专题03 函数概念及其表示寒假讲义-2026年高一数学人教A版必修第一册

专题03 函数的概念及其表示 高一寒假数学复习资料 专题03 函数的概念及其表示 一、知识回顾： 1．函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2．函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3．相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 二、考点聚焦： 地 城 考点01 相等函数判断 【经典例题】 1．（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是；对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是；对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是；对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：ACD 2．（多选）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：对于任意，均存在唯一的与之对应，符合函数的定义，可知，是一个函数，故A正确；对于选项BC：因为，故B错误，C正确；对于选项D：由定义可知，故D正确；故选：ACD. 【变式训练】 1．（多选题）与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】定义域为，且.对于A：，定义域也为，故A正确；对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；故选：AC. 2．下列四组函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项A错误；对于选项B:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数, 故选项B错误；对于选项C:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故选项C错误；对于选项D:函数的定义域为的定义域为，定义域相同，且，解析式相同，故是同一函数，故选项D正确；故选：D. 3．（多选）下列每组函数不是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于选项A：的定义域是，的定义域为R，定义域不同，故不是同一函数；对于选项B：，对应法则不同，故不是同一函数；对于选项C：由得或，所以的定义域是，由得，所以的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；对于选项D： 与三要素相同，仅表示自变量的字母不同，是同一函数.故选：ABC 【巩固练习】 1．下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：，合题意；对于B：定义域为，不合题意；对于C：当为偶数时，，不合题意；对于D：当为偶数时，定义域为，不合题意；故选A. 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误；对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误；对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误；对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确.故选：D. 3．下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，，，这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D正确.故选：D. 【经典例题】地 城 考点02 函数的定义域 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得且，所以函数的定义域是. 故选：C. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】由题可知，解得且.故选：D 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是．故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为. 故选：C 【变式训练】 1．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为： 2．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为.故答案为：. 3．函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】由题意可得解得或.故答案为：. 4．若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（    ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 【答案】D 【详解】函数的定义域是的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选：D 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以中，，解得：， 所以函数的定义域为.故选：B 6．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域是，所以对于有，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：. 【巩固练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，即，定义域为.故选：B 2．函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】由函数解析式有意义可得且,所以函数的定义域是且，故选：A. 3．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题设，可得且，所以函数定义域为.故答案为： 4.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，解得，且，所以函数的定义域为.故选：D. 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以中，，解得：， 所以函数的定义域为.故选：B 6．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，由，有，即函数的定义域为，令，解得，函数的定义域为.故选：C 7．函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得且．故定义域为，故答案为： 地 城 考点03 函数的解析式 【经典例题】 1．已知，则的解析式为 . 【答案】 【详解】令，则，所以，故. 故答案为： 2．已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，∴，故选：A. 3．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 . 【答案】 【解析】根据题意可知，又恒相等，化简得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式为.故答案为：. 【变式训练】 1．已知，则 ． 【答案】 【详解】由得，故答案为： 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，∴，故选：A. 3．已知函数，则 . 【答案】 【详解】令，所以，所以，所以，所以，故答案为：. 4．已知函数，那么的表达式是 . 【答案】 【详解】，令，则，故，故，.故答案为. 5．若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，则，故，所以. 故选：C 6．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，由，则，即.故选：C. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，，．故选C. 8．已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【详解】设，，，．又，.故答案为： 【巩固练习】 1．已知函数，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】令，则，即.故答案为：. 2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，；所以.故选：D. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，，则，，所以， 所以的解析式为：.故选：B. 4．函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则.故选：A. 5．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【详解】令（或），，，，.故选；B 6．已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，（）∴，即， 所以，解得，， ∴，故选B． 7．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）．因为图象过原点，所以，，所以．故选：A 8．已知函数是一次函数，且，则的解析式为 . 【答案】或 【解析】设()，则，则，解得，，或，，故或. 故答案为或. 地 城 考点04 函数求值 【经典例题】 1.已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【详解】令得，故，故选：D 2.已知，则______． 【答案】0 【详解】，．故答案为：0． 3．设函数，则 ． 【答案】 【详解】在中，，故答案为. 【变式训练】 1．已知则（ ） A． B．7 C．10 D．12 【答案】C 【详解】.故选：C 2．已知，那么＝ ． 【答案】 【详解】由题意可得：，故.故答案为：. 3．设函数，则的值为 ； 【答案】1 【详解】,,故答案为：1 4．已知函数的图象如图所示，则 . 【答案】 【详解】由函数图象知，.故答案为： 5.已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【详解】函数，所以.故选A 【巩固练习】 1.已知，则______. 【答案】12 【详解】，则，则. 2．设函数，则 . 【答案】/ 【详解】因为，则，所以，.故答案为. 3．已知函数，则 . 【答案】7 【详解】由已知可得，，所以.故答案为：7. 4．已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】当时，，解得（舍）；当时，，解得或（舍），所以实数的值为3，故答案为：3. 5．设函数，则，则b=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，或，（舍）或，， 故选：D. 6．已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】由函数，可知．故选：C． 7．函数，则 【答案】1 【详解】根据题意，，则故答案为：1． 8．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】由，得，所以， .故选：B 三、达标检测 1.函数的定义域是 A. (0,1] B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意知 ，则函数的定义域是. 故选D. 2.函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，解得，故选：D 3.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故选：A 4.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为，所以，解得，故或， 所以的定义域为：.故选：C. 5.函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意得解得，所以函数定义域为， 故答案为：. 6.函数的定义域为____________. 【答案】 【详解】因为的定义域为 . 故答案为： 7.已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【详解】令得，故，故选：D 8.已知，则______. 【答案】12 【详解】，则，则. 故答案为：12. 9.已知，则______． 【答案】0 【详解】，．故答案为：0． 10.已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【详解】函数，所以.故选A 11.设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ____． 【答案】 【详解】由奇函数的性质可知，，即，又，得， 所以.故答案为： 12．根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①；②；③； 【详解】（1）在函数中，，则， 因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为. （2）①函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. ②函数的定义域为，， 当且仅当时取等号，所以函数的值域为. ③函数的定义域为，， 所以函数的值域为. 13．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 【详解】（1），故 （2）由（1）可得，对称轴为， 故当时，，. 即的最大值为，最小值为. 试卷第1页，共3页 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 函数的概念及其表示 高一寒假数学复习资料 专题03 函数的概念及其表示 一、知识回顾： 1．函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2．函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3．相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 二、考点聚焦： 地 城 考点01 相等函数判断 【经典例题】 1．（多选）中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（多选）南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“这个精确推算值”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”.已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（    ） A．，是一个函数 B．当时， C． D． 【变式训练】 1．（多选题）与表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列四组函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列每组函数不是同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习】 1．下列函数中与是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【经典例题】地 城 考点02 函数的定义域 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 3.已知函数的定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数的定义域为 . 2．函数的定义域为 . 3．函数的定义域是 ． 4．若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（    ） A．[1,6] B．[2,5] C．[2,6] D．[4,7] 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【巩固练习】 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A．且 B． C．且 D． 3．函数的定义域为 . 4.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为，则的定义域为 ． 地 城 考点03 函数的解析式 【经典例题】 1．已知，则的解析式为 . 2．已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 . 【变式训练】 1．已知，则 ． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则 . 4．已知函数，那么的表达式是 . 5．若函数满足，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为二次函数且，，则 ． 【巩固练习】 1．已知函数，则的解析式为 ． 2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 5．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 6．已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 7．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是一次函数，且，则的解析式为 . 地 城 考点04 函数求值 【经典例题】 1.已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 2.已知，则______． 3．设函数，则 ． 【变式训练】 1．已知则（ ） A． B．7 C．10 D．12 2．已知，那么＝ ． 3．设函数，则的值为 . 4．已知函数的图象如图所示，则 . 5.已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 【巩固练习】 1.已知，则______. 2．设函数，则 . 3．已知函数，则 . 4．已知函数，若，则实数的值为 ． 5．设函数，则，则b=（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．函数，则 8．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2024 D．2025 三、达标检测 1.函数的定义域是 A. (0,1] B. C. D. 2.函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4.函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5.函数的定义域为______． 6.函数的定义域为____________. 7.已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 8.已知，则______. 9.已知，则______． 10.已知函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 11.设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ____． 12．根据以下要求求取定义域与值域 (1)已知的定义域为，求的定义域. (2)求下列函数的值域 ①；②；③； 13．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值和最小值. 试卷第1页，共3页 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $