精品解析：上海市杨浦区2025-2026学年上学期七年级1月期末数学试题

2025学年第一学期期末质量调研卷 七年级数学学科 （时间：90分钟 分值：100分） 一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1. 整式的次数是_____次，一次项系数是_____． 【答案】 ①. 三 ②. 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项的次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关定义即可得出结果，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：整式的次数是三次，一次项系数是， 故答案为：三，． 2. 若关于、的单项式与是同类项，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解和的值，再计算即可得出结果，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于、的单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3. 若分式有意义，则x满足_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不能为零，求解即可． 【详解】解：若分式要有意义， 则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件，即分母不能为零，是解题的关键． 4. 若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的减法，根据减法规则，减数等于被减数减去差，因此所求整式为，再通过整式加减运算求解即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：这个整式 ， 故答案为：． 5. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 6. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 7. 若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 8. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，先将负指数化为分数形式，然后通分计算差，最后取倒数即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 9. 将分式表示成不含有分母的形式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的意义进行变形即可，熟练掌握运算法则是解题的关键； 【详解】解：根据负整数指数幂的意义，分母中的常数3可写为 ，字母y可写为， 可写为 ， 因此原式化为 ， 故答案为：． 10. 以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可得出结果，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：①圆是轴对称图形，任何直径所在直线都是对称轴，也是中心对称图形，圆心是对称中心； ②长方形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点的连线），也是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ③等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但不是中心对称图形； ④平行四边形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，对角线交点为对称中心； ⑤线段是轴对称图形，其垂直平分线是对称轴，也是中心对称图形，中点为对称中心； ⑥角是轴对称图形，角平分线是对称轴，但不是中心对称图形． 故答案为：①②⑤． 11. 如果关于的方程无解，那么的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，分式方程无解的可能情况是整式方程无解或整式方程的解为增根．本题中整式方程恒有解，因此只需令解为增根即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 当时，原方程无解， 故， 解得：， 故答案为：． 12. 若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 13. 如图，正方形中，点是边上一点，，，经过某一种图形的运动得到，点落在直线上的点处，则的长度是_____．（用含的代数式表示） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，由题意可得：，，则，分两种情况：当点落在线段上时；当点落在线段的延长线上时；分别结合旋转的性质以及勾股定理求解即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 如图，当点落在线段上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 如图，当点落在线段的延长线上时， 此时点和点重合， 由旋转的性质可得， ∴， 综上所述，的长度是或， 故答案为：或． 14. 将绕着点逆时针旋转得，点的对应点是点，点的对应点是点．如果，那么的度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据旋转的性质，可得旋转角相等，即，再根据角度和差关系，结合条件，列出方程求解，注意要分两种情况进行讨论． 【详解】解：由旋转的性质，得， 设， （i）如图所示， 当时，则，， 根据题意，， 解得， （ii）如图所示， 当时，则，， 根据题意，， 解得 综上所述，的度数是或， 故答案为或． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15. 下列代数式中，是单项式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握单项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，是多项式，不是单项式，故不符合题意； B、是单项式，符合题意； C、分母含字母，不是单项式，故不符合题意； D、是多项式，不是单项式，故不符合题意； 故选：B． 16. 下列各式从左到右变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键．通过化简分式验证每个选项的正确性，选项B的变形中，分子分母同乘了，但未考虑的条件，不符合分式的基本性质． 【详解】解：选项A: ，其中即，变形后分母为，符合分式的基本性质，故不符合题意； 选项B: ，变形中分子分母同乘，但未保证，若则中间步骤分母为零，不符合分式的基本性质，故符合题意； 选项C: ，等式成立，变形正确，故不符合题意； 选项D: ，符合分式的基本性质，故不符合题意． 故选B． 17. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质，利用平移的性质，旋转的性质，轴对称图形的定义及性质逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故原说法正确，不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故原说法正确，不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故原说法正确，不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴所在直线垂直平分，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 18. 如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（ ） A. 2厘米 B. 3厘米 C. 4厘米 D. 5厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的不变性． 由平移得，，，则，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移得，，， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3厘米， 故选：B． 三、简答题（本大题共6题，第19、20、21、22题每题5分，第23、24题每题6分，满分32分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式进行计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂以及同底数幂相乘的运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 21. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】此题涉及到了因式分解，首先提取公因式，再运用完全平方公式即可. 【详解】 【点睛】此题考查因式分解，解题关键在于掌握完全平方公式. 22. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，采用分组分解法分解因式即可得出结果，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． 【详解】解： ． 23. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得出结果，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：将原方程整理可得， 去分母可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 24. 先化简，再解答下列问题： （1）当时，求代数式的值； （2）原代数式的值能等于4吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）化简为，值为 （2） 解：不能．理由如下： 当， 解得 当时的值为0，除数不能为0， 故原代数式的值不能等于4． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果； （2）当，解得，再结合分式有意义的条件判断即可得出结果． 【小问1详解】 解： ， 当时，原式 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25. 如图，已知四边形． （保留作图痕迹，不写作图步骤，写出结论） （1）如果点、关于直线对称，画出直线，并画出四边形关于直线成轴对称的图形：（在图①中画出） （2）如果和关于点成中心对称（点、、的对称点分别是点、、）．请找出点并补全和．（在图②中画出） 【答案】（1）如图，四边形即为所作， （2）如图，和即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，中心对称图形的定义，平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先作线段的垂直平分线，再根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点，再根据中心对称图形的定义作图即可． 【小问1详解】 解：根据垂直平分线的作法作出直线，作直线于点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，作直线于点，再以点为圆心，为半径画弧交直线于，连接、、，则直线． 【小问2详解】 解：连接，作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求，作射线，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交射线于点，作射线，以点为圆心，线段的长度为半径画弧，交射线于点，连接、、、． 26. 为助力“美丽家园”建设，某社区便民商铺购进A、B两种便民商品用于销售．已知购进A商品的总费用为2000元，购进B商品的总费用为1800元，A商品的进货单价比B商品的进货单价高，且购进A商品的数量比B商品少10件．求A、B两种商品的进货单价各是多少元？ 【答案】A商品的进货单价为25元，B商品的进货单价为20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B商品的进货单价为元．根据“购进A商品的数量比B商品少10件”列出分式方程，解方程即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设B商品的进货单价为元． ， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意 A商品的进货单价为元， 答：A商品的进货单价为25元，B商品的进货单价为20元． 27. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】（1）是， （2）①；② （3）c的值为4或16 ． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； 【小问3详解】 ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 28. 如图，已知中，，，，将沿着射线方向平移得到，其中点、点、点的对应点分别是点、点、点，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，使得点恰好落在直线上的点处． （1）旋转角的度数是_____；（请直接写出答案） （2）连接、，的面积等于_____．（用含、的代数式表示，请直接写出答案） （3）如果平移的距离等于8，的面积等于6，那么的面积等于_____（请直接写出答案）：如果平移的距离等于，的面积等于，那么的面积等于_____．（用含、的代数式表示，请直接写出答案） 【答案】（1）或 （2）或 （3）20或16；或 【解析】 【分析】（1）由平移的性质可得，分当绕点E逆时针旋转时，点F落在线段上的G点处；当绕点E逆时针旋转时，点F落在的延长线上的G点处即可； （2）由平移和旋转的性质可得：，，当绕点E逆时针旋转时，点F落在线段上的G点处，则，，结合即可；当绕点E逆时针旋转时，点F落在的延长线上的G点处，过点G作于点M，连接，则，，，，根据计算即可； （3）根据题意得和，结合已知解得和，即可求得；结合平移得，当绕点E逆时针旋转时，点F落在线段上的G点处，得到，可得即可；当绕点E逆时针旋转时，点F落在的延长线上的G点处，过点G作于点M，连接，由，化简得，联立解得，即可求得． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得， ∴当绕点E逆时针旋转时，点F落在线段上的G点处；当绕点E逆时针旋转时，点F落在的延长线上的G点处； ∴旋转角或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：由平移和旋转的性质可得：，， 当绕点E逆时针旋转时，点F落在线段上的G点处，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当绕点E逆时针旋转时，点F落在的延长线上的G点处，过点G作于点M，连接，如图， 则，， ∴，， ∵，，， ∴，， 则 ， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵平移的距离等于8， ∴， ∵的面积等于6， ∴，解得或， 则或， ∵， ∴， 则，或， ∵平移的距离等于， ∴， 当绕点E逆时针旋转时，点F落在线段上的G点处，如图， ∵的面积等于， ∴，化简得， ∵ ∴， 则； 当绕点E逆时针旋转时，点F落在的延长线上的G点处，过点G作于点M，连接，如图， 则，化简得， ∵， ∴， 解得 则， 则或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、平移的性质、整式的混合运算和求解代数式等相关知识点，解题的关键是熟悉旋转的性质并能准确的计算，熟练应用分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末质量调研卷 七年级数学学科 （时间：90分钟 分值：100分） 一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1. 整式的次数是_____次，一次项系数是_____． 2. 若关于、的单项式与是同类项，则的值为_____． 3. 若分式有意义，则x满足_________． 4. 若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 5. 计算：_____． 6. 因式分解：_____． 7. 若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是_____． 8. 计算：_____． 9. 将分式表示成不含有分母的形式：_____． 10. 以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号即可） ①圆；②长方形；③等边三角形；④平行四边形；⑤线段；⑥角． 11. 如果关于的方程无解，那么的值是_____． 12. 若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 13. 如图，正方形中，点是边上一点，，，经过某一种图形的运动得到，点落在直线上的点处，则的长度是_____．（用含的代数式表示） 14. 将绕着点逆时针旋转得，点的对应点是点，点的对应点是点．如果，那么的度数是_____． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15. 下列代数式中，是单项式的是（ ） A. B. C. D. 16. 下列各式从左到右变形错误的是（ ） A. B. C. D. 17. 下列说法错误的是（ ） A. 图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B. 图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C. 两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D. 两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 18. 如图，中，，将沿射线方向平移至，如果厘米，厘米，四边形的面积为27平方厘米，那么平移的距离是（ ） A. 2厘米 B. 3厘米 C. 4厘米 D. 5厘米 三、简答题（本大题共6题，第19、20、21、22题每题5分，第23、24题每题6分，满分32分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 因式分解： 22. 因式分解：． 23. 解方程：． 24. 先化简，再解答下列问题： （1）当时，求代数式的值； （2）原代数式的值能等于4吗？如果能，请求出此时的值；如果不能，请说明理由． 四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分） 25. 如图，已知四边形． （保留作图痕迹，不写作图步骤，写出结论） （1）如果点、关于直线对称，画出直线，并画出四边形关于直线成轴对称的图形：（在图①中画出） （2）如果和关于点成中心对称（点、、的对称点分别是点、、）．请找出点并补全和．（在图②中画出） 26. 为助力“美丽家园”建设，某社区便民商铺购进A、B两种便民商品用于销售．已知购进A商品的总费用为2000元，购进B商品的总费用为1800元，A商品的进货单价比B商品的进货单价高，且购进A商品的数量比B商品少10件．求A、B两种商品的进货单价各是多少元？ 27. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 28. 如图，已知中，，，，将沿着射线方向平移得到，其中点、点、点的对应点分别是点、点、点，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，使得点恰好落在直线上的点处． （1）旋转角的度数是_____；（请直接写出答案） （2）连接、，的面积等于_____．（用含、的代数式表示，请直接写出答案） （3）如果平移的距离等于8，的面积等于6，那么的面积等于_____（请直接写出答案）：如果平移的距离等于，的面积等于，那么的面积等于_____．（用含、的代数式表示，请直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $