28.1 锐角三角函数（课外拓展提高）-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数 冒第1课时 正弦（建议用时：30分钟） 1.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边 24,那么sinC= AB上的中线.已知CD=2,AC= 3,则sinB的值为 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a, ( B A号 b,c,且满足a2+|c-10+√b-8=12a-36, 第1题图 则sinB的值为 c u 7.如图，四边形ABCD内接 2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一 于⊙O,AB为直径，AD= 点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于 CD,过点D作DE⊥ABA 点E.若∠A=30°，则sinE的值是 ( 于点E,连接AC交DE于 第7题图 1 A.2 C.③ ·2 D.3 3 点F.若sin∠CAB= g,DF=5,则BC的长 为 8.如右图，M是正方形ABCD的 E 边CD上一点，连接AM,作DE 第2题图 第3题图 ⊥AM于点E,BF⊥AM于点 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的3×3 F,连接BE. 的网格中，点A,B均在小正方形的顶点上. (1)求证：AE=BF; 以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的 (2)已知AF=2,四边形ABED的面积为 C为该弧与网格线的交点，则sin∠BAC的值 24,求∠EBF的正弦值. 为 ( A R号 D. 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， D是AC上一点.如果CD=6,sin∠CBD 寻，那么AB的长为 D 第4题图 第5题图 5.(2024景德镇期末)如图，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB,垂足为E.如果AB=26,CD= 下册课外拓展提高 99 冒第2课时余弦和正切（建议用时：30分钟） 1.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点（正 D,则tan∠BAD的值为 方形的顶点)上，连接AC,AB,则tan∠BAC 的值是 A.② 1 C. 1 1 D. 5 .2 3 5 B 第5题图 第6题图 6.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 A 2的图象上，第二象限的点B在反比例 第1题图 第2题图 2.古代数学文化《九章算术》是我国古代数学 函数y=的图象上，且OALOB,1anB= 成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧 田面积的所用公式为孤田面积=？（弦×矢 3则= 7.如下图，B,C是线段AD的三等分点，以BC 十矢2).弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦 长为直径作⊙O,P是圆上异于点B,C的任 所围成的，公式中的“弦”指圆弧所对弦长 意一点，连接PA,PB,PC,PD AB,“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离 之差CH.在如图所示的弧田中，“弦”为8， )当PB=PC时，求an∠APB的值 “矢”为3，则cos∠OAB的值为 ) (2)求tan∠APB·tan∠DPC的值. A号 B号 C. P 3.(2024吉安泰和期末)如图，在矩形ABCD 中，E是边BC的中点，AE⊥BD,垂足为F, 则tan∠BDE的值是 ( A.② c 0② B 第3题图 第4题图 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5, BC=6,D为BC的中点，DE⊥AB于点E, 则cos∠BDE的值等于 () A.5 4 c 5.(2024汉川模拟)如图，在4×4正方形网格 中，A,B,C为网格交点，AD⊥BC,垂足为 100 九年级数学RJ版 冒第3课时特殊角的三角函数值（建议用时：45分钟） 1.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且（sinA B.2 D.3 2)+cosB =0,则△ABC的形状 是 ( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 第6题图 第12题图 2.下列计算错误的个数是 ( 7.计算：|√5-2|+2sin60°-2024°= ①sin60°-sin30°=sin30°：②sin45°+cos245 =1;③tan260°= 3:④tan30°-sin30 c0s30: 8.已知锐角a满足2cos(a一10)=1，则锐角a A.1 B.2 C.3 D.4 的度数为 3.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与 9.已知a为锐角，当-an 1 无意义时，sin(a+ 射线OM交于点A.再以点A为圆心，AO的 长为半径画弧，两弧交于点B,画射线OB, 15°)+cos(a一15)的值为 则sinO的值为 ( 10.已知∠A是△ABC的一个内角，并且方程 A.2 B② C.3 D. 3 2-4·sm含+1=0的一个根是区-1， 则∠A= 11.定义一种运算：sin(a+B)=sinacos3十 cosasinB,sin(a-B)=sinacosB-cosasinB. A 309 第3题图 第4题图 例如：当a=60°，3=45°时，sin(60°-45°)= 4.爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬1m 耗能(1.025一cosa)J.如图，若某人爬了 停×竖×9- 22 4 .sin75的值为 1000m,该坡角为30°，则他耗能约（参考数 据：√3≈1.732，√2≈1.414) ( A.58J B.159J 12.(2024抚州期末)如图，AB是⊙O的直径， C.1025J D.1732J ⊙O上的点C,D在直径AB的两侧，连接 5.新趋势·新定义定义：在∠C=30°的 AC,BC,AD,CD.若AD=3√3，tan∠ACD △ABC中，我们把∠A的对边与∠C的对边 =√，则BD的长为 的比叫做∠A的“邻弦”，记作thiA,即thiA= 13.计算： B AB.thi45的值为 (1)sin45°cos45°-tan60°÷cos30°； A号 B.1 C.√2 D.3 6.如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB 于点E,交BD于点F,且E是AB的中点， 则tan∠BFE的值是 ( ) 下册课外拓展提高 101 (2)tan45+4cos30°sin45°-Y (2)计算：sin1°+sin2°+sin3°+… 3tan60°； +sin89°. (3)3tan30°-2tan45°cos30°+4cos60°. 16.数学核心素养·几何直观已知锐角三角 形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,边角总满足关系式：simA一simB b 14.如下图，在等腰三角形ABC中，一腰上的 = sinC 高为√3，这条高与底边的夹角的正弦值为 (1)如图①，若a=6,∠B=45°，∠C=75°， 亨求△ABC的面现 求b的值； (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水 池ABC中建一座小型景观桥CD(如图 ②).若CD⊥AB,AC=14m,AB=10m, sn∠ACB-酒求朵观桥CD的长度 图① 图② 15.观察下列等式： ①sin30°= ,C0s60°-1 ②sin45°= 2,Cos45°=2 : ③sin60°= 2,C0s30°= 3 2 (1)根据上述规律，计算sina+sin(90° a)的值为 102 九年级数学RJ版B 5.解：如图，连接AE并延长交x轴于点H,则点H为位 中心， A(-4,2),E(-1,1), ..OF=1,OB=4,EF=1,AB=2. ,正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形， .EF∥AB, .△HEFp△HAB, 能-需8州}每得oH=2 .这两个正方形的位似中心的坐标为(2,0) 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时正弦 1.C2A3.B4.8E5是6.手7.12 8.解：(1)证明：四边形ABCD为正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， ∠BAF+∠DAE=90° .DE⊥AM,BF⊥AM, ∴.∠DEA=∠AFB=90°， .∠ADE+∠DAE=90°， .∠BAF=∠ADE. ∠ADE=∠BAF 在△DEA和△AFB中 ∠DEA=∠AFB, DA-AB, ∴.△DEA≌△AFB, .'.AE=BF (2)设AE=x,则BF=x. .△DEA≌△AFB, ..DE=AF=2. 四边形ABED的面积为24， AE.BF+TAE ED-+X224. 解得x1=6,x2=-8(舍去)， ∴.AE=BF=6, .EF=AE-AF=6-2=4, 在Rt△EFB中，BE=√EF+BF=√6+4=2√I3, 42√/13 sim∠EBF=正23 第2课时余弦和正切 1.D2D3.A4.A5.是 6.-6 7.解：(1)如图，过点A作AE∥PC,与PB的延长线交于点 162 九年级数学RJ版AH BC是⊙O的直径，.∠BPC=90°. .AE∥PC,∴.∠AEP=90 .'AB=BC,∠ABE=∠CBP, ∴.△ABE≌△CBP,.BE=BP,AE=CP .PB=PC,:.AE=PC=2PB=PB+BE=PE, 2 .tan∠APB= A PE=1. 似 (2)由(1)，得△ABE≌△CBP .BE=BP,AE=CP, ∠aAPB=船-器 如图，过点D作DF∥PB,与PC的延长线交于点F 同理，可证△PBC≌△FDC, .PB=FD,PC=FC. tan∠DPC=FD-PB PF 2PC' :tan∠APB·tan∠DPC=2P元‘2P元=本 PC PB 1 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.B3.D4.B5.C6.D7.18.55°9.3 10.90°11.5+E12.元 4 18.解：1)原式号×号-万÷ 2 2 原式=1+4×号×号-号× =1+√6-1 =√6. (8)原式=3x号-2X1×号+4x司 3 2 =√3-√5+2 =2. 14.解：如图，过点B作BD⊥CA交CA的 延长线于点D, 由题意，得BD=3,sin∠DBC=5, 2’ ∴∠DBC=60°，∴.∠C=30. .AB=AC, ∴.∠ABC=∠C=30° .∠DAB=60. 在R△ABD中，Sn∠DAB-器即号-温 2 AB ..AB=AC=2, ∴SAc=号AC.BD=号×2X,B=5. 15.解：(1)1 (2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° =(sin21°+sin289°)+(sin2°+sin288)+…+sim245 =1十1++1+ 二44十2 1 16.解：(1)：∠B=45°，∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=60. a=b sinA sinB sinC 6 六sin60=sn46.6=2/6. onCB品 AC “道品a8=得∠8= 14 amB品-5BD-9cD 由勾股定理，得AC心=CD+AD, ÷196=CD+(10-5cD). 3 ∴.CD=8√3（负值已舍去）， ∴.景观桥CD的长度为83m. 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 1.C2c3.54.25号 6.解：(1)证明：AE∥BC,且AE=DC, .四边形ADCE是平行四边形. AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC,.∠ADC=90°， ∴.平行四边形ADCE是矩形 (2):∠ADB=90°，AB=5,c0sB=BD=3 AB=5 ∴BD=子AB=3, 在Rt△ABD中，AD=√JAB-BD=√5-3=4. 由(1)可知，四边形ADCE是矩形， ..CE=AD=4. 7.解：(1)3√5 (2)如图，过点D作DF⊥AC,垂足为F,连接AD. A D .BD:CD=3:2,BC=10, 2 ∴CD=10×23=4. 在R△CDF中，anC=号 设DF=x,则CF=2x, DF2+CF2=CD2, .x2+4x2=16, 解得x-(负值已合去)， ∴Dr-5,CF-85 51 由(1)，得AC=35, ·AF=35-85=75 55 45 在R△ADF中，tan∠CAD=DF 5_= 4 AF 75 28.2.2应用举例 第1课时利用俯角、仰角解直角三角形 1.D2.B3.A4.27m5.6002 6.解：(1)30 (2)如图，延长PQ交直线AB于点E.设PE=xm B 在Rt△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=xm. 在Rt△BPE中，∠BPQ=30°， 六BE=PE·tan30°=5 . AB-AE-BE-6m, 3xr=6, 解得x=9十3√， .BE=(3√/3+3)m. 在Rt△BEQ中，QE=BE·tan30°=(3+√3)m ∴.PQ=PE-QE=9+3√3-(3+√3)=6+23≈9(m) 故电线杆PQ的高度约为9m. 第2课时利用方向角、坡度解直角三角形 1.A2.C3.B4.B5.96.3.57.(6√3+6)8.105 9.解：(1)：山坡②的坡度i=1:1, .CN=BN,∴.∠BCN=45°， ∴.∠ACB=180°-30°-45°=105°. (2)在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠ACM=30°，AM= 0.6 km,.'AC=2AM=1,2 km. 在Rt△BCN中，∠BNC=90°，∠BCN=45°，CN=√2km, CN 六BC=cos∠BCN=2km, .该登山运动爱好者走过的路程为1.2十2=3.2(km). 10.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F 北 门口 东 658 -..... 人民英雄雕塑 D 37 革命纪念碑 C F党史纪念馆 由题意，得∠CDF=37°，CD=200m. 在Rt△CDF中，CF=CD·sin∠CDF≈200×0.60=120(m), DF=CD·cos∠CDF≈200X0.80=160(m). .AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB, ∴.∠B=∠DFB=∠DEB=90°， .四边形BFDE是矩形， .BF=DE,BE=DF=160 m, .AE=AB-BE=300-160=140(m). 在Rt△ADE中，DE=AE·tan∠DAE≈140×2.14= 299.6(m), .BF=DE=299.6m, .BC=BF+CF=299.6+120≈420(m) 故革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420m. AH下册参考答案 163