数列核心考向解题策略讲义(三)-2026届高三数学二轮专题复习

数列核心考向解题策略讲义(三) 高考中有关数列问题的试题设计往往会凸显题目构思灵活优美、类型新颖多变，而解决问题的方法手段需彰显多样齐全.因此如何提升同学们对数列试题的解题能力显得至关重要.下面通过高考试题中对数列核心考向进行分类解析，帮助同学们梳理和总结数列问题中常见的求解方法与技能，以期盼大家达到提高学习效率和加强解题能力之目的.由于本系列解题策略内容较多、丰富翔实，题型多样、方法齐全，故分为三个讲义向大家介绍完，这是讲义(三)部分. 考向9 错位相减法求和 例9.已知是数列的前项和,且满足对成立.(1)求数列的通项公式；(2)设,是数列的前项和,求. 解析 (1)依题意,由对成立,可得对成立；则上述两式相减得,即,得(常数)对成立；又当,可得,解得.由等比数列的定义知是以为首项为公比的等比数列；故数列的通项公式为. (2)由于(),依题意得: ①；由①得: ②；由①②得: 即,所以. 【解题反思】第(1)问考查等比数列的定义及由数列递推式通过两式作差求通项公式；第(2)问考查通项是由一个等差数列通项与一个等比数列通项相乘而得到的新数列求和，即利用错位相减法及等比数列的前项和公式进行求和.在操作时应注意：当写出“”与“”的表达式时特别需要将两式“错项对齐”，以便下一步精准写出“”的表达式，若等比数列的公比为参数,应按公比和分两种情况讨论求解． 考向10 等差与等比数列的综合应用 例10.已知等差数列中,,；若，数列的前项和为,则使不等式成立的的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解析: 设等差数列的公差为,由和,解得,,所以.则,且对成立,由等比数列的定义知是以为首项,以为公比的等比数列,从而可得；由,得,即要使成立,而，只需,即,得.故选B. 【解题反思】解这类有关等差、等比数列的综合题,应根据题意设出所要求的量，充分利用它们的通项公式、前项和公式及其性质建立等量关系,并求出所要的解；在得出通项公式后，还要先根据定义证明是等比数列,再利用等比数列求和公式得出才使解题过程完美，最后需灵活运用不等式知识解决数列中恒成立问题的最小的值. 考向11 数列与函数的综合应用 例11.已知等差数列的前项和为，若，且公差，则的最小值为_________． 解析 依题意及等差数列的性质知,得；又因,则有,解得；再由,得.于是；当时,.故填. (另解:由,即,得；下略.) 【解题反思】考查等差数列的通项公式与前项和公式，解题中灵活运用等差数列的性质，化为关于的二次函数用配方法求最值；考查函数与方程的思想,检验数学建模、逻辑推理和运算求解能力. 考向12 数列与不等式的综合应用 例12.设数列的前项和为,若(),且. (1)求数列的通项公式；(2)求证:. 解析 (1)依题意,知 ①对恒成立，则有 ②对恒成立；由②①得，即对恒成立，从而得()，由等差数列的定义知是公差的等差数列.又由，得，故数列的通项. (2)由(1)知，则.当时，；当时，，所以 .综上可得，当时，. 【解题反思】第(1)问由关于与的递推式求数列的通项公式,通常采用两式作差的手段求解,要先利用等差数列的定义证明该数列是等差数列；由于根据递推式无法求出首项,给出条件的目的就是为了确定首项的值.第(2)问是关于数列与不等式的综合问题,在求出后，需对数列的通项公式进行放缩，放缩要恰到好处(不宜过大或过小)，放缩后还需要裂项能求出和,并进行二次放缩才能使不等式获证. 【创新演练题】 9.已知数列和的通项分别为和，设,求数列的前项和为. 10.已知数列为等比数列，且成等差数列，则( ) A. B. C.或 D.或 11.(1)已知两个等差数列和的前项和分别为和,且对成立.则_______. 12.已知各项均为正数的等比数列中,,且.(1)求数列的通项公式；(2)设,是数列的前项和,求使得恒成立的正整数的最小值. 创新演练题答案与解析 9.解:依题意，知， ,则，则,并有 ；以上两式相减，得 ，即为所求. 10.解:设等比数列的公比为.依题意得，,即,且,于是得,解得或；当时,,当时,.故选D. 11.解:(1)由于等差数列的前项和,在的情况下是一个关于的二次函数,且不含常数项.由等差数列前项和公式的函数特性,依题意设,(),则, ,则. 12.解:(1)设的公比为,依题意,则.由,且,得,即,解得(舍去),或；又,得,故数列的通项公式(). (2)因,则对成立,由等差数列的定义知,数列是首项为，公差为的等差数列,则,由,即得,解得(舍去)或(),即；故使得恒成立的正整数的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $