专题01 集合与常用逻辑用语寒假讲义-2026年高一数学人教A版必修第一册

专题01 集合与常用逻辑用语 高一寒假数学复习资料 专题01 集合与常用逻辑用语 一、知识回顾： （一）集合与元素 1．集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2．元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4．常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R （二）集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 （三）集合的基本运算 1．集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2．集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． （四）充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2．充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 3.命题对应集合，命题对应的集合，则 （1）是的充分条件； （2）是的必要条件； （3）是的充分必要条件； （4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系． （五）全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 2．存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 3．命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （2）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （3）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 二、考点聚焦： 地 城 考点01 集合基本关系 【经典例题】 1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 2．已知集合，那么的真子集的个数是 A．15 B．16 C．3 D．4 3．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．M＝，N＝ B．M＝，N＝ C．M＝，N＝ D．M＝，N＝ 4．若集合与满足，则实数 ． 【变式训练】 1．（多选）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 2．(23-24高一上·山西吕梁·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·贵州遵义·月考) （多选）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 2．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是 A．1 B．﹣2 C．6 D．2 地 城 考点02 集合基本运算 【经典例题】 1．(24-25高一上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)若集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．(20-21高一上·云南德宏州·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·山西名校联合体·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练】 1．(23-24高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(23-24高一上·山西阳泉·期末)设是小于的正整数，，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·山西朔州·期末)设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高一上·浙江91高中联盟·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·山西长治·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·山西晋中·期末)若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．已知集合,.若,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知集合，则（   ） A． B． C．且 D． 4．(20-21高一上·福建福州晋安区·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·山西·期中)设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．U 6．(23-24高一上·山西运城·期末)设集合，则（    ） A． B．R C． D． 7．(24-25高一上·河南新乡·)设全集，集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 8．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 9．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 常用逻辑用语 【经典例题】 1．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·山西大同浑源县第七中学校·期末)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．(21-22高一上·浙江S9联盟·期中)（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．(25-26高一上·山西大同·期中)已知命题，则命题的否定是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·山西朔州怀仁第一中学校等·期末)命题p：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．(24-25高一上·山西·期末)命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西吕梁·期末)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·山西吕梁·期末)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．(23-24高一上·山西大同·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．(24-25高一上·江苏苏州实验中学科技城校·调研)命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．(21-22高二下·江西上饶重点中学协作体·期末)命题“”的否定形式是（    ） A． B． C． D． 6．(21-22高一上·广东启光卓越联盟·期中)命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（多选）下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 地 城 考点03 充要条件 【经典例题】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(25-26高一上·上海交通大学附属中学·)设，则“且”是“”的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(23-24高一上·山西忻州·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(20-21高一上·安徽宿州十三所重点中学·期末)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(23-24高一上·天津南开区·)已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．(24-25高一上·山西·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(24-25高一上·山西太原·期末)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)已知函数，的定义域均为，则“，均为增函数”是“为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．(23-24高一上·山西长治·期末)“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．(23-24高一上·安徽淮南兴学教育·)若“”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【巩固练习】 1．(18-19高一上·上海交通大学附属中学·期末)“成立”是“成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 2．(22-23高一上·浙江91高中联盟·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(23-24高一上·山西太原·期末)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(23-24高一上·山西朔州怀仁第一中学校·期末)已知且，则“”是“函数是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点03 综合解答 【经典例题】 1．(25-26高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·月考)已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 2．(24-25高一上·江西多校·月考)已知全集，集合，． (1)若，求，； (2)若，求a的取值范围． 3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知非空集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 4．(23-24高一上·四川资阳雁江区伍隍中学·月考)已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【变式训练】 1．(24-25高一上·山西晋中·期中)设全集， 求：，. 2．(24-25高一上·山西晋城·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知非空集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 4．(24-25高一上·天津四校·期末)已知集合 ，集合 ，集合或. (1)求、、. (2)若“”是“”的必要条件， 求实数a的取值范围. 5．(23-24高一上·山西吕梁·期末)已知集合，集合． (1)当时，求； (2)请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·海南三亚·期中)已知集合，集合. (1)若，求，； (2)若集合是的子集，求实数的取值范围. 2．已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 3．(23-24高一上·山西运城·期末)已知全集，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 4．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)设集合，，全集． (1)当时，求和； (2)若命题，命题，且是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 三、达标检测 1．(23-24高一上·湖南张家界·期末)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(23-24高一上·山西阳泉·期末)命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数，“，”是“最大值为2024”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．的充要条件是 D．若，则至少有一个大于1 8．(24-25高一上·山西晋城·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·山西·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)（多选）已知集合，，则的真子集个数可能为（    ） A．1 B．3 C．7 D．15 11．(24-25高一上·山西朔州应县四中·期中)已知全集，集合，集合，集合. (1)求； (2)若，求实数m的取值范围 12．(24-25高一上·山西运城·期末)设集合，． (1)当时，求，； (2)当时，求实数的取值范围． 13．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15．(23-24高一上·山西运城·期末)已知全集，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $专题01 集合与常用逻辑用语 高一寒假数学复习资料 专题01 集合与常用逻辑用语 一、知识回顾： （一）集合与元素 1．集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2．元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4．常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R （二）集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 （三）集合的基本运算 1．集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2．集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． （四）充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2．充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 3.命题对应集合，命题对应的集合，则 （1）是的充分条件； （2）是的必要条件； （3）是的充分必要条件； （4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系． （五）全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 2．存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 3．命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （2）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （3）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 二、考点聚焦： 地 城 考点01 集合基本关系 【经典例题】 1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4 【答案】B 【详解】选项A，C不满足集合的确定性；集合B正方形是确定的，故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B． 2．已知集合，那么的真子集的个数是 A．15 B．16 C．3 D．4 【答案】A 【详解】集合A里有4个元素，那么它有个真子集，故选A 3．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．M＝，N＝ B．M＝，N＝ C．M＝，N＝ D．M＝，N＝ 【答案】D 【详解】M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；M＝，M集合的元素表示点的集合，N＝，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；M＝集合M的元素是点，N＝，集合N的元素是点，故C错误；M＝，N＝根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；故选：D． 4．若集合与满足，则实数 ． 【答案】或或 【详解】由可得， 当时，，若，集合A不成立；若，，成立； 当时，，若，；若，，均成立； 当时，或，若，成立；若，集合A不成立； 故答案为：或或. 【变式训练】 1．（多选）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】ACD 【详解】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合． 故选：ACD. 2．(23-24高一上·山西吕梁·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，，，B对，ACD错.故选：B． 3．(23-24高一上·贵州遵义·月考) （多选）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 【答案】ABD 【详解】若，则，，A正确．若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确．若，则，所以，所以，．若，即，此方程无实数解，所以，若，即，此方程无实数解，所以，若，即，此方程无实数解，所以，所以若，则，，，且x，，，互不相等．所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确．故选：ABD． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)下列命题中正确的是（   ） A．方程的解的集合为 B．很小的正整数可以构成集合 C．若，，则 D．不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误；对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误；对于选项C，，故，故C正确；对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误.故选：C 2．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意知， 所以中元素的个数为4.故选：C. 3．由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是 A．1 B．﹣2 C．6 D．2 【答案】C 【详解】当a=1时，由a2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素， 当a=6时，由a2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A，A中含有3个元素， 当a=2时，由a2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 故选C． 地 城 考点02 集合基本运算 【经典例题】 1．(24-25高一上·北京顺义牛栏山第一中学·月考)若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以.故选：B 2．(20-21高一上·云南德宏州·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，故选：A 3．设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选: 4．(24-25高一上·山西名校联合体·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，∵，∴.故选：D. 5．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成，所以集合表示为.故选：A. 【变式训练】 1．(23-24高一上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，，所以.故选：B 3．(23-24高一上·山西阳泉·期末)设是小于的正整数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，而，所以.故选：B 4．(23-24高一上·山西朔州·期末)设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，.故选：A. 5．(22-23高一上·浙江91高中联盟·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，又.故.故选：A 6．(23-24高一上·山西长治上党好教育联盟·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，则．故选：A． 7．(24-25高一上·山西晋中·期末)若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，故. 故选：C. 8．已知集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，解绝对值不等式，可得， 集合，解分式不等式，可得， 则，故选：B. 9．已知集合,.若,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,，，则，解得. 故选：D. 【巩固练习】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由.故选：A 2．(24-25高一上·山西吕梁·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由.故选：B 3．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知集合，则（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【详解】根据交集含义得.故选：B. 4．(20-21高一上·福建福州晋安区·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故选：C 5．(23-24高一上·山西·期中)设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．U 【答案】C 【详解】因为全集，集合，，所以，.故选：C 6．(23-24高一上·山西运城·期末)设集合，则（    ） A． B．R C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 所以.故选：D. 7．(24-25高一上·河南新乡·)设全集，集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意，全集，因为，可得，所以，所以的子集个数为个.故选：B. 8．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合，若，符合条件的实数的值组成集合，则集合的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．8 D．7 【答案】D 【详解】.当时，；当时，； 当时，；，所以集合的真子集个数是：.故选：D 9．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即．因为，由，得，所以．故选：A. 地 城 考点02 常用逻辑用语 【经典例题】 1．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】“”的否定是，故选：A 2．(24-25高一上·山西大同浑源县第七中学校·期末)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知：命题“，”的否定是，.故选：C 3．(21-22高一上·浙江S9联盟·期中)（多选）下列命题中为假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】解：对于A：当时，故A错误； 对于B：若，则，即不存在，使得，故B错误； 对于C：当时，故C错误； 对于D：当时，，故D正确； 故选：ABC 【变式训练】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，.故选：B 2．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)已知命题，则命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题得命题的否定是.故选：A. 3．(24-25高一上·山西朔州怀仁第一中学校等·期末)命题p：，，则是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题p：，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以是：，.故选：C 4．(24-25高一上·山西·期末)命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】含量词的命题的否定是换量词，否定结论，故其否定为．故选：D． 5．(24-25高一上·山西NT20名校联合体·期末)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“”的否定是“”.故选：A. 6．已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题.对于而言，令，，，由零点存在性定理可知，存在，使得，故是真命题，是假命题.综上，和都是真命题.故选：B 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西吕梁·期末)命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为.故选：A 2．(23-24高一上·山西吕梁·期末)命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题“，”的否定为：命题“，”．故选：A． 3．(23-24高一上·山西大同·期中)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题“，”的否定是“，”，故选:A． 4．(24-25高一上·江苏苏州实验中学科技城校·调研)命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论，所以命题，的否定是，.故选：C. 5．(21-22高二下·江西上饶重点中学协作体·期末)命题“”的否定形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原命题的否定为：，所以C正确.故选：C. 6．(21-22高一上·广东启光卓越联盟·期中)命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题的否定为，，故选:C． 7．（多选）下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【详解】对于A，因为时，不成立，所以A为假命题；对于B，因为，但，所以B是假命题，对于C，显然对于二次方程，，所以有实根，故C是真命题；对于D，当时，成立，故D为真命题.故选：AB. 地 城 考点03 充要条件 【经典例题】 1．(25-26高一上·山西太原·期中)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】或，集合是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2．(25-26高一上·上海交通大学附属中学·)设，则“且”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】且，则，但，不能推出且，例如：，满足，但.故选：. 3．(23-24高一上·山西忻州·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A. 4．(20-21高一上·安徽宿州十三所重点中学·期末)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，则，解得，故选：B. 【变式训练】 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，即充分性成立；若，例如，可得，满足题意，但，即必要性不成立；综上所述：“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．(23-24高一上·天津南开区·)已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，此时满足，，但，充分性不成立， 当，时，相加得，即，必要性成立，故是的必要不充分条件.故选：B 3．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】因为在上单调递增，所以由可知，若，显然不能得到， 反之的情况下，若，，显然不能得到，故“”是“”的既不充分又不必要条件．故选：D. 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵，∴，即.∵，∴，∵.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A． 5．(24-25高一上·山西·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得，所以“”不是“”的充分条件；若，则，故“”是“”的必要条件，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B 6．(24-25高一上·山西太原·期末)“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立；而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：B 7．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则，但当时，，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 8．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)已知函数，的定义域均为，则“，均为增函数”是“为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由均为上的增函数，得为增函数，即“均为增函数”是“为增函数”的充分条件；反之，此时为增函数，但是为减函数，因此“均为增函数”是“为增函数”的充分不必要条件. 故选：A 9．(23-24高一上·山西长治·期末)“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为，则在上恒成立，故满足，解得，由成立得一定成立，反之成立时，不一定成立，所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.故选：B 10．(23-24高一上·安徽淮南兴学教育·)若“”为假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题设命题为假，则为真，所以，即在上恒成立，又在上递增，故，所以.故答案为： 【巩固练习】 1．(18-19高一上·上海交通大学附属中学·期末)“成立”是“成立”的 条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要） 【答案】充分非必要 【详解】因为，所以，因为⫋所以“成立”是“成立”的充分非必要条件.故答案为充分非必要 2．(22-23高一上·浙江91高中联盟·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得或，推不出，当时，一定成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B. 3．(23-24高一上·山西太原·期末)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，如，有，当时，如，故是的既不充分也不必要条件.故选：D. 4．(23-24高一上·山西朔州怀仁第一中学校·期末)已知且，则“”是“函数是增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，又因为是增函数，所以是增函数；当是增函数时，或，所以“”是“函数是增函数”的充分不必要条件，故选：A. 地 城 考点03 综合解答 【经典例题】 1．(25-26高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·月考)已知集合 (1)若，写出的所有子集 (2)若集合中只含有一个元素，求的值． 【详解】（1）当时，集合，解方程得或， 则集合，其子集有. （2）当时，集合，解方程得， 则集合，满足要求； 当时，方程有两个相同的解，即，解得， 代入得方程，解得，则集合，满足要求. 综上，的值为或. 2．(24-25高一上·江西多校·月考)已知全集，集合，． (1)若，求，； (2)若，求a的取值范围． 【详解】（1）当时，，则或， 因为，所以； （2）当时，成立，此时，解得， 当时，由，得，解得， 综上，. 3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知非空集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【详解】（1）若，可得，又， 所以，. （2）若是的必要不充分条件，则， 所以，解得，即， 所以a的取值范围为. 4．(23-24高一上·四川资阳雁江区伍隍中学·月考)已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，命题，不等式恒成立， 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. （2）根据题意，命题，使成立， 则，即， 或， 又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假， ①当真假时，，解得； ②当假真时，，解得. 综上，实数的取值范围为. 【变式训练】 1．(24-25高一上·山西晋中·期中)设全集，求，. 【详解】由，得， 而全集，则或，所以. 2．(24-25高一上·山西晋城·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以，. （2）因为， 当时，，解得，满足； 当时，，解得， 综上所述：的取值范围是或. 3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知非空集合，. (1)若，求，； (2)若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【详解】（1）若，可得，又， 所以，. （2）若是的必要不充分条件，则， 所以，解得，即， 所以a的取值范围为. 4．(24-25高一上·天津四校·期末)已知集合 ，集合 ，集合或. (1)求、、. (2)若“”是“”的必要条件， 求实数a的取值范围. 【详解】（1）由，解得或， ，解得， 所以，或， 又因为，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，即时，,显然不满足题意； 当时，即时，,解得：,即， 所以实数a的取值范围为 5．(23-24高一上·山西吕梁·期末)已知集合，集合． (1)当时，求； (2)请在下面两个条件中任选一个，作为已知条件，求实数k的取值范围（全选按照第一个给分） 条件：①“”是“”的充分条件；②． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以，当时，， 所以； （2）若选①： 由“”是“”的充分条件，可得， 由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时，由可得，，解得． 综上所述，或． 若选②： 由，可得，．由（1）知， 当，即，时，显然有，满足题意， 当，即时， 由可得，，解得． 综上所述，或． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·海南三亚实验中学·期中)已知集合，集合. (1)若，求，； (2)若集合是的子集，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，而， 则，， 所以或. （2）由， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 综上实数的取值范围是. 2．已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【详解】（1）时，，又，因此，； （2），. ①时，，解得； ②时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 3．(23-24高一上·山西运城·期末)已知全集，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【详解】（1）依题意得， 当时，，即集合B为函数的值域， 因为函数对称轴为， 可知时，时，， 所以，可得． （2）由（1）知，，集合B为函数的值域，对称轴为， 可知时，时，，所以， 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，解得：，即实数a的取值范围为． 4．(25-26高一上·山西大同卓越大联考·期中)设集合，，全集． (1)当时，求和； (2)若命题，命题，且是的必要且不充分条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可知：集合， 当时，则集合， 可得，或， 所以或. （2）若是的必要且不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 且集合，，则，解得， 所以实数的取值范围为. 三、达标检测 1．(23-24高一上·湖南张家界·期末)命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B. 2．(23-24高一上·山西阳泉·期末)命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】存在量词命题“”的否定为：.故选：D 3．使成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取时，可知，但，故是的不充分条件，故A错误；对于B，取，可知，但，故是的不充分条件，故B错误；对于C，由，所以，反之不成立，故C正确；对于D，当时，由，得，故是的不充分条件，故D错误.故选：C. 4．设，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，但，不一定有，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B. 5．在中，“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，成立．若当时，满足．即由“”能推出“”；反之不一定成立.所以，“”是“”的充分不必要条件．故选A 6．已知函数，“，”是“最大值为2024”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“，”不一定有“最大值为2024”，有可能不存在，使得，所以不满足充分性；若“最大值为2024”，则“，”恒成立，所以必要性成立，所以“，”是“最大值为2024”的必要不充分条件.故选：B. 7．（多选）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“” C．的充要条件是 D．若，则至少有一个大于1 【答案】BD 【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件；对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误；对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确；故选：BD. 8．(24-25高一上·山西晋城·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以集合，而，则.故选：B. 9．(24-25高一上·山西·期末)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得，所以，所以， 故选：C 10．(25-26高一上·山西大同灵丘豪洋中学等校·期中)（多选）已知集合，，则的真子集个数可能为（    ） A．1 B．3 C．7 D．15 【答案】BC 【详解】当且时，，则，真子集的个数为； 当时，，则，真子集的个数为； 当时，，此时，真子集的个数为. 综上，的真子集个数可能为3或7.故选：BC. 11．(24-25高一上·山西朔州应县四中·期中)已知全集，集合，集合，集合. (1)求； (2)若，求实数m的取值范围 【详解】（1）， 或． ∴或； （2）因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 12．(24-25高一上·山西运城·期末)设集合，． (1)当时，求，； (2)当时，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，， 所以或， 则，． （2）由， 若，则，可得，此时； 若，则且，可得， 综上，实数的取值范围是． 13．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， 所以，或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围. 14．(25-26高一上·山西晋中部分学校·)已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， 所以，或， （2）由“”是“”的充分不必要条件， 可得：是的真子集， 因为，即不是空集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围. 15．(23-24高一上·山西运城·期末)已知全集，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【详解】（1）依题意得， 当时，， 即集合B为函数的值域， 因为函数对称轴为， 可知时，时，，所以， 可得． （2）由（1）知，，集合B为函数的值域，对称轴为， 可知时，时，，所以， 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，解得：， 即实数a的取值范围为． 试卷第1页，共3页 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $