数列核心考向解题策略讲义(一)-2026届高三二轮专题复习

数列核心考向解题策略讲义(一) 高考中有关数列问题的试题设计往往会凸显题目构思灵活优美、类型新颖多变，而解决问题的方法手段需彰显多样齐全.因此如何提升同学们对数列试题的解题能力显得至关重要.下面通过高考试题中对数列核心考向进行分类解析，帮助同学们梳理和总结数列问题中常见的求解方法与技能，以期同学们达到提高学习效率和加强解题能力之目的.由于本系列解题策略内容丰富翔实、题型多样、方法齐全，故分为三个讲义向大家介绍完，这是讲义(一)部分. 考向1 利用与的关系求数列的通项公式 例1.(1)已知数列的前项和为,若,则________. (2)已知数列的前项和为,满足,则通项________. 解析 (1)由题意，可得；当时,；当时, ,且不适合上式；从而有.故填. (2)由于 ①对恒成立；则当时,可得,解得；又 ②对恒成立,由①②得,即对恒成立，由等比数列的定义知是首项为，公比为的等比数列,从而得,且也适合上式；所以得.故填. 【解题反思】对于第(1)问,这类题要注意分情况处理:当时,；当时,.并检验当时的解析式是否对成立；若成立,则；若不成立,则.对于第(2)问,当递推式中同含有与的项时,通常是利用两式作差来求解,并注意通项对的检验. 考向2 利用递推关系求数列的通项公式 例2.(1)在数列中,,(),求数列的通项. (2)在数列中,若,(),求数列的通项. 解析 (1)法1,由已知得(),则 .故通项. 法2,由题意,得(),又因；从而知数列是首项为,公比为的等比数列,则,即.故数列的通项. (2)由,可得,即对恒成立,又因；从而知数列是首项为,公比为的等比数列,则,即.故数列的通项. 【解题反思】对于第(1)问,由递推公式化简整理后,若为型,则采用累乘法(或逐商法)；若为型,则采用累加法(或逐差法)；此外还能将递推式转化为新的等差或等比数列来求解.对于第(2)问,由递推式的结构特征为,类似等比数列,故可尝试化为等比数列求解,以本题为例可设 ,整理得,比较系数得且,解得,,就能顺利化为来求解. 考向3 等差数列的性质的应用 例3.(1)已知等差数列的前项和为，若,则( ) A. B. C. D. (2)在等差数列中,，其前项和为,若,则( ) A. B. C. D. 解析 (1)由等差数列的性质知,得,则 .故选C. (2)由题意知,数列是等差数列,设其公差为.则,得,又,则,得,解得.故选A. 【解题反思】设等差数列的公差为,其前项和为,解题中重视下列六个性质的应用：①若,则；②若,则；③数列是公差为的等差数列；④数列是公差为的等差数列；⑤用正中间项表示为；⑥由于 ,即,则数列是公差为的等差数列.对于第(2)问,设等差数列的公差为,易知,求得. 【创新演练题】 1.(1)已知是一个等比数列的前项和,若,求通项. (2)若数列的前项和为,且满足对恒成立，求数列的通项. 2.(1)已知数列的前项和为,且满足, ,.求通项的表达式. (2)在数列中,若,求数列的通项. 3.(1)在等差数列中,已知,则的值为( ) A. B. C. D. (2)设等差数列的前项和为,且,则( ) A. B. C. D. 创新演练题答案与解析 1.解:(1)依题意,当时,；当时, ①；由于是一个等比数列,则①式对也成立,于是得,解得.故通项. (2)由 ①对恒成立,则有 ②对恒成立；由①②式相减得对成立,即 ③;由①式当时,得,检验③式对不成立.故数列的通项. 2.解:(1)由于对成立,依题意得,且,于 是有对成立,由等差数列的定义知是以为首项,为公差的等差数列，则有,得.又由于当时,有,且上式对不适合.故. (2) 法1,由,可得对成立,又有；从而知数列是首项为,公差为的等差数列,则得,即.故数列的通项. 法2,由 ①；可设,化简即为 ②；比较①②式知,解出代入上式整理得对成立,且；从而知数列是首项为,公比为的等比数列,则得,即.故数列的通项. 3.解:(1)由等差数列的性质及题意,得.故选C. (2)由于等差数列的前项和为,所以也成等差数列；由,即,解得；又由,即,解得.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $