精品解析：上海市控江中学2025-2026学年高一上学期期末质量调研数学试卷

控江中学2025学年度第一学期高一年级期末质量调研 数学试卷 （2026年1月） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合 ，，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的定义去求， 【详解】代表整数集，所以， 故答案为： 2. 若，则角________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的特殊值与特殊角的关系，结合角的范围即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 3. 关于x的不等式 的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式进行移项通分，然后转化为整式不等式求解. 【详解】因为不等式，所以，即， 所以或，解得或， 所以或，则解集为. 故答案为：. 4. 若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的定义进行求解即可. 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 故答案为： 5. 已知一个扇形的周长为，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求圆心角. 【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为， 则. 所以扇形的圆心角为. 故答案为： 6. 已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，将转化为，代入解析式即可． 【详解】因为奇函数满足，当时，有， 所以． 故答案为：． 7. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用整体法及诱导公式求函数值即可. 【详解】由. 故答案为： 8. 函数的严格递减区间是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数复合函数的单调性确定严格递减区间. 【详解】由， 由在上单调递减， 由在上单调递增， 而在定义域上单调递增， 故的严格递减区间为. 故答案为： 9. 已知 ，且 是方程 的两个根，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系，再利用二倍角公式可求得答案. 【详解】是方程 的两个根, 根据韦达定理，得，， 又，且， ，， 则，，故， 设，则，由二倍角公式，得， 即，解得， 又，. 故答案为：. 10. 已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件得到的解析式，作出的图像，知道函数的单调区间和最值，根据函数恰有两个零点，得到与图像有且仅有两个交点，数形结合即可求解. 【详解】由题意得 ， 作出函数的图像，如图所示， 由图及解析式可知，在单调递减，在单调递增，且， 在单调递减，在单调递增，且，， 因为函数恰有两个零点， 得到与图象有且仅有两个交点，故或. 故答案为： 11. 已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，，时，两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论. 【详解】由题意，令，，，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，且值域为， ，此时分段函数存在最小值1，符合题意； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，即， 解得，结合，此时； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知 ，且恒成立，则实数的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由的范围判断各分母的符号，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过变量代换，利用均值不等式求最小值，进而得到的最大值． 【详解】因为，所以，且； 由， ，得； 由，， 得，； 综上，，，， 则原不等式可变为； 设，，， 则； 因为均为负，令，，，所以； 不等式化为，代入，得； 因为，令， 则， 由均值不等式，， 当且仅当，即时取等号， 所以； 因此，． 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且仅有一个正确答案 13. 已知为第一象限的角，则所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第一、二象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 14. “且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，故“且”推不出“”； 当时，，但，故“”推不出“且”. 综上，“且”是“”的既非充分又非必要条件. 故选：D. 15. 已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判断即可. 【详解】 ， ，或， 当时，因为，所以，因此该三角形是直角三角形； 当时，可得， 由正弦定理可得：，所以由，可得，因此该三角形是等腰三角形， 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形. 故选：D 16. 对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立 C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立 【答案】B 【解析】 【分析】先分析得出，再分，，三种情况，根据函数的值域为和可求的值，即可得出结论. 【详解】作函数的草图如下： 对①：设为函数的1倍值区间，即当时，. 因为，所以. 当时，在上单调递减， 由. 两式相减得， 因为，所以，将其代入， 得或. 因为和均不属于， 所以当时，函数无1倍值区间； 当时，因为，所以必有， 又，所以必有，即，又，所以. 所以区间是函数的一个1倍值区间. 当时，在上单调递增， 所以，且，所以方程组无解， 即当时，函数无1倍值区间. 综上，函数只有一个1倍值区间，故①错误； 对②：设为函数的倍值区间，即当时，. 因为，所以. 当时，在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以, 代入得或（因为故舍去）. 由. 所以当时，， 所以是函数的一个倍值区间； 当时，因为，所以必有， 又，所以必有，即，又，所以. 所以区间是函数的一个倍值区间. 当时，在上单调递增， 所以，且，所以方程组无解， 即当时，函数无倍值区间. 综上，函数有两个倍值区间和， 它们的区间长度之和为：.故②正确. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 设常数，集合，集合 （1）全集，若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据和绝对值不等式的性质将集合化简，然后结合集合的补集的定义即可求得； （2）根据分式不等式和绝对值不等式性质分别化简集合，然后利用集合的子集的定义列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以或； 【小问2详解】 依题意，由，得，解得，所以； 因为，所以； 由，得，所以； 当时，即，，符合题意； 当时，即，由，得，所以； 因为，所以，解得，又，所以； 综上，的取值范围是或. 18. 在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. （1）求c的值； （2）求与的面积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，建立方程，可得答案. （2）由正弦定理和三角形面积公式直接计算可得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，分解因式可得，由，解得. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 解得，所以. 19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得36万元~1600万元的投资收益（包含36万元和1600万元），现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不低于5万元，不超过95万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请用数学语言列出该公司对奖励方案函数模型的要求，判断函数是否能作为奖励方案，并说明理由； （2）已知函数符合该公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围. 【答案】（1） 根据题意，该公司对奖励方案函数模型的要求： ①定义域为；②在上单调递增； ③对于任意，都有恒成立； ④对于任意，有（即奖金不超过投资收益的） 对于函数模型，当时，函数为单调递增函数， 且，， 此时满足恒成立； 当时，，不满足恒成立， 所以函数不符合奖金方案要求. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出函数的基本性质，对于函数模型，结合解析式，求得函数的相关性质，即可得到答案； （2）根据题意，得到函数为单调递增函数，求得和，列出不等式，求得，再由，得到，求得，进而得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数符合该公司奖励方案函数模型要求， 当时，函数为单调递增函数， 所以，则，解得， ，则，解得， 又由任意，有恒成立，即恒成立， 令，则，不等式即为恒成立，所以恒成立， 因为在上为递增函数，所以，所以， 综上可得，，即实数的取值范围为. 20. 已知. （1）当时，化简并计算的值； （2）当时，若为锐角，且，求的值； （3）当时，若关于x的方程在上有两个不相等的实数根. （i）直接写出c的取值范围； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）或 （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）化简得，当时，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，求得，利用三角函数的基本关系式，求得，由，结合两角和余弦公式，即可求解； （3）（i）化简得到，根据题意，转化为函数和的图像有两个不同的交点，设，转化为与的有两个交点，画出在上的图象，结合图象，即可求解； （ii）由（i）中的图像，得到，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数 ， 当，时，可得，则. 【小问2详解】 解：当，时，可得， 因为，可得， 因为为锐角，可得，所以， 则， 所以 ， 当时，可得； 当时，可得. 【小问3详解】 解：（i）当，时，， 因为方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根， 即函数和的图像在上有两个不同的交点， 当时，可得，设，则， 即函数和的图像在上有两个不同的交点， 画出函数在上的图象，如图所示， 由图像，可得，解得， 即实数的取值范围为. （ii）由（i）中的图像，可得关于对称，所以， 因为方程在上有两个不相等的实数根，可得， 所以，则. 21. 已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. （1）根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知为给定实数，求的表达式； （3）把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当 时，， 因为 ，所以 为奇函数， 当 时，，， 所以 ，， 所以 不是奇函数也不是偶函数， 综上，当时，函数为奇函数， 当时，函数即不是奇函数也不是偶函数； （2）； （3） （i）函数 在 上是单调递增函数； 证明：任取 ， 则， 因为 ，所以 ，， 两式相加得 ， 又因为 ， 所以 ， 所以， 又因为，所以，所以， 所以函数 在 上是单调递增函数. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据定义判断函数的奇偶性：若对于定义域内任意 ，都有 ，则为偶函数；若都有 ，则为奇函数；本题需分 和 两种情况讨论； （2）“衍生”方程为 ，先化简方程得到二次方程，利用韦达定理求出根与系数关系，再代入 的表达式进行化简； （3）（i）利用定义法证明函数在 上的单调性；（ii）先根据单调性求出 ，再将不等式恒成立问题转化为求函数最值，求出最值表达式，再通过分离参数求λ的取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为方程 的两个实根为 、， 即方程 的两个实根为 、； ，所以 ，， ， ， ， 【小问3详解】 （i）略 （ii）由（i）知函数 在 上单调递增函数， 则 ， 因为 恒成立，即 恒成立， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以，即 故 的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 控江中学2025学年度第一学期高一年级期末质量调研 数学试卷 （2026年1月） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合 ，，则 __________. 2. 若，则角________. 3. 关于x的不等式 的解集为___________. 4. 若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 5. 已知一个扇形的周长为，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 6. 已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________. 7. 已知，则__________. 8. 函数的严格递减区间是_________. 9. 已知 ，且 是方程 的两个根，则 __________. 10. 已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 11. 已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 12. 已知 ，且恒成立，则实数的最大值是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且仅有一个正确答案 13. 已知为第一象限的角，则所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第一、二象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 14. “且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 16. 对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为.已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立 C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 设常数，集合，集合 （1）全集，若，求； （2）若，求的取值范围. 18. 在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. （1）求c的值； （2）求与的面积. 19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得36万元~1600万元的投资收益（包含36万元和1600万元），现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不低于5万元，不超过95万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请用数学语言列出该公司对奖励方案函数模型的要求，判断函数是否能作为奖励方案，并说明理由； （2）已知函数符合该公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围. 20. 已知. （1）当时，化简并计算的值； （2）当时，若为锐角，且，求的值； （3）当时，若关于x的方程在上有两个不相等的实数根. （i）直接写出c的取值范围； （ii）求的值. 21. 已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根. （1）根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知为给定实数，求的表达式； （3）把函数（）的最大值记作，最小值记作. （i）判断并证明函数（）的单调性； （ii）令，若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $