精品解析：河北省衡水市第二中学2025-2026学年高三一轮复习摸底检测数学试题

2025—2026学年高三一轮复习摸底检测 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存在直线，使得，. A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 7. 我们把满足下列两个条件的数列称为“数列”：①；②.设为数列的前项和，已知，，若，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 已知，为双曲线：的左、右焦点，点为上一点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为.若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）设是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的最大值为1 D. 在区间上单调递增 10. 已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 C. 动点的轨迹长度为 D. 若，，，均在同一球面上，则该球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，，满足，则______. 13. 设为抛物线：的焦点，过的直线与交于，两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为______. 14. 已知某种生物存在具有明显差异的两种类型，且两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本，统计该种生物的两项指标和得到样本，，，2，3，…，25.已知类型样本的变量的均值，的均值，，B类型样本的变量的均值，的均值，.记总样本的均值为，的均值为，且.若与存在线性相关，其线性回归方程为，则的预测值的方差估计值______. 附：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式. （2）求数列的前项和. 16. 如图，三棱锥的底面为等边三角形，，，点在PC上，且，点为的重心. （1）证明：平面PAB. （2）若平面平面ABC，求二面角的余弦值. 17. 为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，上半年一次（1月1日至6月30日），下半年一次（7月1日至12月31日）.每次消费2万元以上可以领取4000元补贴.通过调查可知，该市居民家庭对政策的总体了解率为；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策并产生消费意向的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭上半年发生消费行为的概率为，下半年发生消费行为的概率为. （1）求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率. （2）若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到8000元补贴，带动家庭可以拿1000元奖励；两个家庭合计拿到12000元补贴，带动家庭可以拿2000元奖励；两个家庭合计拿到16000元补贴，带动家庭可以拿3000元奖励.试估计该家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 18. 已知椭圆：的焦距为4，且经过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设为原点，，为上的两点，若直线OP，OQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：的面积为定值. （ⅱ）设为线段PQ的中点，点，在圆：上，求的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性. （2）设. （ⅰ）若，使不等式成立，求的取值范围. （ⅱ）若，且，比较与的大小，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三一轮复习摸底检测 数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的补集运算求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可求解. 【详解】对分子分母同乘，则， 所以，所以的虚部为. 故选：B. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数定义及性质变形，结合对数函数单调性比较大小. 【详解】由，得，， 由，得，又，则， 而函数在上单调递增，则，即. 故选：C 5. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出的解析式，再利用奇偶性求出，，结合即可求出. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象. 又函数为偶函数，所以，， 解得，. 因为，所以当时，取得最小值. 故选：B. 6. 已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存在直线，使得，. A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】对①，讨论的位置关系，结合面面垂直的判定定理分析；对②，分析时的位置关系判断；对③，分析时的位置关系判断；对④，讨论的位置关系，结合线面平行的判定及定义分析. 【详解】对于命题①，当时，作平面垂直于交线，则，； 当时，存在直线，使得，， 因此存在平面，使得，所以，命题①正确. 对于命题②，当时，若，则， 此时不存在平面，使得，，命题②错误. 对于命题③，当时，若，则与不垂直， 此时不存在直线，使得，，命题③错误. 对于命题④，当时，存在，，，所以，； 当时，存在无数条直线，使得，，命题④正确. 故选：A. 7. 我们把满足下列两个条件的数列称为“数列”：①；②.设为数列的前项和，已知，，若，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的定义列表分析即可. 【详解】要使的项数最多，则需每项最小. 根据数列的定义可知，当的项数最多时，. 又，，，变化如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 17 21 26 32 39 47 56 66 12 26 43 64 90 122 161 208 264 330 所以当时，的最大值为9. 故选：B. 8. 已知，为双曲线：的左、右焦点，点为上一点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为.若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，结合双曲线的定义求出各边长，在、中利用勾股定理求出，，最后在中勾股定理即可求出. 【详解】如图，设，则. 根据双曲线的定义可知，，. 设，则，所以，则. 在中，①. 在中，②. ①－②，得，则，. 在中，，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）设是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的最大值为1 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性及周期性，逐个分析选项，得出答案. 【详解】选项A：因为是定义在上的奇函数，所以，则，因此选项A正确； 选项B：假设的图象关于点对称， 则有，因此可得. 当时，，所以， 显然与矛盾，假设不成立， 因此的图象不关于点对称，因此选项B错误； 选项C：因为是定义在上且周期为4的函数，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以， 所以的图象关于点对称， 当时，，所以在上的最小值为， 因为的图象关于点对称， 所以在上的最大值为1，又， 所以在一个周期上的最大值为1，则的最大值为1，因此选项C正确. 选项D：根据二次函数的性质与函数图象关于点对称可知，在上单调递增； 又是定义在上且周期为4的函数，且，， 所以在区间上的单调性与其在区间上的单调性相同， 则在区间上单调递增，因此选项D正确. 故选：ACD 10. 已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式及条件求A即可判断AB选项，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由余弦定理求出的范围判断D即可. 【详解】由题意得，所以，则. 由题设及基本不等式可得 解得，又，所以， 可得，即解得，故A错误. 将代入， 可得，即，所以，故B正确； 由正弦定理得，且， 得. 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故C正确； 由余弦定理得， 又，可得，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知正四棱台的侧面积为9，，，为AD的中点，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则（ ） A. 正四棱台的体积为 B. 过，，三点的平面截该正四棱台所得截面的周长为 C. 动点的轨迹长度为 D. 若，，，均在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过侧面积求出侧棱长，再求出高，根据台体体积公式计算体积，A选项可判断. 作出过，，三点的平面截棱台的截面，然后求该截面的周长，B选项可判断. 利用直线与平面所成角的正切值为求出的长度，确定的轨迹，C选项可判断. 建系，求出球的方程，计算表面积，D选项可判断. 【详解】因为正四棱台的侧面积为9，所以每个侧面的面积为. 设正四棱台的侧棱长为，则，解得. 设正四棱台的高为，则. 故正四棱台的体积，A正确. 由上述分析易知，侧面的高为. 如图，取的中点，连接，，，则. 因为，所以，所以四点，，，共面， 所以过，，三点的平面截该正四棱台所得截面为等腰梯形， 其中，，， 所以其周长为，B正确. 如图，取的中点，连接. 易知，，又， 所以平面.因为平面， 所以平面平面. 过作，垂足为，则平面. 连接，则为直线与平面所成的角. 在中，，. 过点作于点，则. 因为，所以. 因为直线与平面所成角的正切值为. 所以，则， 所以动点在以为圆心，1为半径的圆上. 易求得， 故动点在侧面内的轨迹不是整个圆， 因此动点的轨迹长度小于，C错误. 以正方形的中心为原点， 过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴. 该正四棱台过点的高所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. 设过，，，的球的球心，半径为， 则 解得所以，D正确. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，，，满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由，得，又向量是单位向量， 两边平方得，即，所以. 故答案为： 13. 设为抛物线：的焦点，过的直线与交于，两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，直线的方程为，根据抛物线定义得，，结合，得到，再解方程即可． 【详解】由题意知，的准线方程为， 设，，直线的方程为， 由可知， 根据抛物线的定义可知，， 因为点在第一象限，所以直线的斜率. 所以， 即，解得． 故答案为：． 14. 已知某种生物存在具有明显差异的两种类型，且两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本，统计该种生物的两项指标和得到样本，，，2，3，…，25.已知类型样本的变量的均值，的均值，，B类型样本的变量的均值，的均值，.记总样本的均值为，的均值为，且.若与存在线性相关，其线性回归方程为，则的预测值的方差估计值______. 附：，. 【答案】 【解析】 【分析】利用方差公式求出，，利用平均数公式求出，，利用公式求出， 利用公式求出，由，利用公式求出. 【详解】两种类型的数量比为，现按分层随机抽样的方法抽取容量为25的样本， 则两种类型的数量为，两种类型的数量为， 设类型样本的方差为，类型样本的方差为，总样本的方差为， ，，，， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，. ，， ， ， ， ，的预测值的方差估计值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式. （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的关系得到，利用，求出，验证，从而得到是等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）先求出目标数列，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由①，得当时，②. ①－②得，则. 将代入，得到，，， ，，， 故当时，也适合， 可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，故. 【小问2详解】 ，， ，，， ， 数列的前项和为 . 16. 如图，三棱锥的底面为等边三角形，，，点在PC上，且，点为的重心. （1）证明：平面PAB. （2）若平面平面ABC，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 如图，连接并延长，交于点，连接， 因为点为的重心，所以. 又，所以，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，由线面平行的判定定理证明即可； （2）取的中点，连接，由面面垂直的性质可得平面，建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 连接，则，且重心在上. 又因为，所以，所以两两垂直. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又是等边三角形，，， 所以，，则，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面的法向量为， 由上述分析易知平面， 所以为平面的一个法向量， 于是， 由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 17. 为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，上半年一次（1月1日至6月30日），下半年一次（7月1日至12月31日）.每次消费2万元以上可以领取4000元补贴.通过调查可知，该市居民家庭对政策的总体了解率为；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策并产生消费意向的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭上半年发生消费行为的概率为，下半年发生消费行为的概率为. （1）求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率. （2）若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到8000元补贴，带动家庭可以拿1000元奖励；两个家庭合计拿到12000元补贴，带动家庭可以拿2000元奖励；两个家庭合计拿到16000元补贴，带动家庭可以拿3000元奖励.试估计该家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由乘法公式得到，再根据全概率公式得到，最后根据条件概率公式代入计算即可； （2）根据题意，设拿到的奖励金额为元，可取，计算概率，再得到期望即可． 【小问1详解】 设事件“居民家庭了解政策”，事件“居民家庭有消费意向”. 由题意，得，，，， 所以. 由全概率公式，得， 所以， 故在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为； 【小问2详解】 记该家庭拿到的补贴为元，受带动的家庭拿到的补贴为元，拿到的奖励金额为元. 由题意得， ， ， ， 所以， ， ， 则， 所以， 因此，估计该家庭可以拿到元奖励． 18. 已知椭圆：的焦距为4，且经过点. （1）求椭圆的标准方程. （2）设为原点，，为上的两点，若直线OP，OQ的斜率之积为. （ⅰ）证明：的面积为定值. （ⅱ）设为线段PQ的中点，点，在圆：上，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线OP，OQ的斜率分别为，，则. 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设点在点上方. 若点在第一象限，则点在第四象限. 由，得，. 设，. 由解得或（舍），所以. 同理可得所以. 所以. 若点在第二象限，则点在第三象限，同理可得，， 所以. 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，，. 联立得方程组 消去并整理，得， 则， 所以，. 又 ， 整理，得. 所以. 又点到直线PQ的距离， 所以. 综上可知，的面积为定值. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由焦距求得，由关系及点在椭圆上列方程组求解，得到椭圆标准方程； （2）（i）分斜率存在与否，联立椭圆方程，用斜率条件求△OPQ 面积；（ii）先求中点轨迹，再用参数法求∠AMB 余弦的最小值. 【小问1详解】 由题意，知 即 解得或（舍）， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）解：当直线PQ的斜率存在时，. 设，则，， 所以. 当直线PQ的斜率不存在时，或，，显然满足. 故中点的轨迹方程为. 圆的方程可化为1， 则，半径. 设， 则. 令， 则. 当时，取得最小值， 此时，当直线AM与圆相切时，取得最大值， 即 又为锐角， 所以， 故的最小值为. 19. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性. （2）设. （ⅰ）若，使不等式成立，求的取值范围. （ⅱ）若，且，比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）（ⅰ）； （ⅱ），证明： 由（ⅰ）可知，当时，在上恒成立， 即当时，在上恒成立. 令. 由整理，得， 则，可得， 所以，同理. 故， 所以，即， 所以，. 当时，，单调递增. 当时，设， 则， 令，则， 所以在上单调递减，则，即， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在，使得. 当时，，即； 当时，，即. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 故存在唯一的，使得， 所以当时，；当时，. 由上述分析知，，且，所以，即. 因为，所以. 又，所以，则， 即，所以. 综上可知，. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数与单调性的关系计算即可求解； （2）（ⅰ）由题意可得在上有解，令，求导，根据导数求得最小值后即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，在上恒成立，令，由题意可得，进而可得，对函数求导，再令，，求导，根据导数可得，即可得证. 【小问1详解】 当时，，则其定义域为，. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （ⅰ）. 由不等式可知，不等式在上有解， 即在上有解， 令， 则. 令， 则， 所以在上单调递增，且. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，故的取值范围为； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $