第23章一次函数学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第23章一次函数 第一课时23.1一次函数的概念 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.理解正比例函数、一次函数的解析式，熟练地求解析式. 2.理解一次函数的概念，以及它们之间的关系； (二)过程与方法： 1.经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识； 2.经历从一类具体实例中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力. (三)情感态度与价值观：通过列举具体实例，引进正比例函数的概念，使学生感受数学源于生活，树立学生学好数学的自信心. 二、教学重点、难点 重点：正确理解正比例函数的概念.会根据已知信息写出一次函数的解析式. 难点：根据已知条件写出正比例函数解析式.理解一次函数的意义和写出实际问题中函数的解析式. 三、教学过程 问题1: 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题： (1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)？ (2)京沪高铁列车的行程 y(单位：km)与运行时间 t(单位：h)之间有何数量关系？ (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已 经过了距离始发站1100km的南京南站？ 解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h) (2)京沪高铁列车的行程 y是运行时间 t 的函数，函数解析式为：y=300t (0≤t≤4.4) (3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当 t =2.5时函数 y=300t 的值，即 y=300×2.5=750(km)这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站. 思考1 y=300t 中自变量与常量用什么运算符号连接起来？ 思考2 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式. (1)圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化；________. (2)铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量 m(单位:g)随它的体积 V(单位:cm3)变化而变化；________. (3)每本练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h(单位:cm)随这些练习本的本数 n 的变化而变化；________. (4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度 T(单位:℃)随冷冻时间 t(单位:min)的变化而变化.________. 正比例函数 认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？ (1) l=2πr (2) m=7.8V (3) h=0.5n (4) T=-2t 正如函数 y=300t 一样，上面这些函数都是常数与自变量的积的形式. 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注：(1)k是常数，且k≠0；(2)自变量x的次数是1；(3)自变量x的取值范围是一切实数；(4)y=kx，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=kx. 练习 1.下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ (1) y=-0.1x (2) y= (3) y=2x2 (4) y2=4x 解：(1)，(2)是正比例函数. 2.列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数. (1)正方形的边长为x cm，周长为y cm； (2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收入为y元； (3)一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为x cm，体积为y cm3. 解：(1)y=4x，是正比例函数；(2)y=12x，是正比例函数；(3)y=3x，是正比例函数. 问题2 某登山队大本营所在地的气温为5℃.海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.试用函数解析式表示y与x的关系. 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为 y=5-6x 这个函数也可以写为 y=-6x+5 这个函数是正比例函数吗？它与正比例函数有什么不同？ 当登山队员由大本营向上登高0.5km时，他们所在位置的气温就是当x=0.5时函数y=-6x+5的值，即 y=-6×0.5+5=2(℃) 思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同点？ (1)有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差.____________________. (2)一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得的差是G的值.______________. (3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/min收取).______________. (4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y(单位:cm2)随x的变化而变化.______________________. 认真观察以上出现的四个函数有什么共同特点？ (1) c = 7t-35 (20≤t≤25) (2) G = h-105 (3) y = 0.1x+22 (4) y = -5x+50 (0≤x＜10) 正如函数 y=-6x+5 一样，上面这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. 特别注意：k≠0，自变量x的指数是1. 思考 一次函数与正比例函数有什么不同？ 当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 练习 1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ (1) y=-8x (2) y= (3) y=5x2+6 (4) y=-0.5x-1 解：(1)它是一次函数，也是正比例函数；(2)它不是一次函数，也不是正比例函数； (3)它不是一次函数，也不是正比例函数；(4)它是一次函数，但不是正比例函数. 2.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s. (1)求小球速度v(单位:m/s)关于时间t(单位:s)的函数解析式.它是一次函数吗？ (2)求第2.5s时小球的速度. 解: (1)小球速度 v 关于时间 t的函数解析式为v = 2 t， 它是一次函数. (2)当 t = 2.5s时，v = 5(m/s). 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、 填空题 1、形如 的函数是一次函数。 2、大连市区与庄河两地之间的距离是160km，若汽车以每小时80 km 的速度匀速从庄河开往大连，则汽车距庄河的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式为 . 3、已知一个正比例函数的图像经过点(-2，4)，则这个正比例函数的表达式是 。 4、已知与成正比例，且时，则时 。 5、函数中自变量的取值范围是 。 6、如果函数是正比例函数，则= 。 7、已知正比例函数，其中x是自变量，那么的取值范围是 。 8、若，y是变量，且函数是正比例函数，则 。 二、选择题 9、下列关系中的两个量成正比例的是( )； A、从甲地到乙地，所用的时间和平均速度； B、正方形的面积与边长； C、买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D、人的体重与身高 10、下列函数中是的正比例函数的是( ) A、； B、； C、； D、 11、下列说法不成立的是( ) A、在中与成正比例 B、在中与成正比例； C、在中与成正比例；D、在中与成正比例； 12、若函数是正比例函数，其中x是自变量，则的值是( ) A、=-3 B、=1 C、=3 C、>-3 13、已知和是直线上的两点，且，则与的大小关系是( ) A、> B、< C、= D、以上都不可能 三、解答题 14、写出下列各题中与的关系式，并判断是否是的正比例函数。 (1)广告设计收费标准是每个字0.1 元，广告费（元）与字数（个)之间的函数关系； （2） 地面气温是28℃，如果每升高1km 气温下降5℃，气温 (℃)与高度（km）的关系； （3） 圆面积（cm2 ）与半径(cm)的关系。 15、已知是正比例函数。其中x是自变量，求的值。若是一次函数，求的值。 16、在水管放水的过程中，放水的时间(min)与流出的水量（m3)是两个变量，已知水管每分钟流出的水量是0.2m3 ，放水的过程持续10min，写出与之间的函数解析式。 23.2一次函数的图象与性质 第2课时：正比例函数的图象与性质 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.能用两点法画正比例函数的图像； 2.探索正比例函数图象性质，并能利用函数图像性质解决简单问题. (二)过程与方法：通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想. (三)情感态度与价值观：结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度. 二、教学重点、难点 重点：掌握正比例函数的图像性质. 难点：利用函数图像性质解决简单问题. 三、教学过程 忆一忆 1.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s (米)与赛跑时间 t (秒)的关系如图所示，则下列说法正确的是( ) A.甲、乙两人的速度相同 B.甲先到达终点 C.乙用的时间短 D.乙比甲跑的路程多 2.下列函数中是正比例函数的是______. ①y=-5x；②y= ；③y=3x2+5；④y=；⑤y=-x-1 3.画函数图象需要经历哪些步骤？_________________. 例1 画出下列正比例函数的图象：(1) y=2x，y=x； (2) y=-1.5x，y=-4x. 解：(1) y=2x，y=x 经过原点和第三、第一象限的一条直线， 从左向右上升，y随着x的增大而增大. (2) y=-1.5x，y=-4x. 经过原点和第二、第四象限的一条直线， 从左向右下降，y随着x的增大而减小. 一般地，正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx.当k＞0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小. 思考 (1)经过原点与点(1，3)的直线是哪个函数的图象？________；若经过原点与点(1，-5)呢？________. (2)经过原点与点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象？________. (3)画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？ 因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象.一般地，过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，即正比例函数y=kx(k≠0)的图象. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点和点(1，k)的一条直线. 练习 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y=x (2) y=-3x 解：(1) (2) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、函数y=(m2)x+5m是一次函数，其中x是自变量，则m满足的条件是_________，若此函数是正比例函数，则m的值为_________，此时函数关系式为_________．[来源:Z#xx#k.Com] 2、已知函数y=(m10)x+12m，其中x是自变量。 (1)m为何值时，这个函数是一次函数； (2)m为何值时，这个函数是正比例函数． 3、已知函数y=3x，并画出它的大致图象． 4、(1)下列问题中，是正比例函数的是(　　) A．矩形面积固定，长和宽的关系B．正方形面积和边长之间的关系 C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系 (2)下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是(　　)[来源:学,科,网] A．路程一定时，时间y和速度x的关系B．长10米的铁丝折成长为y，宽为x的长方形 C．圆的面积y与它的半径x D．斜边长为5的直角三角形的直角边y和x 5、(1)下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是(　　) A．正方形周长y和它的边长x的关系B．圆的面积y与半径x的关系 C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系 D．一棵树的高度为60，每个月长高3，x月后这棵的树高度为y (2)在下列函数关系中：①y=kx，②y=x，③y=x2 (x1)x，④y=x2 +1，⑤y=22 x，一定是一次函数的个数有 (　　) A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 第3课时：一次函数的图象与性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.让学生会画一次函数的图象，理解一次函数的图像和性质以及与正比例图像之间的关系；2.灵活运用一次函数的性质解诀实际问题. (二)过程与方法：通过一次函数的图象和性质的探究，培养学生的观察、比较、类比、联想、分析、归纳、概括的逻辑思维能力以及培养学生的动手实践能力. (三)情感态度与价值观：通过对一次函数图象和性质的自主探究，让学生获得亲自参与研究探索的情感体验，从而增强学习数学的热情. 二、教学重点、难点 重点：会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质. 难点：能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题. 三、教学过程 忆一忆 1.什么是一次函数？请写出两个一次函数的解析式. 2.什么叫正比例函数？从解析式上看，正比例函数与一次函数有什么关系？ 3.正比例函数有哪些性质？是怎样得到这些性质的？ 正比例函数 解析式：y=kx (k≠0) 图象：经过原点和(1，k)的一条直线. 性质：当k＞0，y随x的增大而增大， 当k＜0，y随x的增大而减小. 一次函数 解析式：y=kx+b (k≠0)；图象：？；性质：？. 例2 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. 解： 思考 比较右边两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观 察结果： 这两个函数的图象形状都是____.并且倾斜程度____.函数 y=-6x的图象经过原点，函数y=-6x+5的图象与y轴交于点________，即它可以看作由直线y=-6x向___平移____个单位长度而得到的. 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？ 联系例2，考虑一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什么关系？ 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx向上(或向下)平移|b|个单位长度而得到的. 当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移. 例3 画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象. 分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它. 解： 先画直线y=2x与直线y=-0.5x，再分别平移 它们，也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1. 探究 画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象，由它们联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？ 一般选取与x轴的交点(-，0)与y轴的交点(0，b). 当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k＜0时， 直线y=kx+b从左向右下降.由此可知，一次函数y=kx+b (k，b是常数，k≠0)具有如下性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小. 练习 1.直线y=2x-3与x轴交点坐标为__________，与y轴交点坐标为__________，图象经过______________象限，y随x的增大而________. 2.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系. (1)y=x-1，y=x，y=x+1；(2)y=-2x-1，y=-2x，y=-2x+1. 解：(1)直线y=x-1可以看作由直线y=x向下平移1个单位长度得到，直线y=x+1可以看作由直线y=x向上平移1个单位长度得到. (2)直线y=-2x-1可以看作由直线y=-2x向下平移1个单位长度得到，直线y=-2x+1可以看作由直线y=-2x向上平移1个单位长度得到. 3.在同一直角坐标系中画出下列(1)(2)中各函数的图象，并指出每组函数图象的共同之处. (1)y=x+1，y=x+1，y=2x+1； (2)y=-x-1，y=-x-1，y=-2x-1. 解：(1)函数图象从左向右上升，y随x的增大而增大，都经过第一、二、三象限，与y轴交点是(0，1). (2)函数图象从左向右下降，y随x的增大而减小，都经过第二、三、四象限，与y轴交点是(0，-1). 归纳 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与性质 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、已知一次函数为y=3x+6． (1)求直线与坐标轴的交点坐标，并画出图象； (2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积． 2、在同一直角坐标系中，画出一次函数y=+2与y=2x+2的图象，并求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积与周长． 3、在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象大致是(　　) A． B． C． D． 4：如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 5：已知：y是x一次函数，且当x=2时，y=；且当x=时，y=1 (1)试求y与x之间的函数关系式并画出图象； (2)在图象上标出与x轴、y轴的交点坐标；  (3)当x取何值时，y=5？ 6：已知：下表是函数y=kx+b的两组对应值． (1)求这个函数的解析式； (2)利用描点法画出这个函数的图象，并指该图象是什么图形； (3)当y＜4时，求自变量x的取值范围． 7：函数y=kx+|k|(k≠0)在直角坐标系中的图象可能是(　　) A． B． C． D． 8：画出函数y=|x1|的图象． [来源:学科网] 第4课时：一次函数的解析式的求法 一、教学目标 (一)知识与技能：正确理解待定系数法，掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法. (二)过程与方法：能从函数图像给定的信息找出已知条件，培养学生分析问题的能力. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：用待定系数法求一次函数的解析式. 难点：能从不同的条件下找出隐含条件求一次函数解析式. 三、教学过程 知识回顾 1.什么叫一次函数？ 一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 2.一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)有什么性质呢？ ①当k＞0时，y随x的增大而增大； ②当k＜0时，y随x的增大而减小. 3.常数k和b是怎样影响函数图象的呢？ ①k的正负决定直线的方向. ②b的正负决定直线与y轴交点在原点上方还是下方. 画一画 画出函数y=2x和y=-x+3的图象. 新知探究 求下图中直线的函数解析式. ①图(1)是经过_____的一条直线，因此是_______函数. ②设它的解析式为_______. ③将点________代入解析式求出______，从而确定该函数的解析式为_______. 确定正比例函数的解析式需要___个条件. 图(2)设直线的解析式是________，因为此直线经过点______和______，因此将这两个点的坐标代入可得关于k，b方程组，从而确定k，b的值，确定了函数解析式. 确定一次函数的解析式需要___个条件. 解：设直线的解析式为y=kx+b ∵ 直线经过点(0，3)与(2，0) ∴ 解方程组得 ∴ 这条直线的解析式为y=-x+3 例4 已知一次函数的图象过点(3，5)与(-4，-9)，求这个一次函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ←设 ∵ y=kx+b的图象过点(3，5)与(-4，-9) ∴ ←列 解方程组得 ←解 ∴ 这个一次函数的解析式为y=2x-1 ←代 像例4这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法. 练习 1.已知一次函数的图象经过点(9，0)和点(24，20)，写出函数的解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ∵ y=kx+b的图象过点(9，0)与(24，20) ∴ 解方程组得 ∴ 这个一次函数的解析式为y=x-12 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、(1)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(3，2)，求这个正比例函数的解析式； (2)已知一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图象经过点A(3，0)、B(0，2)．求这个一次函数的解析式？ 2、(1)已知正比例函数经过点(6，3)，那么该正比例函数应为 ； (2)已知y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图象经过点(2，7)，(3，2)，则该一次函数的解析式为 ． 3、(1)已知一次函数y=kx+b经过点(1，5)和(3，1)，则这个一次函数的解析式为 __ ；[来源:学_科_网] (2)已知一次函数与x轴交点为(3，0)，且经过点(1，4)，则该一次函数的解析式为 ； (3)已知一次函数y=2x+m，当x=1时，y=2，则这个一次函数的解析式为 _____ ． 4、(1)已知一次函数y=kx+b经过点(1，1)和(2，1)，则这个一次函数的解析式为 _ ； (2)已知一次函数与x轴交点为(3，0)，且经过点(1，2)，则这个一次函数的解析式为 ； (3)已知一次函数y=kxk+4(k≠0)的图象与y轴的交点坐标是(0，2)，那么这个一次函数的解析式为_________． 5、一次函数y=kx+b，当x的值减少1时，y的值就减少2，当x的值增加3时，则y的值_________． 6、若一次函数y=kx+b(k≠0)，当x的值增大1时，y值减小3，则当x的值减小3时，y的值(　　) A．增大3 B．减小3 C．增大9 D．减小9 7、如图所示，矩形OABC中，OA= 4，OC=2，D是OA的中点，连接AC、DB，交于点E，以O为原点，OA所在的直线为x轴，建立坐标系． (1)分别求出直线AC和BD的解析式； (2)求E点的坐标； (3)求△DEA的面积． 提高训练 8、已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A(1，0)、点B(0，)，O为坐标原点，∠ABO=30°．以线段AB为边在第三象限内作等边△ABC． (1)求直线AB的解析式；       (2)求出点C的坐标． 9、已知，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P(1，a)为坐标系中的一个动点． (1)求△ABC的面积S△ABC； (2)请说明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数； (3)要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值． 10、如图，在直角坐标系xOy中，直线AB交x轴于A(1，0)，交y轴负半轴于B(0，5)，C为x轴正半轴上一点，且CA=CO． (1)求△ABC的面积； (2)延长BA到P，使得PA=AB，求P点的坐标； (3)如图，D是第三象限内一动点，且OD⊥BD，直线BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE延长线于F．当D点运动时，的大小是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值． 拓展提高 11、平面直角坐标系内有两条直线l1、l2，直线l1的解析式为y=x+1，如果将坐标纸折叠，使直线l1与l2重合，此时点(2，0)与点(0，2)也重合，求直线l2所对应的函数关系式． 12、将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与(2，0)重合，且直线l1与直线l2重合，若l1的方程为2x+3y1=0，则l2的方程为_________． 第5课时：一次函数与方程（组）、不等式 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.理解一次函数与方程（组）、不等式的关系； 2.会用函数的方法求解一元一次方程（组）、不等式的解。 (二)过程与方法：经历探索方程（组）、不等式与一次函数的内在联系的过程，体会数形结合的数学思想. (三)情感态度与价值观：通过教学活动，让学生学会从不同角度认识事物本质的方法，建立自信心，提高学生自主合作探究学习的意识和能力，激发学生学习的兴趣，让学生体验数学的价值. 二、教学重点、难点 重点： 1. 对一次函数与方程（组）不等式的关系的理解； 2. 应用函数图像求解方程（组）、不等式. 难点：对一次函数与方程（组）、不等式的关系的理解. 三、教学过程 提出问题 看下面两个问题之间的关系： (1)解方程2x+20=0 (2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 分析：可以从以下三个方面进行思考 1.对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同. 2.从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 3.若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？ ◆对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？ ◆从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？ 从“数”上看 ◆若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？ 从“形”的角度看： 直线y=2x+20的图象与 x 轴 的交点坐标为________，这说明 方程2x+20=0的解是______. 一次函数与一元一次方程的关系 思考 下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ (1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1. 从“数”的角度看： 解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值. 从“形”的角度看： 在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，它们的横坐标分别为_____________. 练习 1.已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答： (1)当y=0时，求x的值； (2)当y=2时，求x的值. 解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为(1，0) ∴ 当y=0时，x=1 (2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为(0，2) ∴ 当y=2时，x=0 2.利用一次函数图象解方程5x-1=2x+5. 解：原方程变形为3x-6=0，并画出一次函数y=3x-6的图象.由图象可知一次函数y=3x-6与x轴交点为(2，0)因此，方程3x-6=0的解为x=2，即方程5x-1=2x+5的解为x=2. 用函数观点，从“数”和“形”两个角度学习了一元一次方程求解问题. 如图：(1)当x=___时，一次函数y=x-2的值为0，则x=2是一元一次方程_______的解； (2)一元一次方程x-2=1的解为_____，则当x=3时，一次函数y=x-2的值为___. 当x为何值时，函数y=x-2对应的值大于0？ 问题 (1)解不等式2x-4＞0； (2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？ 解：(1)解得x＞2；(2)由2x-4＞0，解得x＞2，即当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0. 在上面问题的解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？ 从“数”的角度看它们是同一个问题，只是表达的形式不同. 从“数”上看 根据一次函数与不等式的关系填空： (1)解不等式3x-6＜0，可看作_________________________________________________. (2)“当自变量x取何值时，函数y=-5x+8的值大于0”可以看作_____________________. 解：画出直线y=2x-4，可以看出，当x＞2时，这条 直线上的点在x轴的上方，即这时，y=2x-4＞0. 因此不等式2x-4＞0的解集为x＞2. 从“形”的角度看它们也是同一个问题. 从“形”上看 根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集. (1) 3x+6＞0 (即y＞0)_________ (2) 3x+6≤0 (即y≤0)_________ (3) -x+3≥0 (即y≥0)_________ (4) -x+3＜0 (即y＜0)_________ 一次函数与一元一次不等式的关系 思考 下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？ (1) 3x+2＞2； (2) 3x+2＜0； (3) 3x+2＜-1. 从“数”的角度看： 解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围. 从“形”的角度看： 在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，它们的横坐标分别满足____________________. 练习 1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=-5x+8的值满足下列条件？ (1) y＞0；________ (2) y≤-2. ________ 2.利用函数图象解不等式：6x-4≤3x+2. 解：原不等式变形为3x-6≤0 画出函数y=3x-6的图像 由图像可以看出：当x≤2时， 这条直线上的点在x轴的下方， 这时y=3x-6≤0 即原不等式的解集为：x≤2. 想一想 x+y=5 它表示什么呢？ 它表示一个二元一次方程. y=-x+5 它表示什么呢？ 它既可表示一个二元一次方程，又可表示一个一次函数. 对于二元一次方程2x-y=3可以将其写成一次函数 __________的形式. 1.画出一次函数y=2x-3的图象； 2.找出方程的几组解； 3.把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么？ 4.在一次函数y=2x-3的图象上点的坐标都是二元一次方程2x-y=3的解吗？ 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解. 方程组 1.在同一直角坐标系中，分别作出一次函数y=-x+5和y=2x-1的图象，这两个图象有交点吗？ 2.直线y=-x+5和y=2x-1的交点坐标与方程组的解有什么关系？ 解方程组得 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 问题3 1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系； (2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15. (2)在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可得 解得 这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 在同一直角坐标系中，画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象.两条直线交点坐标为(20，25)，这也说明当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度. 练习 考虑下表两种移动电话计费方式 用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 解：用x(min)表示通话时间，y(元)表示费用.则方式一的函数解析式为y=0.15x+20，方式二的函数解析式为y=0.2x.列得方程组 解得 答：当通话时间为400min时，两种计费方式费用相等，都为80元. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为(　　) A．x=2 B．y=2 C．x= D．y= 2、已知关于x的方程mx+n=0的解是x=，求直线y=mx+n与x轴的交点坐标． 3、一次函数y=ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 4、已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点(2，0)，则关于x的不等式a (x1)b＞0的解集为(　　) A．x＜1 B．x＞1 C．x＞1 D．x＜1 5、如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是 ． 6、如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是(　　) A． B． C． D． 7、(1)已知关于x的方程mx+n=0的解是x=2，那么，直线y=mx+n与x轴的交点坐标是 ． (2)如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b与直线OA：y=mx相交于点A(1，2)，则关于x的不等式kx+b＜mx的解是 ． (3)如图，直线l1和l2的交点坐标为(　　) A．(4，2) B．(2，4) C．(4，2) D．(3，1) 8、(1)已知方程2x+1=x+的解是x=1，那么，直线y=2x+1与直线y=x+的交点坐标是 __ __ ． (2)在平面直角坐标系中，直线y=kx+1关于直线x=1对称的直线l刚好经过点(3，2)，则不等式3x＞kx+1的解集是__ __ ． (3)如图，直线l1、l2交于点A，试求点A的坐标． 9、已知一次函数y1=kx+b和正比例函数y2＝x的图象交于点A(2，m)，又一次函数y1=kx+b的图象过点B(1，4)． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象写出y1＞y2的取值范围． 10、已知函数y1=kx+3，y2=+b的图象相交于点(1，1) (1)求k、b的值，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象． (2)利用图象求出当x取何值时：①y1＞y2；②y1＞0且y2＜0． 11、如图，已知一次函数的图象经过点A(1，0)、B(0，2)． (1)求一次函数的关系式； (2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标． 12、如图，已知直线y=kx+b经过点A(1，4)，B(0，2)，与x轴交于点C，经过点D(1，0)的直线DE平行于OA，并与直线AB交于点E． (1)求直线AB的解析式； (2)求直线DE的解析式； (3)求△EDC的面积．[来源:学科网ZXXK] 拓展提高 13、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数为 个． 14、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2，0)、(2，4)，点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 个． 第6课时：23.4实际问题与一次函数 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.进一步训练学生的识图能力；2.能利用函数图象解诀简单的实际问题. (二)过程与方法： 1.通过函数图象获取信息，进一步培养学生的数形结合意识； 2.通过函数图象解诀实际问题，进一步发展学生的数学应用能力. (三)情感态度与价值观：通过函数图象来解诀实际问题，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，从而培养学生学习数学的兴趣，使他们能积极参与数学活动，进而更好地解决实际问题. 二、教学重点、难点 重点：根据问题及条件找出能反映出实际问题的函数. 难点：能利用一次函数图象解决简单的实际问题，能够将实际问题转化为一次函数的问题. 三、教学过程 提出问题 下图所表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 探究1：“黄金1号”玉米种子的价格为:5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折. (1)填写下表 (2)写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 分析：付款金额与种子价格相关.问题中种子价格不是固定不变的，它与购买量有关.设购买x kg种子，当0≤x≤2时，种子价格为5元/kg；当x＞2时，其中有2kg种子价格按5元/kg计价，其余的(x-2)kg(即超出2kg部分)种子按4元/kg(即8折)计价.因此，写函数解析式与画函数图象时，应对0≤x≤2和x＞2分段讨论. 解：(2)设购买量为x千克，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，y=5x 当x＞2时，y=4(x-2)+10=4x+2 称此类函数为分段函数 思考 你能由上面的函数解析式解决以下问题吗？由函数图象也能解决这些问题吗？ (1)一次购买1.5kg种子，需付款____元； (2)一次购买3kg种子，需付款____元. 练一练 1.某景区集体门票的收费标准是：20人以内(含20人)每人25元，超过20人的部分每人15元. (1)写出应收门票y(元)与游览人数x(不超过20人)之间的函数关系式：_________； (2)写出应收门票y(元)与游览人数x(超过20人)之间的函数关系式：________________. 2.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.请问答： (1)当每月用电量不超过50度时，用电价格是____元/度； (2)当每月用电量超过50度时，超出部分的用电价格是____元/度. 解决问题 下图所表示的函数是分段函数吗？你能写出它的解析式吗？ 练习 2.一个试验室0:00－2:00保持20℃的恒温，在2:00－4:00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T(单位:℃)关于时间t(单位:h)的函数解析式，并画出函数图象. 解： 忆一忆 1.已知y1=-x+2，y2=3x-4，当x=____时，y1=y2，当x____时，y1＞y2，当x____时，y1＜y2. 2.如图，当x_____时，y1＞y2，当x_____时，y1≤y2. 探究2 怎样租车？ 某学校计划在总费用2300元限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示. (1)共需租多少辆汽车？ (2)给出最节省费用的租车方案. 解：(1)要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6辆；要使每辆汽上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6辆. 综合起来可知汽车总数为6辆. (2)设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，即 y=400x+280(6-x) 化简为：y=120x+1680 由解得 4≤x≤，∴ y=120x+1680 (4≤x≤) 方案一：当x=4时，即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车. 租车费用y=120×4+1680=2160(元) 方案二：当x=5时，即租用5辆甲种汽车，1辆乙种汽车. 租车费用y=120×5+1680=2280(元) 因此，为节省费用应选择方案一. 还有其它选择方案的方法吗？ 由k=120＞0可知，函数值y随x增大而增大. ∴ 当x=4时，y最小=120×4+1680=2160 即租用4辆甲种汽车，2辆乙种汽车时，租车费用最省为2160元. 归纳 练习 为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件.小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择.每个笔记本14元，每支钢笔15元.售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x(x＞10)支钢笔需要花y元. (1)请你求出y与x的函数关系式； (2)在(1)的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱. 解：(1) 化简，得 (2)①当12x+30＞14x时，解得x＜15. 即当买超过10件但少于15件奖品时，买笔记本更省钱； ②当12x+30=14x时，解得x=15. 即当买15件奖品时，买笔记本和钢笔费用一样； ③当12x+30＜14x时，解得x＞15. 即当买超过15件奖品时，买钢笔更省钱. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、每年的3月12日是我国植树节，某村计划在一山坡地上种A、B两种树，并购买这两种树2000棵，种植两种树苗的相关信息如表： 项目/品种 单价(元/棵) 成活率 劳务费(元/棵) A 25 90% 5 B 30 95% 7 设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题： (1)写出y(元)与x(棵)之间的函数关系式； (2)预计这批树苗种植后成活1860棵，则造这片林的总费用需多少元？ 2、随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过140000元购进A、B两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于29000元的利润，A、B两种品牌电动摩托的进价和售价如下表所示： 品牌 价格 A品牌电动摩托 B品牌电动摩托 进价(元/辆) 4000 3000 售价(元/辆) 5000 3500 设该商场计划进A品牌电动摩托x辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润y元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)该商场购进A品牌电动摩托多少辆时？获利最大，最大利润是多少？ 3、 某公司向市场投放A，B型商品共250件进行试销，A型商品成本160元/件，B型商品成本150元/件，其中A型商品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出.设投放A型商品x件，该公司销售这批商品的利润y元. (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？ (3)该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a的值. 4.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s(单位：米)随跑步时间x(单位：秒)变化的函数关系式，并画出函数图象. 5.某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600 元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数.设游泳x次时，所需总费用为y元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算. 拓展能力提升 6、如图，直线与x轴交于点A(－3，0)，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线相交于点D. (1) 求点D的坐标； (2) 求四边形AOCD的面积； (3)若点P为x轴上一动点，当PC＋PD的值最小时，求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $