福建省莆田市中山中学2025-2026学年九年级上学期期末考数学试卷

2025-2026中山中学九年级上册期末考 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列事件中，必然事件是（　　） A．抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．抛一枚硬币，落地后正面朝上 D．实数的绝对值是非负数 3．关于函数y＝﹣（x+4）2﹣2的图象和性质，下列说法错误的是（　　） A．函数图象开口方向向下 B．函数图象对称轴是直线x＝﹣4 C．函数图象的顶点坐标是（﹣4，﹣2） D．函数图象与x轴有2个交点 4．已知x＝m是方程3x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式6m2+4m+2024的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sin∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 8．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝130°，此时，点A到地面的距离为（　　） A．6sin50°米 B．5米 C．（3+4sin40°）米 D．米 9．如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的大小为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 10．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（1，m）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t+1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 二．填空题（每题4分，共24分） 11．已知点P（3a，﹣2）与点Q（﹣6，2b）关于原点对称，则a+b的值为　 　 ． 12．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是　 　 ． 13．若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　 　 ． 14．地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为200cm2的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 　 　 cm2． 15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的度数为 　 　 ． 16．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（﹣1，0）、B（1，1），将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B1、C1正好落在反比例函数的图象上，则k＝　 　 ． 三．解答题（共9小题，共86分） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0； 18．问题探究 （1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5，连接AA'，则AA'的长为 　 　 ； 19．若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）＝29，求k的值． 20．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　 　 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 21．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长． 22．嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家5A级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． （1）若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为　 　 元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B． （1）在AB的延长线上，求作点D，使得△CBD∽△ACD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝5，S△ABC＝5，求tan∠CDB的值． 24．根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 25．如图，在半径为3的⊙O作内接矩形ABCD，点E是弦BC的中点，BC＝4，连结AE并延长交⊙O于点F，点G是的中点，连结CG分别交AB、AF于点H、点P． （1）证明：； （2）求BH的长； （3）若存在一个实数m，使得tan∠APH＝mBH，试求出m的值． 一．选择题（共10小题） 1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念解答即可． 【解答】解：A．图形是中心对称图形，符合题意； B．图形不是中心对称图形，不符合题意； C．图形不是中心对称图形，不符合题意； D．图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 2．下列事件中，必然事件是（　　） A．抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6 B．两直线被第三条直线所截，同位角相等 C．抛一枚硬币，落地后正面朝上 D．实数的绝对值是非负数 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、抛掷1枚质地均匀的骰子，向上的点数为6，是随机事件； B、两直线被第三条直线所截，同位角相等，随机事件； C、抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件； D、实数的绝对值是非负数，必然事件； 故选：D． 【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 3．关于函数y＝﹣（x+4）2﹣2的图象和性质，下列说法错误的是（　　） A．函数图象开口方向向下 B．函数图象对称轴是直线x＝﹣4 C．函数图象的顶点坐标是（﹣4，﹣2） D．函数图象与x轴有2个交点 【分析】由抛物线的解析式可求得开口方向、对称轴及顶点坐标，可判断A、B、C，令y＝0计算相应的一元二次方程的解即可判断 D，则可求得答案． 【解答】解：∵y＝﹣（x+4）2﹣2， ∴抛物线开口向下、对称轴为x＝﹣4、顶点坐标为（﹣4，﹣2），故A、B、C说法是正确的； 在y＝﹣（x+4）2﹣2中，令y＝0可得0＝﹣（x+4）2﹣2，解得（x+4）2＝﹣2，无解， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴选项 D 的说法是错误的， 故选：D． 【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x＝h． 4．已知x＝m是方程3x2+2x﹣1＝0的一个根，则代数式6m2+4m+2024的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】根据题意可得：3m2+2m﹣1＝0，从而可得3m2+2m＝1，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：∵x＝m是方程3x2+2x﹣1＝0的一个根， ∴3m2+2m﹣1＝0， ∴3m2+2m＝1， ∴6m2+4m+2024＝2（3m2+2m）+2024＝2×1+2024＝2+2024＝2026， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．如图，在边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sin∠BAC的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在直角三角形ACD中，根据正弦的意义可求解． 【解答】解：如图，CD＝3， 由勾股定理得AC5， ∴； 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键． 6．在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（2，y3）都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】根据k＞0得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小直接判断即可得到答案． 【解答】解：反比例函数k＞0，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵﹣2＜﹣1＜0，2＞0， ∴y3＞y1＞y2， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 7．如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若，四边形ABCD的周长是25，则四边形EFGH的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 【分析】先根据位似的性质得到，四边形ABCD与四边形EFGH相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心， ∴，四边形ABCD与四边形EFGH相似， ∵， ∴， ∴， ∴四边形EFGH的周长：四边形ABCD的周长， ∴四边形EFGH的周长25＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行；位似比等于相似比． 8．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3米，AB是杠杆，AB＝6米，OA：OB＝2：1，当点A位于最高点时，∠AOM＝130°，此时，点A到地面的距离为（　　） A．6sin50°米 B．5米 C．（3+4sin40°）米 D．米 【分析】过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G，求出∠AOE＝40°，进而求出AG＝AO×sin40°＝4sin40°，即可求解． 【解答】解：过O作EF⊥OM，过A作AG⊥EF于G， ∵AB＝6米，OA：OB＝2：1， ∴OA＝4米， ∵∠AOM＝130°，∠EOM＝90°， ∴∠AOE＝40°， 在Rt△AOG中，AG＝AO•sin40°＝4sin40°（米）， 点A位于最高点时到地面的距离为（4sin40°+3）米， 所以点A到地面的距离为（4sin40°+3）米； 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题目条件，构造直角三角形． 9．如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°，得到△AB'C'，连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的大小为（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，∠BAB'＝∠CAC'＝110°，由此即可求出∠ABB'＝35°，由平行线的性质求出∠C'AB'＝∠AB'B＝35°，即可得到答案． 【解答】解：由旋转的性质可得AB＝AB'，∠BAB'＝∠CAC'＝110°， ∴， ∵AC∥BB'， ∴∠C'AB'＝∠AB'B＝35°， ∴∠CAB'＝∠CAC'﹣∠C'AB'＝75°，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 10．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（1，m）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t+1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【分析】由当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t+1或x≥﹣3﹣t可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，从而可得b与a的关系，将P（1，m）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解． 【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t+1或x≥﹣3﹣t， ∴（t+1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线x1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2+2ax＝a（x+1）2﹣a， 将（1，m）代入解析式得a+2a＝m， ∴a， 当a＞0时，﹣a≤﹣1，即a≥1， ∴1， 则m≥3， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征． 二．填空题（共6小题） 11．已知点P（3a，﹣2）与点Q（﹣6，2b）关于原点对称，则a+b的值为　3　 ． 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，构建方程组求解计算即可． 【解答】解：∵点P（3a，﹣2）与点Q（﹣6，2b）关于原点对称， ∴， 解得， ∴a+b＝1+2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标， 12．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是　10πcm2 ． 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【解答】解：圆锥的侧面积•2π•2•5＝10π（cm2）． 故答案为10πcm2． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13．若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　﹣1　 ． 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出x2的值． 【解答】解：∵二次函数y＝3x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，另一个解为x2， ∴1﹣x2＝3﹣1， ∴x2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 14．地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为200cm2的长方形卡片上绘制了如图1所示的山西省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为 　110　 cm2． 【分析】根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.55，设不规则图案的面积为xcm2，再根据几何概率可得：不规则图案的面积÷长方形的面积＝小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解． 【解答】解：据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.55， 设不规则图案的面积为xcm2， 则0.55， 解得：x＝110， 则估计不规则图案的面积大约为110cm2， 故答案为：110． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.55． 15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧CD上一点（不与点C重合），则∠BPC的度数为 　36°　 ． 【分析】连接OC，OB．求出∠COB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC，OB， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COB＝360°÷5＝72°， ∴∠BPC∠COD＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角∠COB的度数． 16．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（﹣1，0）、B（1，1），将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B1、C1正好落在反比例函数的图象上，则k＝　6　 ． 【分析】过C作CM垂直于x轴，过B作BN垂直于x轴，由AC与AB垂直，得到一对角互余，再由CM与MA垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，且一对直角相等，利用AAS得出三角形ACM与三角形ABN全等，由全等三角形的对应边相等得到CM＝AN，AM＝BN，由A与B的坐标得出AM与CM的长，由OA+AM求出OM的长，确定出C的坐标，由平移的性质得到C1和B1的纵坐标不变，且横坐标相差3，设出C1与B1的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去k求出m的值，即可得到k的值． 【解答】解：过C作CM⊥x轴，过B作BN⊥x轴， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAM+∠BAN＝90°，又∠MCA+∠CAM＝90°， ∴∠MCA＝∠NAB， 在△ACM和△BAN中， ， ∴△ACM≌△BAN（AAS）， ∵A（﹣1，0）、B（1，1）， ∴CM＝AN＝2，AM＝BN＝1， ∴C（﹣2，2）， 设反比例函数为y（k≠0），点C1和B1在该比例函数图象上， 由平移的性质，可设C1（m，2），则B1（m+3，1）， 把点C1和B1的坐标分别代入y，得k＝2m；k＝m+3， ∴2m＝m+3，解得：m＝3， 则k＝6． 故答案为：6 【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平移的性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．解方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0； 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0， ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝4+20＝24＞0， ∴， ∴，； 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的公式法和因式分解法是解题的关键． 18．问题探究 如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC'，点C的对应点C'落在AB边上，A'B＝5，连接AA'，则AA'的长为 　　 ； 【分析】根据旋转可得∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，AB＝A′B＝5，根据勾股定理考查BC的值，进而可得AC′的值，再根据勾股定理可得AA′的长； 【解答】解如图1，根据旋转可知： ∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝3，AB＝A′B＝5， 根据勾股定理，得BC'4， ∴AC′＝AB﹣BC′＝1， 在Rt△AA′C′中，根据勾股定理，得： AA′， 故答案为：； 19．若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）＝29，求k的值． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0， ∴； （2）∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝29，αβ＝k2+2，α+β＝2（k+1）， ∴k2+2+2（k+1）+1＝29， 整理得k2+2k﹣24＝0， 解得k＝﹣6或k＝4， ∵， ∴k＝4． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 20．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 　　 ； （2）从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽出两支笔刚好是一红一黑的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种， ∴抽到决策类人工智能的卡片的概率为． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果有：AD，DA，共2种， ∴抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OC，所以∠ODC＝∠C，由AB＝BC，得∠A＝∠C，则∠ODC＝∠A，所以OD∥AB，则∠ODF＝∠AFD＝90°，即可证明DF是⊙O的切线； （2）连接BD，由BC是⊙O的直径，⊙O的半径为5，得AB＝BC＝10，∠BDC＝90°，则AD＝CDAC＝6，求得BD8，由S△ABD10DF6×8，求得DF． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OC， ∴∠ODC＝∠C， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠ODC＝∠A， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB于点F， ∴∠ODF＝∠AFD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接BD， ∵BC是⊙O的直径，AC＝12，⊙O的半径为5， ∴AB＝BC＝2×5＝10，∠BDC＝90°， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°，AD＝CDAC12＝6， ∴BD8， ∵S△ABD10DF6×8， ∴DF， ∴DF的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家5A级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． （1）若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为　2332　 元； （2）若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【分析】（1）利用单价＝原价﹣2×超出20人的人数，可求出22人去旅游时门票的单价，再利用总价＝单价×数量即可求出结论； （2）设该单位这次共有x名员工去该景区旅游，由总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，即可解答． 【解答】解：（1）22×[110﹣（22﹣20）×2]＝2332， 故购买门票费用为2332元， 故答案为：2332； （2）设该单位有x名员工去该景区旅游， 20×110＝2200＜2500， 故x＞20， 则可列方程：x[110﹣2（x﹣20）]＝2500， 解得：x1＝25，x2＝50， 当x＝25时，110﹣2×（25﹣20）＝100， 当x＝50时，110﹣2×（50﹣20）＝50＜90， 故x＝50舍去， ∴该单位共有25名员工去该景区旅游． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B． （1）在AB的延长线上，求作点D，使得△CBD∽△ACD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若AB＝5，S△ABC＝5，求tan∠CDB的值． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可； （2）过C作CH⊥AB于H，根据三角形的面积求得CH＝2，过C作CG⊥CD交AB于G，根据直角三角形的性质得到CG＝AG＝BG，根据勾股定理得到HG，求得BH＝BG﹣HG＝1，推出△CBH∽△ACH，根据相似三角形的性质得到，设BD＝x，CD＝2x，根据勾股定理得到DH，根据三角函数的定义得到tan∠CDB． 【解答】解：（1）如图所示； （2）过C作CH⊥AB于H， ∵AB＝5，S△ABC＝5， ∴， ∴CH＝2， 过C作CG⊥CD交AB于G， ∴∠DCG＝∠ACB＝90°， ∴∠DCB＝∠ACG， ∵∠DCB＝∠A， ∴∠ACG＝∠A， ∴CG＝AG， ∴CG＝AG＝BG， ∴HG， ∴BH＝BG﹣HG＝1， ∵∠CBA+∠A＝∠CBA+∠BCH＝90°， ∴∠BCH＝∠A， ∴△CBH∽△ACH， ∴， ∵△CBD∽△ACD， ∴， ∴设BD＝x，CD＝2x， ∵CD2＝DH2+CH2， ∴（2x）2＝（x+1）2+22， ∴x（负值舍去）， ∴DH， ∴tan∠CDB． 【点评】本题考查了作图﹣相似变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点． 素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”．针一般打在离地面1.5米到2米的高度（包含端点）． 问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）根据上边缘与下边缘抛物线的解析式分别求与x轴交点的横坐标，进而求解； （3）根据题意，将x＝﹣6代入y（x+3）2+2.5，求出y的值与1.5比较，即可求解． 【解答】解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为（﹣3，2.5）， ∴设上边缘抛物线的函数表达式为y＝a（x+3）2+2.5， 将（0，1.6）代入得1.6＝9a+2.5， 解得a， ∴y（x+3）2+2.5； （2）上边缘抛物线的表达式：y（x+3）2+2.5， 将y＝0代入得0（x+3）2+2.5， 解得x1＝2（舍去），x2＝﹣8， ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点， ∴下边缘抛物线的表达式：yx2+1.6， 将y＝0代入得0x2+1.6， 解得x1＝4（舍去），x2＝﹣4， ∵路边的绿化带宽4米， ﹣4﹣（﹣8）＝4（米）， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； （3）根据题意得，将x＝﹣6代入y（x+3）2+2.5， y＝1.6＞1.5， ∴有影响， 设针打在离地面h米的高度不受影响， 则1.6＜h≤2． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数关系式，二次函数的性质，建立二次函数模型是解题的关键． 25．如图，在半径为3的⊙O作内接矩形ABCD，点E是弦BC的中点，BC＝4，连结AE并延长交⊙O于点F，点G是的中点，连结CG分别交AB、AF于点H、点P． （1）证明：； （2）求BH的长； （3）若存在一个实数m，使得tan∠APH＝mBH，试求出m的值． 【分析】（1）连接BG，根据圆周角定理得出∠ACG＝∠ABG，证明△AHC∽△GHB，即可证明； （2）连接OG，利用垂径定理求得ON∥BC，利用相似三角形的判定和性质求得OM＝MN＝NG＝1，再证明△GHN∽△CHB，利用勾股定理求得AB的长，据此求解即可； （3）用勾股定理求得AE的长，证明AM＝MEAE，再证明△GMP∽△CEP，推出PM＝PE，连接AG，推出∠AGP＝90°，利用勾股定理分别求得AG和PG的长，据此即可求解． 【解答】（1）证明：连接BG， ∴∠ACG＝∠ABG， ∵∠AHC＝∠BHG， ∴△AHC∽△GHB， ∴， ∴； （2）解：连接OG，分别交AF、AB于点M、N， ∵G是的中点， ∴ON⊥AB， ∴AN＝BNAB， ∵矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠B＝90°，AC为⊙O的直径， ∵E是弦BC的中点，BC＝4， ∴BE＝CEBC＝2， ∴ON∥BC， ∴△AMN∽△AEB，△AOM∽△ACE， ∴，， ∴MN＝1，OM＝1． ∵半径为3， ∴OM＝MN＝NG＝1， ∵GN∥BC， ∴△GHN∽△CHB， ∴4， ∴BH＝4NH， ∵AB2， ∴BN， ∴BH； （3）解：∵AB＝2，BE＝2， ∴AE2， ∵△AOM∽△ACE， ∴， ∴AM＝MEAE， ∵GM∥EC， ∴△GMP∽△CEP， ∴1， ∴PM＝PE， ∴AP， 连接AG， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AGP＝90°， ∴AN AG， 又∵AP， ∴PG， ∴tan∠APH， ∴BH， ∴tan∠APHBH， ∴m． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/23 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