趣，正切能刻画梯子、山坡等倾斜程度，解决了学生”为什么要学习正切“的困惑，使学生感受到数学与生活的联系，体会学习正切的必要性。 （2） 探究活动二为探索直角三角形的边角关系。教材中“想一想”直接利用相似证明一般情况，不能直观感受函数性，考虑到学生的知识生长点，基于教材情境补充搭建从特殊到一般的研究支架，先研究特殊角的情况，再运用几何画板演示一般角的情况，引导学生发现边的比值与锐角之间的函数对应关系，最后利用表格梳理总结。 2.教学方法的分析与运用 （1）谈话法：设置逻辑连贯、由浅入深的问题串，通过问题引领，激发学生深度思考与自主探究的意愿。 （2）演示法：运用PPT，展台，几何画板等辅助教学手段，基于教学难点分析，运用几何画板演示让不同认知基础的学生都能突破思维障碍，从直观发现到验证猜想，进而得出一般性结论。 （3）探究法：学生探究活动形式多样：自主思考、合作交流、展示分享，使学生经历猜测、交流、验证、确认的过程获得正切的概念。 3.单元整体教学的理解与设计 通过设置前置性学习任务，激活学生对研究图形的一般思路、研究图形性质的研究内容、研究方法的经验，形成研究图形的一般观念，从直角三角形的性质研究结构中未研究的组成要素关系入手，引导学生研究一般直角三角形的边角关系。作为章起始课，在总结梳理部分，将锐角三角函数纳入已知体系，丰富对直角三角形边角关系的认知，通过引导性问题引出正弦、余弦，对全章内容进行规划，明确本章的研究路径，激发学生学习兴趣。 4.例题习题的选择与实施 根据教材例题习题的题型和难度保留并改编设计了例题与习题，例1、例2主要启发学生理解正切揭示直角三角形的一种边角关系,涉及直角三角形的三个元素，已知两个元素可以求第三个元素，例3选用教材例题，体会正切在现实生活中的应用。达标检测题型难度适中，注重基础巩固。课后作业分为三个层次，满足不同学生的学习需求。 五、教学过程设计 【环节一】先行组织，激活经验 问题1：在之前的数学学习中，我们研究了很多几何图形，请同学们回忆，我们研究几何图形的思路是什么呢？ 问题2：研究一个几何图形的性质，主要研究什么内容？ 问题3：在探索得到几何图形性质的过程中，研究方法是什么？ 问题4：本章研究直角三角形的边角关系。对于直角三角形，我们从哪些方面研究它的性质？边的关系是什么？角的关系是什么？我们还研究过什么性质呢？ 追问：哪个是边角关系呢？ 含30°角的直角三角形存在特殊的边角关系，当锐角是30°时，它所对的直角边和斜边存在确定的等量关系。那当锐角是其他度数时，直角三角形的边之间还有这种确定的等量关系吗？本章我们一起探索直角三角形的边角关系，并利用它解决实际问题。 设计意图：回顾已学知识，激活研究几何图形的一般观念，从直角三角形性质研究体系中进一步研究一般直角三角形的边角关系，引入本章内容的学习。 【环节二】创设情境，探究联系 下面我们借助刻画梯子倾斜程度的活动来探索直角三角形的边角关系。 问题：观察梯子变陡的过程，我们怎样用数学的方式刻画梯子的倾斜程度？ 刻画事物差异时往往将其量化，比如用角的大小、线段的长度来刻画。 明晰刻画倾斜程度的方法:倾斜角、铅直高度、水平宽度。 探究活动（一） 比较梯子的倾斜程度  问题1：比较梯子和哪个更陡?  倾斜角的大小影响梯子的陡缓，倾斜角越大梯子越陡。 生活中有时候不容易测量倾斜角，更容易测量铅直高度、水平宽度。 问题2：测出这组梯子铅直高度、水平宽度的值，你有什么发现？我们将梯子平移到的位置，哪个梯子更陡呢？    结论：铅直高度相等时，水平宽度越小，梯子越陡。 预设：学生可能直接说出结论，教师引导学生转化为比较倾斜角的大小验证结论。 生成：学生利用三角形外角性质比较倾斜角的大小，从而比较梯子的倾斜程度。 问题3：这组梯子有什么特点？怎么比较？ 结论：水平宽度相等时，铅直高度越大，梯子越陡。 总结：当水平宽度或铅直高度相等时，我们只需比较另一个量即可。 问题4：这组梯子的倾斜程度怎么比较？ 结论：比值相等，两个三角形相似，倾斜角相同，梯子一样陡。 问题5：这组梯子有什么特点，和前几组一样吗？ 学生自主思考，组内交流，学生代表展示讲解。 教师询问学生思路。 预设：学生可能化水平宽度为3m或1.5m，或者化铅直高度为20m。 生成：学生发现水平宽度是倍数关系，转化为水平宽度相等更简便。 总结：当铅直高度、水平宽度都不相等且比值也不相等时，我们需把水平宽度化为相等比较铅直高度，或者把铅直高度化为相等比较水平宽度，选择有倍数关系的数字转化更简便。 我们发现，倾斜角的大小可以比较梯子的倾斜程度，不能测量倾斜角时，我们只需转化为水平宽度或铅直高度相等就可以比较。 设计意图：通过设置比较五组梯子倾斜程度的活动，难度层层深入，引导学生逐步明确解决策略：比较倾斜角是一般方法，不能测量倾斜角时，特殊情况（水平宽度或铅直高度相等）会比较，更复杂、更一般的情况转化为特殊情况就能解决问题，体现数学中化未知为已知的转化思想的妙用。 问题6：请你将这五个梯子按由陡到缓顺序排序。你又有什么办法？   追问：把水平宽度变的都相等，选什么数作为标准衡量呢？ 水平宽度的最小公倍数好找吗？化为最小公倍数是等比例放大，那可以等比例缩小吗？化为什么数最简单？ 把水平宽度都化成1  ，那铅直高度呢？ 学生计算变化后的铅直高度，一名学生回答。 追问：你是根据什么排出的顺序？ 预设：学生可能在发现水平宽度的公倍数不好找后，想到铅直高度4、5、6更好找到最小公倍数。教师肯定学生的思路，引导学生如果想要化水平宽度相等，还能化为什么数字简便？ 生成：学生先提出化为铅直高度相等的方法，我肯定学生的思路，提问：还有什么思路？学生先找最小公倍数，不容易找，我引导学生也可以等比例缩小，学生自然想到将水平宽度化为1. 问题7：根据以上分析，能否总结比较梯子倾斜程度的一般思路呢？ 总结：把水平宽度都化成1 ，铅直高度就化为。 越大梯子越陡。 我们发现倾斜角、铅直高度与水平宽度的比值都能刻画梯子的倾斜程度，它们之间一定有内在联系。 设计意图：突然将锐角和其对边与邻边的比值联系起来会很突兀，通过探究活动一，比较两个梯子变为比较多个梯子，情况更一般，引导学生选择简便数字，将水平宽度化为1，自然得出“越大梯子越陡”结论，从而为探究活动二做好铺垫。 探究活动（二） 探索直角三角形的边角关系 梯子靠墙的图形用数学的眼光可将它抽象成一个△，倾斜角是直角三角形中的锐角，铅直高度和水平宽度分别是的对边和的邻边。比值就转化为，问题转化为探究直角三角形中锐角与其对边与邻边比值的关系。 我们从特殊到一般展开研究。当时， 问题1：在△中，的对边与的邻边的比值是多少？ 问题2：改变直角三角形边的长度，保持度数不变，在△中，和的比值是否发生改变？ 追问：改变直角三角形的大小，但的对边与邻边的比值没有改变，为什么？ 总结：在△中，如果=30°，那无论边的长度如何，的对边与邻边的比值都是。 问题3：在含45°，60°锐角的不同的直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值是否相等？ 请你类比=30°的研究过程自主探索。 学生自主探究，展示交流。 设计意图：学生对含特殊角的直角三角形的三边比值很熟悉，通过类比30°的研究过程研究另外两个特殊角，学生可借助三边的比值探究，根据图形特征发现相似验证比值不变的本质，能根据研究特殊角时发现的结论自然提出对是一般角的情况的猜想。 问题4：当是一般角呢？你能提出什么猜想？ 我们借助几何画板研究。 第一步 当时，出示两个直角三角形中比值，移动点的位置，问：什么量变了？什么量没变？ 学生观察比值，提出发现。 追问：要想让比值改变，我们应该怎么做？ 第二步 改变的大小 学生观察比值，提出发现。 第三步 出示当等于几个确定度数的情况。 学生观察比值，提出发现。 追问：这样的直角三角形可以构造无数个，在任何一个直角三角形中，不变，的对边与邻边的比值都相等吗？为什么？ 总结： 30° 45° 60° 28.2° ... 1 0.54 ... 定值 变化，的对边与邻边的比值随之变化；确定，比值唯一确定。比值与角度之间似乎存在一种特殊的对应关系，这让你想起我们之前学过的哪个知识？ 学生回答:函数关系 我们学过一次函数、反比例函数，那比值是角度的什么函数呢？ 设计意图：用函数的观点理解正切是本节课的难点，学生对一般角与其对应的比值之间关系的认知不足，因此我借助几何画板进行动态演示，设计环环相扣的问题引导学生观看动态演示发现变化规律，利用相似理解唯一确定性，整体感知正切的函数性。 【环节三】形成概念，理解本质 在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值叫做这个锐角的正切三角函数。定义：在△中，，如果锐角确定，那么的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做的正切，记作：。即 。 问题1：和什么关系？ 是的正切函数，变化，随之变化，确定，唯一确定。因为自变量是直角三角形中的锐角，所以这一函数关系称为锐角三角函数，正切是我们研究的第一个锐角三角函数。 问题2：正切的概念涉及直角三角形的几个元素？ 正切揭示了直角三角形三个元素，的对边，的邻边之间的关系，是的正切函数。 设计意图：给出正切的定义后，利用探究活动二的表格启发学生关注和之间的函数关系，更深层面地理解正切反映的边角关系和正切符号的意义。 例1：如图1，在△中，，,求，的值. 图1 学生讲解思路，教师展示规范的解题过程。 问题3：利用正切概念，可以已知直角三角形的什么元素求出什么呢？ 通过后续学习，可以由的值进一步得知的度数。 问题4：和有什么关系？ 例2：如图2，在△中，，, ,求的长. 图 2 学生讲解思路，教师展示规范的解题过程。 问题5：，等于多少度呢？ 引导学生理解：已知的值，就相当于知道了的度数，那再知道一条直角边的长可以求另一条直角边，进一步求斜边。 设计意图：正切概念只体现出这三个量之间的等量关系，学生可能对正切反映边角关系的理解不够深刻。通过设问和引导，学生明确的值和的度数可以相互转化，会对直角三角形边角关系有更深刻的认识，也为后续学习解直角三角形做好铺垫。 总结： 1.正切揭示直角三角形的一种边角关系，涉及直角三角形的三个元素，已知两个元素可以求第三个元素。 2.正切是一个比（有顺序）。 3.的值随的变化而变化。 4.符号表示： ,，t, tan 【环节四】运用概念，深化理解 问题1：刻画梯子倾斜程度有什么方法？ 总结：刻画梯子倾斜程度的一般方法：①倾斜角，②即，的值越大，梯子越陡。 例3:下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 学生自主完成，讲解过程。 问题2：假如例3图中的两个扶梯是两座山坡，怎么刻画山坡的倾斜程度？ 给出坡角，坡度（坡比）的概念，举例计算坡度。 正切在生活中应用广泛，正切可以刻画梯子等物体、山坡的倾斜程度。 设计意图：通过运用正切刻画梯子、山坡的倾斜程度，体会学习正切的必要性和正切应用的广泛性。 学生自主完成达标检测： 1.在正方形网格中，的位置如图1所示，则=______ 2.如图2，在△中，,根据图中所给数据，=______. 图1 图2 3.如图3，某人从山脚下的点处走了1000米爬到了山顶的点处，已知点到山脚的垂直距离为600米，则该山坡的坡度为________ 4.如图4，在△中，，若,，则_______. 图3 图4 学生自主完成，核对答案。 设计意图：基于教学目标设置检测题目，检测学生对知识的理解、掌握与应用程度。 【环节五】总结梳理，规划单元 1. 回顾本节课研究了什么内容，得出什么结论？ 2. 经历怎样的研究过程获得了结论？研究方法是什么？ 学生回答，补充，教师出示研究结构图和本章知识结构图 。 设计意图：通过回顾本节课的研究内容、研究过程、研究方法，学生对正切的形成过程及概念有了更深层次的理解，进一步深化对直角三角形性质的认识，提出启发式问题引出正弦、余弦，呈现全章知识体系，激发学生对本章后续学习的兴趣。 【环节六】设计作业，拓广创新 基础达标作业： 1.在△中，，，则=_____ ,=_____. 2.在△中，， ,则_____. 能力提升作业： 如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正切值是____. 图1 拓展延伸作业： 如图2，在△中，， ，求的长. 图2 设计意图：促进不同层次学生的深度学习和能力发展。 6、 教学反思 本节课通过两个探究活动让学生经历正切概念的形成过程，用数学的眼光刻画梯子的倾斜程度，用数学的思维探究直角三角形的边角关系，用数学的语言表达梯子、山坡的倾斜程度，在探究和思考中更深层地理解正切的函数性和关系性，转化等数学思想在探究过程中自然运用，成功落实了教学目标。课堂气氛活跃，学生积极发言，表达条理，逻辑清晰，勇于探索新问题，展示了多种思路，最后学生对所学内容、方法、应用的总结令我惊喜。 让我印象深刻的环节是：在比较五个梯子倾斜程度的探究活动中，我提出问题“你有什么办法？”，一位女生首先提出了“把铅直高度都统一为它们的最小公倍数”，这是非常好的思路，但为引入正切概念，我选择肯定她的思路并询问“还有不同的思路吗？”引导学生想到化水平宽度相等。课下我回想这组梯子确实化铅直高度相等更简便，但这是特殊情况，我们引导学生的方向应该是解决问题的一般思路，如果铅直高度也有小数，同样不好找它们的最小公倍数，所以将铅直高度或水平宽度化为1是解决比较梯子倾斜程度问题的通性通法。为引入正切的概念，需要水平宽度化为1，越大，梯子越陡，其实，让铅直高度化为1，越小，梯子越陡，方法不同，但结果是一致的。如何更好地处理学生的生成，让学生的思路百花齐放，形成深度思考、主动表达的课堂，是我今后要努力的方向。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $