第二章 不等式与不等式组 单元测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章《不等式与不等式组》单元测试题—2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．不等式组的所有整数解的和为9，则整数a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．不等式组的解集是关于的不等式解集的一部分，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（　　） A． B． C． D． 6． 某企业要购进两款机器狗共5只.如图所示，已知 Cyber Dog 2 单价是 1.3 万元/只，Unitree Go 2 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则 Cyber Dog 2 最多可以购进（　　） A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只 7．某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为元，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　　） A．买两件等值的商品可减200元，再打两折，最后不到1900元 B．买两件等值的商品可打两折，再减200元，最后不到1900元 C．买两件等值的商品可减200元，再打八折，最后不到1900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减200元，最后不到1900元 8．检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于 7.2，且不大于7.8.已知第一次PH检测值为7.5，第二次PH检测值在7.0至7.6之间(包含7.0和7.6)，若该游泳池检测合格，则第三次PH检测值x的范围是(　　) A．7.2≤x≤7.8 B．7.0≤x≤8.2 C．7.1≤x≤8.3 D．7.3≤x≤8.4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 已知正整数x满足，求代数式的值是　 　. 10．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为　 　. 11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为　 　． 12．新定义：对于实数，表示运算：ab-c，如=2×3-4=6-4=2，若值大于1，x的取值范围是　 　； 13．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： ①阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的整数倍 ②阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍 ③阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍 若阅读过《西游记》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最小值为　 　. 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．解不等式（组） （1）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组，并写出不等式组的整数解 15．下面是小明解不等式，的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：不等式①，去分母，得， （第一步） 移项，合并同类项，得， （第二步） 系数化为1，得， （第三步） 解不等式②，得， （第四步）| 所以原不等式组无解. （第五步） 根据以上材料，解答下列问题： （1） 第一步去分母的依据是　 　. （2） 在解答过程中，从第　 　步开始出错，错误原因是　 . （3） 解不等式组： 16．如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于点． （1）求a、k的值； （2）根据图象，填空： ①不等式的解集为______； ②不等式组的解集为______； （3）结合图形，当时，求一次函数函数值y的取值范围． 17．我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． （1）求不等式的解集． （2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值． 18．阅读下列材料： 问题“已知x-y=2且x>1， y<0， 试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解： ∵x-y=2， ∴x=y+2， 又∵x>1∴y+2>1， ∴y>-1又∵y<0， ∴-1<y<0① 同理得： 1<x<2②， ∴-1+1<x+y<0+2， 即0<x+y<2. 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知关于x、y的方程组 的解均为负数，若a-b=3且b<1，求a+b的取值范围. （2） 已知y>1， x≤-1， 若x-y=a成立， 求x+y的取值范围(结果用含a的式子表示). 19．春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作.这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元 （1）求A、B型手办进价分别是每件多少元? （2）该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案。 （3）在第(2)问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案。 20． 【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动. 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与x的函数关系式及与x的函数关系式 时间x 7时 10时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 93 78 a 43 28 自东向西交通量（辆/分钟） 42 48 56 62 68 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向. 通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况. 【解决问题】 （1）已知与x之间的函数关系式为，表格中=　 　； （2）求与x之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）； （3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道） 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， 故此选项不符合题意； 故选：C. 【分析】 本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号的方向改变. 对于选项A：根据不等式性质1可知：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应得到x＜y，与已知条件矛盾，故错误； 对于选项B：根据不等式的性质3可知：不等式两边同时乘以-2，不等号方向改变，应得到-2x＜-2y，与选项矛盾，故错误； 对于选项C：根据不等式的性质2可知：不等式两边同时乘以5，不等号方向不变，得到x＞y，与已知条件相同，故正确； 对于选项D：根据不等式的性质1：两边同时减去2可得：-3x＞-3y，然后两边同时除以-3，不等号改变方向，即x＜y，与已知条件x＞y矛盾，故错误； 由此判断出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴m≠-4且m=±4 ∴． 故答案为：B． 【分析】 本题考查一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题关键. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0，且，由此解得m的值，即可得出答案． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：由6x+3＞3（x+a）得：x＞a-1， 由得x≤4， ∵所有整数解的和为9，∴整数解为4、3、2或4、3、2、1、0、-1， ∴1≤a-1＜2或-2≤a-1＜-1，解得2≤a＜3或-1≤a＜0， 符合条件的整数a的值为2和-1，故答案为：B． 【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：， 解得： ∵ 解得： ∵不等式组的解集为不等式解集的一部分， ∴ 解得： 故答案为：A. 【分析】分别解出不等式组和不等式的解集，最后根据题干：不等式组的解集为不等式解集的一部分，据此即可求出m的取值范围. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：他买黄瓜每斤平均价是：， 他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱， 则， 解得：， 故答案为：A． 【分析】 本题考查列不等式及解不等式，准确找到等量关系列出不等式是解题关键．根据数量、单价、总价三者之间的关系：“总价=单价×数量”分别计算出买黄瓜的总成本和卖黄瓜的总收入，再根据 “赔了钱” 这一条件列出不等式，进而解出出x与y的关系，由此可得出答案． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：设购进 只，则购进 只， 总费用： ， 化简得： ， ， ， 所以最多购进只. 故答案为： . 【分析】设未知数表示两款机器狗的数量，根据“总费用不超过万元”列不等式，求解得出数量的最大值. 7．【答案】C 【解析】【解答】 解： 不等式0.8×(2x−200)<1900可分解为： 1、 计算两件商品总价：2x； 2、减去200元：2x−200； 3、再乘以0.8（即打八折）：0.8×(2x−200)； 4、 最终结果不到1900元。 故答案为：C. 【分析】 根据小鱼妈妈列出的不等式0.8×(2x−200)<1900， 分析不等式中的运算顺序，确定是买两件先减200元再打八折，即可求解. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：设第三次检测值为x，三次检测的平均值为 (其中) 由题意得不等式： 对不等式组进行变形： 进一步整理得： 当y取最小值7.0时，，即； 当y取最大值7.6时，，即； 因为该游泳池检测合格， 所以，x的范围是． 故答案为：C . 【分析】设定变量，设第三次检测值为x，第二次检测值为y(已知)，根据题意建立平均值不等式，三次平均值必需满足，将不等式进一步整理为，结合y的取值范围分别代入y的最小值和最大值，求出x的下限和上限．​​​​​​​ 9．【答案】-6 【解析】【解答】解：∵， ∴x＜2， ∵x是正整数， ∴x=1， ∴， 故答案为： -6. 【分析】先求出不等式的解集为x＜2，再求出x=1，最后代入计算求解即可. 10．【答案】9≤x<12 【解析】【解答】解：由题意可得： 第一次运算结果为：(x-3)×2<18 第二次运算结果为[(x-3)×2-3]×2≥18 ∵需要经过2次运算才能输出结果 ∴ 解得：9≤x<12 故答案为：9≤x<12 【分析】根据程序框图建立不等式组，解不等式组即可求出答案. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 【分析】将点A坐标代入直线解析式可得，当图象在图象上方，且都在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案. 12．【答案】x＜1 【解析】【解答】解：由题意可得： =-2x-(-3)>1 解得：x＜1 故答案为：x＜1 【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案. 13．【答案】12 【解析】【解答】解：设阅读过《水浒传》的人数等于阅读过《西游记》的人数的k倍，k为正整数，则阅读过《水浒传》的人数为4k； ∵阅读过《水浒传》的人数是阅读过《三国演义》的人数的1.5倍， ∴阅读过《三国演义》的人数是. ∵阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1.5倍， ∴. 解得：k>2.25 ∵k最小为3， ∴阅读过《水浒传》的人数为最小为4×3=12. 故答案为：12. 【分析】设阅读过《水浒传》的人数为4k，则阅读过《三国演义》的人数为，根据“且阅读过《三国演义》的人数多于阅读过《西游记》的人数的1 .5倍”，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出k>2.25，结合k为正整数，可得出k的最小值，再将其代入4k中，即可求出结论. 14．【答案】（1）解：去括号得； 移项得： 合并同类项得： 将该不等式的解集在数轴上表示为： （2）解：解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为 ∴该不等式组的整数解：，0，1，2 【解析】【分析】 （1）先去括号，再移项，然后合并同类项，得出，然后再在数轴上表示出来，即可作答； （2）分别算出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”可得出不等式组的解集，再找出符合条件的整数即可作答． 15．【答案】（1）不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变 （2）三；原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变. （3）解： 由①得， 由②得， ∴ 原不等式组的解集是， 【解析】【解答】（1）解：有定义得：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变； （2）解：由题意得：第三步错误，原因：①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变. 故答案为：三；①违背了不等式基本性质3：或②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向未改变：或③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号方向应该改变. 【分析】（1）理解不等式变形中去分母的依据，即正数乘除不改变不等号方向. （2）识别系数化为1时，除以负数需变向的易错点，判断错误步骤及原因. （3）正确求解每个不等式，注意除以负数时不等号方向改变，再取解集的交集，关键是熟练运用不等式基本性质解不等式. 16．【答案】（1）解：把代入， 可得：， ∴A点坐标为， 将代入， 可得， 解得：. （2）①；② （3）解：把代入得， 把代入得， ∴根据图象可知：当时，一次函数函数值y的取值范围为：．​​​​​​​ 【解析】【解答】（2）解：①根据图象可知：不等式的解集为；故答案为：； ②根据解析（1）可知，，， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， 根据图象可知：不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 【分析】（1）将点A的坐标代入求出a的值，再将点A的坐标代入求出k的值即可； （2）①结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可； ②结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则分析求解即可； （3）结合函数图象分析求解即可. 17．【答案】（1）解：由题意得，， ， ， 解得：， 不等式的解集为． （2）解：由题意得，， ， ， 解得：， 关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同， ， 解得：， 的值为． 【解析】【分析】（1）根据新定义求出，再求出，最后计算求解即可； （2）根据新定义得到，求出不等式的解集为，再求出，最后计算求解即可。 （1）解：由题意得，， ， ， 解得：， 不等式的解集为． （2）解：由题意得，， ， ， 解得：， 关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同， ， 解得：， 的值为． 18．【答案】（1）解： ②-①×3得： y=1-a 把y=1-a代入①得：x-2(1-a)=a ∴x=2-a ∴ ∵方程组的解均为负数 ∴ 解得：a>2 ∵a-b=3 ∴b=a-3. ∴a+b=a-3+a=2a-3. ∵b<1 ∴a-3<1. ∴a<4 ∴2<a<4 ∴4<2a <8 ∴1<2a-3<5 ∴1<a+b<5 （2）解：∵x-y=a， ∴x=y+a， 又∵， ∴y+a-1， ∴y-a-1， 又∵y＞1， ∴1＜y-a-1，① 同理得：a+1＜x-1，② 由①+②得1+a+1＜y+x-a-1+（-1）， ∴x+y的取值范围是： 【解析】【分析】（1）求出方程组的解为，根据题意得到不等式，解不等式组求出a>2，得到a+b=2a-3，根据a的取值范围解答即可； （2）理解解题过程，按照解题思路求解． 19．【答案】（1）解：设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元 由题意可得：，解得： ∴A型手办进价为20元， B型手办进价为15元 （2）解：设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件 由题意可得： 解得： ∴共有3种方案 A型26件，B型34件 A型27件，B型33件 A型28件，B型32件 （3）解：由题意可得： 利润函数为10a+1200 当a=28时，利润最大为1480元 ∴最大利润为1480元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件 【解析】【分析】（1）设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案. （2）设购进A型手办a件，则B型手办为(60-a)件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案. （3）根据题意求出利润函数，结合一次函数的性质即可求出答案. 20．【答案】（1）58 （2）解：设 将，和，代入 得， 解得， （3）解： ①当时，即 解得， ②当时，即 解得， 时到时，可变车道方向设为自西向东； 19时到20时，可变车道方向设为自东向西. 【解析】【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58， 故答案为：58 【分析】（1）根据题意将x的值代入一次函数解析式，进而即可求解； （2）根据题意运用待定系数法即可得到y2与x的函数关系式； （3）根据题意得到，进而分类讨论：①当时，②当时，分别求出x的取值即可。 学科网（北京）股份有限公司 $