2026届四川省仁寿一中南校区高三数学周考八试题

仁寿一中南校区高2023级数学周考（八） 一、单选题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 3．抛物线的准线与椭圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D．1 4．函数的图像的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在正三棱锥中，，若球与三棱锥的六条棱均相切，则球的表面积为（    ） A. B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真的是（   ） A．设，若，则 B．线性回归直线一定经过样本点的中心 C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则 10．已知圆：，直线：，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．圆与圆有四条公切线 D．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 11．设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 三、填空题 12．已知向量，，若，则 . 13．已知函数，则 . 14．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为 ． 四、解答题 15．某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班6名学生每周课外阅读时间（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数（单位：分），数据如下表： 1 2 3 4 5 6 38 40 43 45 50 54 (1)根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为7小时时其语文作文成绩； (2)从这6人中任选2人，记为语文作文分数不小于45分的人的个数，求的分布列及期望． 参考公式：，参考数据： 16.如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为， (1)求的值． (2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积. 17．已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，， 若，，，求的面积. 18．如图，在直三棱柱中，，，，点P在侧棱上． (1)当点P为侧棱的中点时，求直线与直线CP所成角的余弦值； (2)当点P与点重合时，求点到平面PAC的距离； (3)求直线与平面ACP所成角的正弦值的最大值． 19．已知函数，为的导函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的两个极值点分别为和，且. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学周考八答案 一、单选题 1.【详解】因为，则，故选：C. 2．【详解】由于是等差数列，设公差为，则，故，因此，故选：C 3．【详解】抛物线的准线为，将代入，得， 所以.故选：B. 4．【详解】令,则，故的对称中心为，取，则其中一个对称中心为，故选：D 5．【详解】令，则，令，则， 令，则，在同一直角坐标系中作出函数的图象， 则函数与函数的交点的横坐标分别为，   由图可知，.故选：B. 6．【详解】    设圆锥与半球的底面半径为，圆锥的高为，母线长为，轴截面的顶角为. 则由可得，即. 所以圆锥的母线长， 则由余弦定理可得， 所以圆锥轴截面顶角的余弦值是.故选：C 7.【详解】因为，，由平方可得，，所以．，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选：D. 8【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，则为的中点，，连接，易证， 过作，交于点，设球的半径为，则， 由题意易求得，由勾股定理得，在中，，所以，设，则， 因为，从而，所以， 所以，故球的表面积为. 二、多选题 9． 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C正确； 对于D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，且，故D正确．故选：BCD． 10．【详解】对于A，直线的方程可变形为， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确；对于C，圆化成标准方程为，其圆心为，半径为3，满足， 所以两圆外切，共有三条公切线，故C错误；对于D，圆，则圆心，半径，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离，因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故D错误.故选：AB. 11．【详解】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误；对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确；故选：ABD. 三、填空题 12．【详解】由，所以，所以，故答案为：. 13．【详解】已知函数，当时，其周期为2， 所以，当时，， 所以.故答案为：1 14【详解】乙盒取2球有三种情形：取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2同色球的概率为. 所求概率为： .故答案为： 四、解答题 15.【详解】（1）根据表中数据，可得， ，， 则，， 故关于的线性回归方程为：，当时，. 预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩为分. （2）依题意，6人中语文作文分数不小于45分的有3人，的可能值有， 则，，. 则的分布列为： 0 1 2 故的数学期望为. 16.【解析】（1）设， 因为交于点，点的坐标为， 所以直线的方程为， 联立，消去可得，， 则， 因为，所以， 即，即，解得， （2） 设线段的中点为， 由（1）知，所以， 所以，即， 联立，消去可得，， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的面积为. 17．【详解】（1）， ，所以的最小正周期，令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件;根据三角形面积公式，可得，所以的面积为. 18．【详解】（1）在直三棱柱中，，，所以AC，BC，两两垂直．以C为坐标原点，为正交基底建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示， 则，，，．当为侧棱的中点时，，， 则，所以直线与直线所成角的余弦值为． （2）当点与点重合时，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 又，所以点到平面PAC的距离． （3）设点P的坐标为，，则，， 设平面的法向量为，则即 令，则，又， ， 因为，当且仅当时等号成立， 设直线与平面所成的角为则， 所以直线与平面ACP所成角的正弦值的最大值是． 19．【详解】（1）当时，，则，， 求导得，则，所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i），且定义域. 因为若有两个极值点，所以是方程的两个正根， 即令，则， 所以，当时，；当时，， 因此，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，有最小值，当时，， 又因为当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）可知，且时，，又，所以，令， 单调递增，且，所以时，时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即 ，又因为，所以， 所以，即. 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $