2025--2026学年北师大版八年级数学上册期末重点题型培优练习

北师大版八年级上册期末重点题型培优练习 一．选择题 1．在，﹣，，3.14，3.868668666…（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的数是（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列函数关系式中①y＝﹣x；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④；⑤y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；是一次函数的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列结论①﹣3是9的平方根；②27的立方根是±3；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 5．下列有关一次函数y＝﹣4x﹣2的说法中，正确的是（　　） A．点（3，﹣10）在函数的图象上 B．函数图象可由函数y＝﹣4x的图象向上平移2个单位长度得到 C．若A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）两点在该函数图象上，则y1＜y2 D．函数图象经过第一、三、四象限 6．如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若，点P到AF的距离是3，一只蚂蚁要从P爬到B，它的最短行程是（　　） A．5 B． C． D．3 7．小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（　　） A．在第2～7名之间 B．在第8～15名之间 C．在第16～21名之间 D．在第21～25名之间 8．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx﹣的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．一次函数y＝ax+b和y＝bx+a（a，b为常数且a≠b）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形ABCD内部，其中点E，F，G，H分别在长方形的边AD，AB，BC，CD上，若AB＝13，BC＝8，则小正方形的边长为（　　） A． B． C． D．3 13．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 14．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 15．一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论：①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；②；③方程组的解为正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 二．填空题 16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝2的解，则a的值为　 　 ． 17．已知关于x，y的二元一次方程组， ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，则m＝﹣2； ②当m＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2m的解； ③无论m取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则； 以上结论中正确的是　 　 ．（请填写序号） 三．解答题 18．计算： （1）； （2）．（结果保留根号） 19．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题； （1）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； （2）若，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值． 20．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）＝ 　 　 ，＝ 　 　 ； （2）化简：； （3）若，求3a2+12a+1的值． 21．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 22．【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　 　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 23．已知△ABC中， （1）如图1，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，∠B＝80°，求∠AIC的度数； （2）如图2，∠BCE是△ABC的外角，∠BCE、∠BAC的平分线交于点D，求∠B与∠D的数量关系； （3）如图3，∠BCE、∠HAC是△ABC的外角，∠BCE的平分线所在的直线与∠HAC、∠BAC的平分线分别交于点F、D．在△ADF中，如果∠F＝3∠D，求∠B的度数． 24．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）． （1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝　 　 ； （2）若点E在AC的上方，设∠ACB＝β（90°＜β＜180°），则∠DCE＝　 　 （用含β的式子表示）； （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE＝　 　 ； ②当EC∥DA时，直接写出∠ACE＝　 　 ； （4）在（3）的条件下，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时∠DCE所有可能的角度数值为　 　 ，若不存在，请说明理由． 一．选择题（共15小题） 1．在，﹣，，3.14，3.868668666…（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的数是（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数； 所以无理数有﹣，3.868668666…（相邻两个8之间6的个数逐次加1）共2个． 故选：A． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数，熟记无理数的定义是解题的关键． 2．下列函数关系式中①y＝﹣x；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④；⑤y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；是一次函数的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义逐项判断即可． 【解答】解：①y＝﹣x是一次函数，符合题意； ②y＝2x2+1不是一次函数，不符合题意； ③y＝2x﹣1是一次函数，符合题意； ④不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）化简得y＝2x2﹣1﹣2x2﹣2x＝﹣2x﹣1，是一次函数，符合题意． 综上，一次函数有①③⑤，共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，熟知形如y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数是一次函数是解题的关键． 3．下列结论①﹣3是9的平方根；②27的立方根是±3；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义计算判断即可． 【解答】解：①﹣3是9的平方根，正确； ②27的立方根是3，原说法错误； ③式子表示的是4的算术平方根，原说法错误； ④2的平方根是，正确； ⑤16的算术平方根是4，正确． 其中正确的结论是①④⑤， 故选：B． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【分析】根据垂线的性质，数轴与实数，平行线的判定，平行线的性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； B、数轴上的每一个点都有一个实数与它对应，原命题是假命题； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题为真命题； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； 故选：C． 【点评】本题考查判断命题的真假，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．下列有关一次函数y＝﹣4x﹣2的说法中，正确的是（　　） A．点（3，﹣10）在函数的图象上 B．函数图象可由函数y＝﹣4x的图象向上平移2个单位长度得到 C．若A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）两点在该函数图象上，则y1＜y2 D．函数图象经过第一、三、四象限 【分析】根据一次函数的图象和性质判断各选项即可． 【解答】解：A：当x＝3时，y＝﹣14≠﹣10，点（3，﹣10）不在图象上，A错误，不符合题意； B：y＝﹣4x的图象向上平移2个单位得y＝﹣4x+2，但原函数为y＝﹣4x﹣2，B错误，不符合题意； C：∵一次函数为y＝﹣4x﹣2，k＝﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣1＞﹣3， ∴y1＜y2，C正确，符合题意； D：∵k＜0，b＜0， ∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质．熟练掌握该知识点是关键． 6．如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若，点P到AF的距离是3，一只蚂蚁要从P爬到B，它的最短行程是（　　） A．5 B． C． D．3 【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB， 此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵，AB＝2，点P到AF的距离是3， ∴PG＝3， 在直角三角形APG中，由勾股定理得：， ∴BG＝GA+AB＝2+2＝4， 在直角三角形PBG中，由勾股定理得：， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是5． 故选：A． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 7．小明全班32人参加学校的英文听力测验，如图是全校与全班成绩的箱线图．若小明的成绩恰为全校的上四分位数，则下列关于小明在班上排名的叙述，正确的是（　　） A．在第2～7名之间 B．在第8～15名之间 C．在第16～21名之间 D．在第21～25名之间 【分析】小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为75，再结合全班箱线图的大致位置判断即可． 【解答】解：根据全校成绩的箱线图得到：小明的成绩恰为全校的上四分位数大约为75分， 对应全班成绩的箱线图发现在上四分线之上，第一名之下， 全班32人参加学校的英文听力测验，上四分线在从小到大排名的第名之上， ∴小明在班上排名至少超过24人，但不是第一名，即排名在第2～7名之间， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，关键是相关运算法则的熟练掌握． 8．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x、y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】将P（﹣2，n）代入，即可求出n的值，即可求解． 【解答】解：关于x，y的方程组的解是一次函数的图象与y＝kx+b的图象的交点坐标， 将P（﹣2，n）代入得：， 即方程组的解为：， 故选：A． 【点评】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9．我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等，交易其一，金轻十二两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等可得方程7x＝9y，根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两可得方程（x+8y）﹣（6x+y）＝12，据此可得答案． 【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意是关键． 10．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y＝kx﹣的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意可判断直线y＝（3k﹣1）x+5与y＝（7﹣k）x﹣2平行，则7﹣k＝3k﹣1，解得k＝2，然后根据一次函数图象与系数的关系求解． 【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴7﹣k＝3k﹣1，解得k＝2， ∴一次函数y＝2x﹣的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系，一次函数的性质，根据题意得到关于k的方程是解题的关键． 11．一次函数y＝ax+b和y＝bx+a（a，b为常数且a≠b）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断． 【解答】解：A、若a＞0，b＞0，则直线y＝ax+b与y＝bx+a都经过一、二、三象限，故选项错误； B、若a＞0，b＜0，则直线y＝bx+a经过一、二、四象限，直线y＝ax+b经过一、三、四象限，故选项正确； C、若a＜0，b＞0，则直线y＝ax+b经过一、二、四象限，直线y＝bx+a经过一、三、四象限，故选项错误； D、若a＜0，b＜0，则直线y＝ax+b与y＝bx+a都经过二、三、四象限，故选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 12．在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形ABCD内部，其中点E，F，G，H分别在长方形的边AD，AB，BC，CD上，若AB＝13，BC＝8，则小正方形的边长为（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为a，长的直角边为b，那么BC＝2b+a＝8，AB＝2a+3b＝13，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为a，长的直角边为b， 那么AB＝2a+3b＝13，BC＝2b+a＝8， ∴a＝2，b＝3， ∴正方形的边长为， 故选：B． 【点评】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 【分析】由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值． 【解答】解：如图，连接CF， ∵AC＝AD，AC⊥AD， ∴∠ACD＝45°＝∠ADC， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD， ∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°， ∴∠CBD＝45°， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴AE是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°， ∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线得出∠CFD＝90°是解题的关键． 14．如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案． 【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt， 把（5，300）代入可求得k＝60， ∴y甲＝60t， 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n， 把（1，0）和（4，300）代入可得，解得， ∴y乙＝100t﹣100， 令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5， 即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5， 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确； 当乙车没出发前，y甲＝60t＝50，解得； 当乙车出发后且没有追上甲，则y甲﹣y乙＝60t﹣（100t﹣100）＝50，解得； 当乙追上甲后，令y乙﹣y甲＝50，100t﹣100﹣60t＝50， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t＝250， 解得， ∴综上所述，甲乙两车相距50千米时，或或或．故④错误； 综上可知正确的有①②③． 故选：C． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 15．一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C，D四个点．则下列结论：①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；②；③方程组的解为正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【分析】根据一次函数与方程（组）的关系逐一分析判断即可． 【解答】解：一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m）， ∴一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2，①正确； ∵2k+5＝4+k，解得k＝﹣1，②错误； 把k＝﹣1分别代入上面的两个函数， ∴一次函数为y1＝﹣x+5，y2＝2x﹣1， 把P（2，m）代入得﹣2+5＝m， ∴m＝3， ∴P（2，3）， ∴方程组的解为，③正确． ∴正确的结论是①③． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程（组）的关系，一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 二．填空题（共2小题） 16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+y＝2的解，则a的值为　3　 ． 【分析】把两个方程相加即可求出，再利用x+y＝2，从而可得，然后进行计算即可解答． 【解答】解：， ①+②得：4x+4y＝2+2a， 4（x+y）＝2+2a， x+y＝， ∴， ∵x+y＝2， ∴， ∴a＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．熟练掌握以上知识点是关键． 17．已知关于x，y的二元一次方程组， ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，则m＝﹣2； ②当m＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2m的解； ③无论m取什么实数，x+2y的值始终不变； ④若用x表示y，则； 以上结论中正确的是　①③④　 ．（请填写序号） 【分析】将两个方程相加可得x+y＝2+m，①根据题意，由相反数的性质可得：x+y＝0，验证即可；②把m＝1分别代入x+y＝2+m，x+y＝4+2m中，比较即可；③解方程组得出方程组的解，再代入x+2y求值即可；④由①得m＝4﹣x﹣3y，代入②整理，即可得出答案． 【解答】解：， ①+②，得2x+2y＝4+2m，即x+y＝2+m． ①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0， ∴2+m＝0， 解得：m＝﹣2，故①正确； ②原方程组的解满足x+y＝2+m，当m＝1时，x+y＝2+1＝3， 而x+y＝4+2m＝4+2＝6，故②不正确； ③， ②﹣①，得﹣4y＝4m﹣4， 解得：y＝1﹣m， 把y＝1﹣m代入②，得x﹣（1﹣m）＝3m， 解得：x＝2m+1， ∴x+2y＝2m+1+2（1﹣m）＝2m+1+2﹣3m＝3，故③正确； ④， 由①得，m＝4﹣x﹣3y③， 把③代入②，得x﹣y＝3（4﹣x﹣3y）， 去括号，得x﹣y＝12﹣3x﹣9y， 整理，得y＝，故④正确， 综上所述，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法，二元一次方程组解的定义是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 18．计算： （1）； （2）．（结果保留根号） 【分析】（1）根据绝对值的性质和二次根式的性质计算即可求解； （2）根据零指数幂，绝对值的性质，负整数指数幂和二次根式的乘除法则计算即可求解． 【解答】解：（1）原式＝＝15﹣； （2）原式＝＝． 【点评】本题考查实数的运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题； （1）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根； （2）若，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值． 【分析】（1）根据题意，先求出a，b的值，再代入求值，最后计算得平方根即可； （2）先根据无理数的整数部分和小数部分求出x，y的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知a＝8， ∵的整数部分是2，而b是的小数部分， ∴， ∴， ∵16的平方根是±4， ∴的平方根是±4； （2）∵， ∴的整数部分是15，小数部分是， ∵x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝15，， ∴． 【点评】本题考查了无理数的整数部分的有关计算，求无理数的整数部分和小数部分，实数的运算，熟练掌握无理数的整数部分的有关计算是解题的关键． 20．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）＝ 　﹣1　 ，＝ 　﹣　 ； （2）化简：； （3）若，求3a2+12a+1的值． 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化得到a＝﹣2，再移项得到a+2＝，接着把等式两边平方整理得到a2+4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）＝＝﹣1； ＝＝﹣； 故答案为：﹣1，﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣+﹣ ＝﹣1； （3）∵a＝＝﹣2， ∴a+2＝， ∴（a+2）2＝5， 即a2+4a+4＝5， ∴a2+4a＝1， ∴3a2+12a+1＝3（a2+4a）+1＝3×1+1＝4． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了乘法公式和分母有理化． 21．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：AD∥CE； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，∠1＝64°，试求∠FAB的度数． 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BDC， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换）， ∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝64°， ∴∠BDC＝64°， ∵DA平分∠BDC， ∴∠ADC＝∠BDC＝32°（角平分线定义）， ∴∠2＝∠ADC＝32°（已证）， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°（垂直定义）， ∵AD∥CE（已证）， ∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣32°＝58°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出∠FAD＝∠AEC＝90°是解题关键． 22．【特例探究】如图1，已知AB∥CD，直线AB与CD之间有一点P（点P在直线AC的右侧），连接AP，CP． （1）若∠A＝40°，∠C＝29°，则∠APC的度数为 　69°　 ； 【总结归纳】 （2）探究∠A，∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P，P1均在直线MN的右侧，连接MP，NP，MP1，NP1，且MP1平分∠BMP． ①如图2，若点P，P1均在直线AB和CD之间，NP1平分∠DNP，且∠MPN＝100°，求∠MP1N的度数； ②如图3，若点P1在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠P1NP．设∠BMP1＝α，且0°＜α＜90°，请直接写出∠MP1N+∠MPN的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），证明AB∥PE∥CD得∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°，进而根据∠APC∠APE+∠CPE即可得出答案； （2）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），证明AB∥PE∥CD得∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C，由此即可得出∠A，∠APC与∠C之间的数量关系； （3）①由（2）的结论得∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1，由角平分线定义得∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1，进而得∠BMP1+∠DNP1＝50°，由此即可得出∠MP1N的度数； ②过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），根据MP1平分∠BMP得∠BMP＝2∠BMP1＝2α，根据ND平分∠P1NP，设∠P1ND＝∠PND＝β，证明AB∥PF∥CD得∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β，进而∠MPN＝2α﹣β，由（2）的结论得∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β，由此即可得出∠MP1N+∠MPN度数． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图所示： ∵AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝29°， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A＝40°，∠CPE＝∠C＝29°， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C＝69°， ∴∠APC＝69°， 故答案为：69°； （2）∠A，∠APC与∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C； 过点P作PE∥AB（点E在点P的左侧），如图1所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠C， ∴∠APE+∠CPE＝∠A+∠C， 即∠APC＝∠A+∠C， （3）①由（2）的结论得：∠MPN＝∠BMP+∠DNP，∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1， ∵MP1平分∠BMP，NP1平分∠DNP， ∴∠BMP＝2∠BMP1，∠DNP＝2∠DNP1， ∴∠MPN＝2∠BMP1+2∠DNP1， ∵∠MPN＝100°， ∴∠BMP1+∠DNP1＝∠MPN＝50°， ∴∠MP1N＝∠BMP1+∠DNP1＝50°； ②∠MP1N+∠MPN的度数为3α，理由如下： 过点P作PF∥AB（点F在点P的左侧），如图3所示： ∵MP1平分∠BMP，∠BMP1＝α， ∴∠BMP＝2∠BMP1＝2α， ∴ND平分∠P1NP， ∴设∠P1ND＝∠PND＝β， ∵AB∥CD，PF∥AB， ∴AB∥PF∥CD， ∴∠MPF＝∠BMP＝2α，∠NPF＝∠PND＝β， ∴∠MPN＝∠MPF﹣∠NPF＝2α﹣β， 由（2）的结论得：∠MP1N＝∠BMP1+∠P1ND＝α+β， ∴∠MP1N+∠MPN＝α+β+2α﹣β＝3α． 【点评】习题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 23．已知△ABC中， （1）如图1，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，∠B＝80°，求∠AIC的度数； （2）如图2，∠BCE是△ABC的外角，∠BCE、∠BAC的平分线交于点D，求∠B与∠D的数量关系； （3）如图3，∠BCE、∠HAC是△ABC的外角，∠BCE的平分线所在的直线与∠HAC、∠BAC的平分线分别交于点F、D．在△ADF中，如果∠F＝3∠D，求∠B的度数． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝100°，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出∠AIC的度数； （2）设AD与BC交于点H，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出∠DAF＝90°，由（2）可知∠B＝2∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DAF+∠F+∠D＝180°，于是可得关于∠D的一元一次方程，解方程即可得出∠D的度数，进而得出∠B的度数． 【解答】解：（1）∵∠B＝80°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝100°， ∵AI平分∠BAC，CI平分∠ACB， ∴，， ∴∠IAC+∠ICA＝50°， ∵∠IAC+∠ICA+∠AIC＝180°， ∴∠AIC＝180°﹣50°＝130°； （2）如图，设AD与BC交于点H， ∵CD、AD分别是∠BCE、∠BAC的平分线， ∴，， ∵ ＝ ＝ ＝， ∴∠D＝180°﹣（∠HCD+∠CHD） ＝180°﹣（∠HCD+∠AHB） ＝180°﹣∠HCD﹣∠AHB ＝ ＝ ＝， ∴∠B＝2∠D； （3）∵AF平分∠HAC，AD平分∠BAC， ∴，， ∴， ∵CD平分∠BCE，AD平分∠BAC， ∴由（2）可知：∠B＝2∠D， ∵∠DAF+∠F+∠D＝180°， ∴90°+3∠D+∠D＝180°， ∴2∠D＝45°， ∴∠B＝2∠D＝45°． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质1，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质2，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 24．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）． （1）若∠DCE＝35°，则∠ACB＝　145°　 ； （2）若点E在AC的上方，设∠ACB＝β（90°＜β＜180°），则∠DCE＝　180°﹣β　 （用含β的式子表示）； （3）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE＝　45°　 ； ②当EC∥DA时，直接写出∠ACE＝　120°　 ； （4）在（3）的条件下，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时∠DCE所有可能的角度数值为　60°或45°或75°　 ，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用直角三角板中90°角重合，结合可得∠DCB+∠DCE＝90°，得出∠DCB的度数，∠DCB+90°＝∠ACB； （2）利用作AC的延长线利用同角的余角相等得出结果； （3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；②根据两直线平行，内错角相等得∠DCE＝∠D＝30°，根据角的和差可得答案； （4）分当AD∥BC时，当BE∥CD时，当BE∥AD时，三种情况进行解答． 【解答】解：（1）∵∠DCE＝35°， ∴∠DCB＝90°﹣∠DCE＝90°﹣35°＝55°， ∴∠ACB＝55°+90°＝145°， 故答案为：145°； （2）如图，作AC的延长AH， ∵∠BCH+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，∠DCB+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝∠BCH， ∴∠ACB+∠BCH＝180°， ∴∠BCH＝180°﹣β， ∴∠DCE＝180°﹣β， 故答案为：180°﹣β； （3）①当BE∥AC时， ∵BE∥AC， ∴∠ACE＝∠E＝45°， 故答案为：45°； ②当EC∥DA时，如图， ∵EC∥DA， ∴∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°． 故答案为：120°． （4）①当AD∥BC时， ∵AD∥BC， ∴∠DCB＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°； ②当BE∥CD时， ∴∠DCE＝∠E＝45°； ③当BE∥AD时， 过点C作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°， ∴∠ECF＝∠E＝45°， ∴∠DCE＝45°+30°＝75°； 综上所述：∠DCE为60°或45°或75°． 故答案为：60°或45°或75°． 【点评】本题考查了直角三角板有关计算．运用直角三角板中特殊角度，平行线的判定与性质，是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/25 20:58:08；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $