27.2.1 第3课时 相似三角形的判定定理2-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（人教版）

第3课时相似三 知识要点扫描 -------------------------0 相似三角形判定定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似， 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 △BC中，“0=S,∠A=∠， ∴.△ABCO△A'B'C'. 当两个三角形有两组对应边的比相等时， 可考虑用判定定理2证明两个三角形相似.此 判定定理可类比全等三角形判定定理的“边角 边”定理，要特别注意“夹角”的含义，一定要抓 住“对应”二字，写三角形相似时要把对应顶点 写在对应的位置上. 经典例题剖析 【例】如右图，在正方形AB CD中，M是CD的中点，点N在 BC上，BN=3VC.求证：AM2= AD·AN. 【点拨】先证△CMN∽△DAM,再证 △AMNC∽△ADM,从而证得结论 【解】设CN=k,则BN=3k, ..AD=DC=BC=4k. .M是CD的中点，∴.CM=DM=2k, 器洛 在正方形ABCD中，∠C=∠D=90°， ·△CMN∽△DAM,.MN=CM AM DA DA,∠CMN=∠DAM,:M-AM DM ·DM-AD ∠DAM+∠AMD=90°， ∴.∠CMN+∠AMD=90°， .∠AMN=90°=∠D, 角形的判定定理2 ∴.△AMNp△ADM, AA-AD.AN. 基础对点训练 知识点用两边和夹角判定三角形相似 1.如图，已知△ABC,则下列四个三角形中，与 △ABC相似的是 70° 第1题图 第2题图 2.如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边 长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网 格图中的三角形与△ABC相似的是() B C D 3.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D= 60,∠E=80,光器则∠B的度数是 A.40° B.60° C.80° D.100° 4.如图，在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠D,要使△ABC与 △ADE相似，还需满足下列条 B 件中的 ( 第4题图 A品提 B品 c品是 n船 下册第二十七章 27△ 5.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使 △ACD∽△ABC,则必须具备的条件可以是 () 部品 B.CD_BC AD AB C.CD=AD·DBD.AC=AD·AB 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，已知AB=2,AD⊥BC, 垂足为D,BD=2CD.若E是AD的中点， 则EC= 7.如图①，在6×6的方格纸中，有格点三角形 （三个顶点都在方格顶点上的三角形)ABC. (1)请在图②中画一个格点三角形，使它与 △ABC相似（不全等），且相似比为有理数； (2)请在图③中画一个格点三角形，使它与 △ABC相似，且相似比为无理数 LL 图① 图② 图③ 8.如下图，在△ABC中，AE交BC于点D.若 ∠C=35°，AD:DE=3:5,AE=8,BD=4, DC-5求∠E的度数. 9.新考法·条件开放如下图，在△ABC与 △A'B'C'中，点D,D'分别在边BC,BC'上， 且△ACD∽△A'C'D'.若 ,则 △ABDp△A'B'D'. 28 九年级数学RJ版 请从①BD=B'D' 部部®"器带 0品这3个选顶中选择1个作为条 件（写序号），并加以证明. 10.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是 AD,CD上的点，AE=ED,DF=DC,连 接EF并延长，交BC的延长线于点G,连 接BE. (1)求证：△ABE∽△DEF; (2)若正方形的边长为4，求BG的长.把A(-2,0,B(2,3)代入y=kx+b,得{23,0， k-3 4 3 3 ·.一次函数的解析式为y= 4x十2 (2)如图所示，过点B作BE⊥x轴 于点E,设CD与x轴交于点F :直线x=m(m>2)与反比例函 数y=2(x>0)和y=-2(x> 0)的图象分别交于点C,D ∴Saaw=2X6=3,Saw=7 ×-2|=1, .S么an=S△ap+S△xF=4,.S△8=2S△xD=8. :BE⊥x轴，点B在反比例函数y=S(x>0)的图象上， SAOWE=SAOOF =3. :S四边形8cF=S△C十S△F=S△0E十S格形EFC, .S梯形EFC=S△e=8. 设C(m,分），则oF=m,CF=品 m B(2,3),∴.OE=2,BE=3,.EF=m-2, “2（3+品)m一2》=8，解得m=6(负值已合去)。 经检验，m=6是原方程的解，且符合题意， .点C的坐标为(6,1). 第二十七章相似 27.1图形的相似 第1课时相似图形 1.D2.B3.③⑤①②④⑥ 4.解：如图（答案不唯一）. B C 第2课时相似多边形 1.A变式题D223C4.B5.C6.1.2变式题号 7.解：.矩形AEFD∽矩形BCFE, ÷器器即g- 5 设BE的长为xm. :十5x=25,解得x-5-号（负值已含去， 2 ∴BE的长为(5-号）m 8.B 9.解：(1)AD=1.5=1,AE=1.8.1DE31 AB4.5-3‘AC-5.43'BC=9=3 (2)证明：DE∥BC,∴∠D=∠B,∠E=∠C 又：∠DAE=∠BAC,品-装-. .△ADE与△ABC相似. 27.2相似三角形 27.2.1相似三角形的判定 第1课时平行线分线段成比例 1.B2.C3.B4.25.号变式题B6.B7.12 8.解：，BD是∠ABC的平分线，∴.∠ABD=∠CBD. ,AB∥CD,∴.∠D=∠ABD,∴.∠D=∠CBD.∴.BC=CD. BC=4,∴.CD=4. 148 九年级数学RJ版AH .'AB∥CD,∴.△ABE∽△CDE 0E即受-是AE=2CE .AC=6=AE+CE,∴.AE=4. DF DG 3 9.解：1)GF∥BC,F=BG=2 .BD=20,.BG=8. (2),四边形ABCD是平行四边形， AB/cD.AB=D÷R沿-8器 由1.相器-号器-号…器-号…器号 =之…CD=2 第2课时相似三角形的判定定理1 1.C2.A3.B 4.相似三边对应成比例的两个三角形相似 5.一定6.40°7.248.2 9.证明：.∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， CE-7AD.CF-TAB.EF-DB. 恶g席△FPAADB.∠CE=∠R 10.解：(1)相似.理由如下： .'AB=√1+2=√5，AC=√22+6=2√10，BC=5, DE=1,DF=√12+22=√5，EF=√22+22=2√2， 品祭-器-V5∴△ABC△EDE (2)(答案不唯一)如图，△A'B'C'与△ABC相似，它们的相 似比是√② B R' 11.证明：(1)设AB=BD=DE=EC=m, 则AD=√2m,CD=2m,AE=√5m,AC=√10m, 出0-号货号普得即 2 品-得△ADEn△(DA (2)由(1)可知，△ADE∽△CDA,∴.∠DAE=∠3 .∠B=90°，AB=BD,∴.∠1=45° 又.∠1=∠2+∠DAE,∴.∠2+∠3=∠1=45°， .∠1+∠2+∠3=90°. 第3课时相似三角形的判定定理2 1.D2.C3.B4.C5.D6.1 7.解：（答案不唯一）(1)如图①所示，它与△ABC相似（不全 等)，且相似比为2. (2)如图②所示，它与△ABC相似，且相似比为2 图① 图② 8.解：AD:DE=3:5,AE=8,AD=3,DE=5 :D=4,Dc-…品%=是 又·∠ADC=∠BDE,.△ADC∽△BDE .∠E=∠C=35° 9.解：示例：选择① 证明：.△ACD∽△A'CD', ∠Ac-∠ADC,品品. .∠ADB=∠A'D'B'. 又器部器品…器-品 AD .△ABD∽△A'B'D'. 10.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB= AD=CD. AE-ED,DF-+DC.AE-ED-2 AB.DF-AB, 提5=2△ABE△DEF (2:AD/CG△EFD△GFC,88E=号 :DE=2AB=2X4=2, ..CG=6,.BG=BC+CG=10. 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2D3.C变式题D4.95.3 6.解：如图，△ADC即为所求. B D C 7.解：，ED⊥AB,.∠ADE=90°，.∠ADE=∠C=90. 又∠A=∠A,△ADE△ACB, 把福即品 8=0AD=4. 8.解：(1)证明：，OB和OD是⊙O的半径，∴.∠D=∠OBD ,∠A=∠D,.∠A=∠OBD,AB=BD 又，∠D=∠D,.△OBDC∽△BAD, .OD:BD=BD:AD,∴.BD=(OD·AD,即AB=OD·AD. (2)AB是⊙O的切线，B为切点， .OB⊥AB,.AB2=OA2-OB2 由(1)知AB=OD·AD,∴.OA2-OB=OD·AD 设OD=x. AC=3,..AD=2x+3,0B=,OA=x+3, .(x十3)2一x2=x(2x十3)，解得x=3(负值已舍去)， ∴.OA=6,OB=3,∴.AB2=OA2-OB2=27,.AB=3√3 解题模型专练相似三角形的基本模型 ∠ABO=∠DCO, 1.解：(1)证明：在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC, OA=OD, ∴.△AOB≌△DOC(AAS). (2)△AOB≌△DOC,.AB=DC=2. ,EF∥CD,.△BCD∽△BEF 能即原3…EF=号 2 3 2.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠EAD. ,∠EAD=∠ADE,.∠ADE=∠BAD, ∴.DE∥AB,∴.△DCEp△BCA. (2),∠EAD=∠ADE,∴.AE=DE 设DE=x,则CE=AC-AE=AC-DE=8-x. .△DCEC△BCA, 需得号-8解得华 8 DE=AE=24,CE=AC-AE=号 24 南.得DE/A8器器-室-是 3.解：BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE. .BC=CD,.∠D=∠CBE,.∠D=∠ABE 又，∠CED=∠AEB,.△CED∽△AEB, 器器 AB=2,CD=BC=4,AE=1, 99-专解得CE=2 4.证明：：AB=BE,BD部器 ∠ABE=∠DBA,∴.△ABE∽△DBA, ∴.∠BAE=∠BDA. .DB平分∠ADC,.∠BDA=∠BDC, ∴.∠BAE=∠CDE 又，∠BEA=∠CED,∴.△ABE∽△DCE 2)由.得AME△DE荒-票，脚能器 .∠AED=∠BEC,.△ADE∽△BCE, ∴.∠EAD=∠CBD 又，∠ADE=∠BDC,∴.△AED△BCD. ÷-0即AECD=BC·ED 5.证明：(1).∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. “AB△ABCO△ADE∠ACB=∠AED (2)·∠AED=∠ACD,∠AFE=∠DFC, △AFEn△DFC品器 ∴.AF·CF=DF·EF. 6.解：△ABCp△ADE,△ABDp△ACE 理由：.∠BAD=∠CAE, ..∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, 又，∠ABC=∠ADE,.△ABC∽△ADE, 器能般架 又.∠BAD=∠CAE,∴.△ABDc∽△ACE 7.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB+AC=√62+82=10. :∠BAC=90°，ADLBC, .∠CAB=∠ADB. 又.∠CBA=∠ABD,.△CBAの△ABD, 滑紧即京品号5D=3.6 (2)证明：由(1)，得△CBA△ABD, ∠c=∠aD,0S0B职 E为AC的中点，AD⊥BC,.ED=AE=EC .∠EDC=∠C=∠FAD. .'∠FDB=∠EDC,.∠FDB=∠FAD 又∠F=∠F,∴.△DBFC△ADF, -R器船-R=BA·AF=ACDR 8.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD .∴.△AGB∽△MGD,△AGD∽△FGB, S-部e既∴%SAG=6f.GM (2).AB∥DM,.∠BAG=∠M. ∠BAG=∠BCG,∴∠M=∠BCG. '∠MGC=∠CGF,.△CGF∽△MGC, e恶(G=MGFG 由(1)，得AG=GF·GM,.AG=CG. 在□ABCD中，对角线AC,BD交于点E,..AE=EC, .GE⊥AC,即BD⊥AC, ,□ABCD是菱形. AH下册参考答案 149