27.2.1 第4课时 相似三角形的判定定理3-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

.∠ADB=∠A'D'B'. 又器鄂鹖品…郡-0 CD AD .△ABDp△A'B'D 10.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB= AD=CD. AE-ED,DF-+DC.:AE-ED-2 AB.DF-AB. ÷是器=2△ABEO△DER 2:AD/CG△EFD△GFC0器8=号 :DE=2AB=2×4=2, ..CG=6,..BG=BC+CG=10. 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.D3.C变式题D495.3 6.解：如图，△ADC即为所求. B D C 7.解：ED⊥AB,∠ADE=90°，.∠ADE=∠C=90° 又.∠A=∠A,.△ADEc△ACB, 把铝即0品 8=10AD=4. 8.解：(1)证明：OB和OD是⊙O的半径，∴.∠D=∠OBD, '∠A=∠D,∴.∠A=∠OBD,AB=BD 又∠D=∠D,∴.△OBD∽△BAD, ∴.OD:BD=BD:AD,∴.BD=OD·AD,即AB=OD·AD. (2)AB是⊙O的切线，B为切点， .OB⊥AB,.AB2=OA2-OB2 由(1)知AB=OD·AD,.OA2-OB=OD·AD 设OD=x. AC=3,..AD=2x+3,0B=x,OA=x+3, .(x十3)2-x2=x(2x十3)，解得x=3(负值已舍去)， .OA=6,OB=3,.AB2=OA2-OB2=27,.AB=33 解题模型专练相似三角形的基本模型 ∠ABO=∠DCO, 1.解：(1)证明：在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC, OA=OD, .△AOB≌△DOC(AAS). (2).△AOB≌△DOC,.AB=DC=2. EF∥CD,.△BCD∽△BEF, 课器即品品F-号 3 2.解：(1)证明：AD平分∠BAC,.∠BAD=∠EAD. .∠EAD=∠ADE,.∠ADE=∠BAD, .DE∥AB,.△DCE∽△BCA. (2).∠EAD=∠ADE,.AE=DE 设DE=x,则CE=AC-AE=AC-DE=8-x .'△DCE∽△BCA, DE=AE-琴，CE=AC-AE=号 24 由I,得DE/AB0能至-是 3.解：BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE. BC=CD,∴.∠D=∠CBE,∴.∠D=∠ABE 又∠CED=∠AEB,.△CED∽△AEB, 毙-器 .AB=2,CD=BC=4,AE=1, 号-兰：解得CE=2。 4证明：I:AB=BE·BD部需 '∠ABE=∠DBA,∴.△ABE△DBA, .∠BAE=∠BDA ,DB平分∠ADC,∴.∠BDA=∠BDC, .∠BAE=∠CDE. 又：∠BEA=∠CED,∴△ABE∽△DCE. (②由0.得△ABE△CE是-器即能-罡 :∠AED=∠BEC,∴.△ADE△BCE, .∠EAD=∠CBD 又，∠ADE=∠BDC,∴.△AED∽△BCD, :E-品AE CD=BC,ED 5.证明：(1).∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. 铝.△ABC∽△ADE,∠ACB=∠AED (2),∠AED=∠ACD,∠AFE=∠DFC, △AFE△DFC,芹-票. ∴.AF·CF=DF·EF. 6.解：△ABC△ADE,△ABD△ACE. 理由：：∠BAD=∠CAE, ,.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE. 又.∠ABC=∠ADE,.△ABC∽△ADE, 8能…提-铝 又.∠BAD=∠CAE,.△ABD∽△ACE. 7.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB+AC=62十8=10 .∠BAC=90°，AD⊥BC, .∠CAB=∠ADB. 又.∠CBA=∠ABD,.△CBA∽△ABD, 六部-紧即成=只BD=36 (2)证明：由(1)，得△CBA∽△ABD, ∠C=∠FAD0S股-职 E为AC的中点，AD⊥BC,.ED=AE=EC, ∴.∠EDC=∠C=∠FAD. :∠FDB=∠EDC,∴∠FDB=∠FAD. 又，∠F=∠F,.△DBF∽△ADF, 8册R0-:aA·AF=ACDF 8.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD, '.△AGBc∽△MGD,△AGD∽△FGB, ∴祭-器照器船-品AG=Gr,GM (2),AB∥DM,∴.∠BAG=∠M. ∠BAG=∠BCG,∴∠M=∠BCG. :∠MGC=∠CGF,∴.△CGF∽△MGC, ÷%-器c=MG·PG. 由(1)，得AG=GF·GM,.AG=CG. 在□ABCD中，对角线AC,BD交于点E,.AE=EC, ,.GE⊥AC,即BD⊥AC, .□ABCD是菱形. AH下册参考答案 149第4课时相似三 知识要点扫描 -------------------------0 1.相似三角形判定定理3 如果一个三角形的两个角与另一个三角 形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似。 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 △AB'C'中，：∠B=∠B',∠C=∠C, ∴.△ABCp△A'B'C'. 利用这种方法判定两个三角形相似时，只 需找出两对对应角相等即可，有时需用到三角 形的内角和定理.要特别注意图形中隐含的相 等的角，如对顶角、公共角等.由于这种判定方 法所需条件较少且容易证得，所以是最常用的 判定方法， 2.判定两个三角形相似的方法 (1)可以根据两个三角形三边是否对应成 比例来判断； (2)可以根据两边是否对应成比例，夹角 是否相等来判断，两个条件必须同时满足才能 判断； (3)可以根据是否有两个角对应相等来 判断 经典例题剖析 【例】(2024鹰潭余江区 月考)如右图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点H,AE 交CB于点E.求证：AC=CE·BC 【点拨】由直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半，可知CD=AB=AD,选而可得 ∠CAD=∠ACD,再利用余角的性质，得 角形的判定定理3 ∠CAH=∠B,可证△ACE∽△BCA,进而可 得瓷怎最后平可证明结论。 【解】.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线， .CD-AB-AD. .∠CAD=∠ACD. .AE⊥CD于点H,∴.∠AHC=90°， .∠CAH+∠ACD=90°. 又：∠B+∠CAD=90°， ∴.∠CAH=∠B. .∠ACE=∠BCA,△ACE∽△BCA, 品aCe=(Ec 已基础对点训练 知识点用两组角判定三角形相似 1.下列结论：①所有等腰直角三角形相似； ②所有直角三角形相似；③所有等腰三角形 相似；④所有等边三角形相似.其中正确的 是 A.①④B.②④C.②③ D.①③ 2.如图，△ABC中，∠A=78°， 789 AB=4,AC=6.将△ABC沿 图中的虚线剪开，下列四种剪B 第2题图 开的方法中，剪下的阴影三角 形一定与原三角形相似的是 789 ① 2 ③ ④ A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 下册第二十七章 29△ 3.(2024桐城期末)在△ABC中，点D,E分别 在边AB,AC上，则在下列条件中，不能使得 以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似 的是 A.∠AED=∠B B.DE∥BC C.AD·BC=DE·AC D.∠ADE=∠C 变式题如图，已知∠ACB=∠D=90°.下 列条件中，不能判断△ABC和△BCD相似 的是 A.AB∥CD B.BC平分∠ABD C.∠ABC+∠DBC=90 D.AB:BC=BD:CD 变式题图 4.新趋势·新定义定义：如果△ABC内有一 点P,满足∠PAC=∠PCB=∠PBA,那么 称P为△ABC的“布罗卡尔”点.如图，在 △ABC中，若AB=AC=5,BC=8,P为 △ABC的“布罗卡尔”点，且PA=2,则PC 第4题图 第5题图 5.(教材第36页题2变式)如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CDLAB于点D,则图中的相 似三角形共有 对. 6.如下图，已知△ABC,AB=AC,利用尺规作图 法在BC边上求作一点D,连接AD,使得 △ADCp△BAC(不写作法，保留作图痕迹). 个30 九年级数学RJ版 7.(2024上饶广丰区期末)如下图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10,AC=8.E是AC上 一点，AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD 的长. 8.如右图，AB是⊙O的切 线，B为切点，连接AO交 ⊙O于点C,延长AO交 ⊙O于点D,连接BD, OB,且∠A=∠D. (1)求证：AB2=OD·AD; (2)若AC=3,求AB的长.