精品解析：上海市静安区2025-2026学年上学期期末课程实施调研 九年级数学试卷

静安区2025学年第一学期期末课程实施调研 九年级数学试卷 （满分150分，用卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、两个直角三角形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个矩形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个等腰梯形不一定相似，该选项不符合题意； 、两个正五边形所有内角均为，对应角相等；所有边成比例，故一定相似，该选项符合题意； 故选：D． 2. 如果将抛物线向下平移若干个单位，那么下列结论中错误的是（ ） A. 顶点坐标不变 B. 开口方向不变 C. 对称轴不变 D. 与轴交点个数不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的顶点式为 ，向下平移个单位，则平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， ∴顶点坐标发生变化，故选项 错误； ∵的值不变， ∴抛物线开口方向不变，故选项正确； ∵平移后抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的对称轴为直线，与平移前的相同，故选项正确； ∵当时，对应的值只有个， ∴平移前后抛物线与轴的交点个数都是，故选项 正确； 综上，结论中错误的是 ， 故选： ． 3. 已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定，掌握各判定定理的内容是关键；选项C中可转化为，且为公共角，满足三角形相似的判定条件，因此 ；其他选项均因对应边或夹角不匹配而不能判定相似. 【详解】解：∵点、分别在边、上， ∴ （公共角）． 对于选项C：∵ ，即，且 ， ∴ ． 对于选项A：，但与的对应关系不明确，且夹角不一定是公共角，故不能判定相似． 对于选项B：，类似地，对应边和夹角不匹配，不能判定相似． 对于选项D：，但的夹角为， 的夹角为，夹角不相等，故不能判定相似． 因此，能判定相似的是C． 故选：C． 4. 已知一个三角形三边之比为 ，与它相似的另一个三角形最短边的长为 ，那么另一个三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例，可得新三角形三边比也为 ，进而根据新三角形最短边为新三角形的其他两边长，再相加即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似三角形对应边成比例，且原三角形三边比为 ， ∴新三角形三边比也为 ，设新三角形三边分别为、、， ∵新三角形的最短边， ∴， ∴新三角形的另两边长分别为， ∴新三角形的周长为， 故选：B． 5. 已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数函数值大小的比较；通过计算抛物线在各点的函数值，比较大小关系． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ ， ， ， ∵ m为常数， ∴． 故选：B． 6. 如图，已知在矩形中， ，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点在外，的半径 的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，熟练掌握两圆的位置关系是解题的关键．首先求出的半径的取值范围为，再根据两圆的圆心距是10，分内切和外切两种情况进一步即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ， ∴ ， ∵点在内，点在外， ∴的半径的取值范围为， 当分别以A、C为圆心的两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，是，即， ∴， 解得 ， 当分别以A、C为圆心的两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差，是，即， ∴， ∴， 综上可知，的半径 的取值范围是 或， 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，则，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接用同一未知数表示出、的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了比例式的性质，正确用同一未知数表示各数是解题关键． 8. 二次函数的图象与轴交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点坐标，把代入函数解析式求出的值即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是， 故答案为：． 9. 已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式；根据二次函数顶点坐标公式，结合最低点条件，确定解析式形式，进而即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图像最低点坐标为，可知顶点为，且抛物线开口向上，即． 设二次函数解析式为 ，其中为顶点坐标， 代入，得． 取，得． 故答案为． 10. 二次函数的部分对应值如下表： x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 1 －8 －9 －5 7 … 当时，对应的函数值______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性根据表中数据即可求出答案． 【详解】∵x=﹣3和x=5时，y=7， ∴对称轴， ∴x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0， ∵x=0时，y=﹣8， ∴x=2时，y=﹣8， 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要求掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点． 11. 如图，已知，它们依次交直线于点、、和点、、．如果，那么线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理直接解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出 ，再证出 ，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知点是的重心，点，分别在边、上，线段经过点，且，设，，那么用向量、表示向量为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，重心的性质等知识，求出，再根据相似三角形的判定和性质证明，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 连接 并延长 交于点， ∵点是的重心， ∴ ∵点，分别在边、上，线段经过点，且， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14. 传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面2.5米高的地方，那么该物体所经过的路程是________米． 【答案】6.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、坡度问题；根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为1:2.4，已知垂直高度为2.5米，可求水平距离，再利用勾股定理求斜坡长度． 【详解】解：由坡度，如图，垂直高度米， 则水平距离满足，即， 解得（米）． 斜坡（米）． 故答案为：6.5． 15. 已知点坐标为，如果半径为 的与轴无公共点，与轴有公共点，那么 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解． 【详解】解：圆心到x轴的距离为， 由于圆与x轴无公共点， 故圆心到x轴的距离大于半径，即 ； 圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点， 故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即； 因此，r的取值范围是． 故答案为：． 16. 如图，已知平行四边形中，点在边 上，，射线交于点，交射线于点，那么________．（结果化为最简整数比） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴； 故答案为： ． 17. 如图，中，，， 是中线，那么的值是________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角函数等知识． 作 于点E，作于点F，由三线合一得，由勾股定理得 ．证明可求出 ，，然后根据求解即可． 【详解】解：作 于点E，作于点F， ∵，， ∴． ∴． ∵ 是中线， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴ 故答案为：． 18. 如图，等边中，点、分别在边、上，， 交于点于点．如果，且的长为，那么等边的边长为________．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，证明，则 ． ，求出，得到，，．得到，证明，得到，得到，设，则，再根据等积法列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∵为等边三角形， ∴， 在和 中 ， ∴， ∴ ． ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且的长为， ∴， ∴． ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴ 解得（不合题意，舍去） ∴等边的边长为 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是关键；由特殊角的三角函数值及二次根式的运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段 、射线，依据作图痕迹： （1）判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） （2）如果，求 的长． 【答案】（1）①③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法即可判定①正确；无法判定②正确；证明，得出 ，即可判定③正确； （2）设 ，则，根据勾股定理得出，求出，得出 ， ，根据，得出，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：①根据作图可得： ， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴，故①正确； ②∵E点不一定是的中点， ∴不一定垂直平分， ∴ 不一定等于，故②错误； ③根据作图可得 平分 ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴； 综上，正确的有①③； 【小问2详解】 解：∵， ∴设 ，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ ， ， 根据解析（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，尺规作垂线和角平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 21. 如图，以 为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． （1）求证：； （2）连接、，如果，， ，求小圆半径 的值． 【答案】（1） 证明：如图，过点 作 于点， ∵ ， ∴， ， ∴ ， 即； （2） 【解析】 【分析】（）过点 作 于点，由垂径定理得， ，进而即可求证； （）连接、，可得 ， ，即得 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 在 中，∵， ∴， 解得 ， ∴ ， ∴， 即小圆半径 的值为． 22. 问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点 处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点处的仰角为 ，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点处，测得仰角为，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点、、 在同一个垂直于地面的平面内．你能依据所提供数据，求出、两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒） 分析解决 （1）建立模型：小海画出示意图，表示地面（如图所示），他将雷声传播速度 米/秒记作，得到 ，请根据他的思路，求出之间的距离是多少米． （2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点、的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 米． （2）存在，如图， 米． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）证明，利用勾股定理即可求出答案； （2）根据题意可画出图形，如图，过点作 于点，求出，，再利用勾股定理即可求出之间的距离． 【小问1详解】 解：由题意可知， ， ∴ ， 在中， ∴ ， ∵雷声传播速度 米/秒记作， ∴ （米）， 即之间的距离是 米． 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点，则 ， 在 中， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵雷声传播速度 米/秒记作， ∴ （米）， 即之间的距离是 米． 23. 探究活动：“奇异四边形”的特征值．如果一个四边形的四条边和两条对角线这6条线段中只有两种不同的长度，我们把这样的四边形叫做“奇异四边形”，其中较短线段与较长线段长度的比值称为特征值，记作．例如，如图所示，四边形中， ， ，我们就可将它称为奇异四边形，它的特征值为与的比值．请解答： （1）正方形是奇异四边形吗？________；如果是，它的特征值为_______；如果不是，请说明理由． （2）请构造一个符合奇异四边形特征的梯形，画出这个梯形的草图，写出在四条边和两条对角线中相等的线段，并求出它的特征值． 【答案】（1）是， （2） 如图所示，梯形即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了奇异四边形的理解与应用，正方形的性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据题意画出正方形，得出，，从而求得特征值； （2）根据题意可画出梯形，其中 ， ，设 ，利用等腰三角形的性质求得 ，从而证得 ，利用相似三角形的性质设 ， ，列出线段比例方程求解x的值，此时x的值即为特征值． 【小问1详解】 解：如图，在正方形中， ，， ∴符合题中的奇异四边形定义， ∴特征值， 故答案为：是，． 【小问2详解】 解：如图， 其中， ， ， 设 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 设 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴． 24. 已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． （1）求证：抛物线的顶点在直线上． （2）如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、 交于点，连接 ． ①试说明：； ②当 为等边三角形时，求的值及的正弦值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴顶点， 把代入直线 ，得 ， ∴抛物线的顶点在直线上； （2）①证明：令 ，得 ， 即 ， ∵， ∴， 解得，， ∴， 把代入 ，得 ， ∴， 连接 ，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【解析】 【分析】（）把函数解析式转化为顶点式，求出顶点的坐标，进而代入一次函数解析式即可求证； （）①求出点和点坐标，连接 ，可得，即得，进而即可求证；②由点和点坐标可得，进而由等边三角形和平行线的性质得到 ， ，又由点、得，由锐角三角函数得，即得，得到，再分和两种情况，分别画出图形，根据正弦的定义解答即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，， ∴， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴， 当时，，， 如图，过点作 的延长线于点，过点作 的延长线于点，则 ， 则 ，， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时，，， 如图，过点作 的延长线于点，过点作 的延长线于点，则 ， 同理可得； 综上，，． 25. 在中， ，已知射线在 内部，射线与射线在边的两侧，，点、分别在射线、上，． （1）如图，连接、，求证：． （2）如果平分 ，线段与边的公共点为，，，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）如果，垂足为点，且 ，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（）分别证明和 ，得到 和，进而即可求证； （）过点作于，由已知可得，，即得，，进而得到，，再利用即可求解； （）分点在点下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则， ∵ ，平分 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ∴， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 解：当点在点下方时，如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 设 ，则 ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； 当点在点上方时，如图， 则， 同理可得； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区2025学年第一学期期末课程实施调研 九年级数学试卷 （满分150分，用卷时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列各选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正五边形 2. 如果将抛物线向下平移若干个单位，那么下列结论中错误的是（ ） A. 顶点坐标不变 B. 开口方向不变 C. 对称轴不变 D. 与轴交点个数不变 3. 已知在中，点、 分别在边、上，那么下列条件中能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个三角形三边之比为 ，与它相似的另一个三角形最短边的长为 ，那么另一个三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在抛物线（其中，为常数）上，那么的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知在矩形 中， ，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，且点在内，点 在外，的半径的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，则，则______． 8. 二次函数的图象与轴交点坐标是_______． 9. 已知一个二次函数的图像最低点坐标为，那么该二次函数的解析式可以是______．（写出一个即可） 10. 二次函数的部分对应值如下表： x … －3 －2 0 1 3 5 … y … 7 1 －8 －9 －5 7 … 当时，对应的函数值______． 11. 如图，已知，它们依次交直线于点、、和点 、、 ．如果，那么线段的长是______． 12. 如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 13. 如图，已知点是的重心，点， 分别在边、上，线段 经过点，且，设，，那么用向量、表示向量为_____． 14. 传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面2.5米高的地方，那么该物体所经过的路程是________米． 15. 已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________． 16. 如图，已知平行四边形 中，点 在边上，，射线交于点，交射线于点，那么________．（结果化为最简整数比） 17. 如图，中，，，是中线，那么的值是________． 18. 如图，等边中，点、 分别在边、上，，交于点于点．如果，且的长为，那么等边的边长为________．（结果用含的代数式表示） 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，在中，，通过尺规作图，小明作出了线段、射线 ，依据作图痕迹： （1）判断下列结论正确的是_________． ①；②； ③．请填写编号） （2）如果，求的长． 21. 如图，以 为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、 、、． （1）求证：； （2）连接、 ，如果，， ，求小圆半径的值． 22. 问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点 处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点处的仰角为 ，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点 处，测得仰角为，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点、 、 在同一个垂直于地面的平面内．你能依据所提供数据，求出、 两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒） 分析解决 （1）建立模型：小海画出示意图，表示地面（如图所示），他将雷声传播速度 米/秒记作，得到 ，请根据他的思路，求出之间的距离是多少米． （2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点、 的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由． 23. 探究活动：“奇异四边形”的特征值．如果一个四边形的四条边和两条对角线这6条线段中只有两种不同的长度，我们把这样的四边形叫做“奇异四边形”，其中较短线段与较长线段长度的比值称为特征值，记作．例如，如图所示，四边形 中， ， ，我们就可将它称为奇异四边形，它的特征值为与的比值．请解答： （1）正方形是奇异四边形吗？________；如果是，它的特征值为_______；如果不是，请说明理由． （2）请构造一个符合奇异四边形特征的梯形，画出这个梯形的草图，写出在四条边和两条对角线中相等的线段，并求出它的特征值． 24. 已知平面直角坐标系（如图所示），抛物线的顶点为，与轴交于点，直线． （1）求证：抛物线的顶点在直线上． （2）如果抛物线与直线除点外，同时还经过另一点，已知点，连接、交于点，连接． ①试说明：； ②当为等边三角形时，求 的值及的正弦值． 25. 在中， ，已知射线在内部，射线与射线在边的两侧，，点 、分别在射线、上，． （1）如图，连接、，求证：． （2）如果平分，线段 与边的公共点为，，，，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）如果，垂足为点，且 ，，，求 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $