精品解析：山西省太原市娄烦县第二中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若反比例函数的图象经过点、，则的值是（ ） A. 1 B. C. 6 D. 2. 如图，在中，，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 一个几何体是由大小相同的小正方体块搭成的，如图所示，数学代表小正方体个数，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点、，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 5. 若，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法判断 6. 为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（　　） A. 0.45 B. 0.50 C. 0.55 D. 0.75 7. 如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，两条对角线所夹的钝角为，则对角线的长为(　　) A. 3 B. 6 C. D. 10 9. 某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A. 当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B. 小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C. 小球落地点距点水平距离为7米 D. 斜坡的坡度为 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若，则等于_______度． 12. 写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线：________________． 13. 以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，若相似比为2，A点坐标为，则对应点F的坐标为__________． 14. 密度计是一种重要密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 15. 在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1，2，3；乙盒里3张卡片分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外都相同，将卡片充分摇匀． （1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的数字为偶数的概率是______； （2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的数字之和能被3整除的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 19. 如图，点A是菱形对角线的交点，，连接，交于O． （1）求证：； （2）若，求长． 20. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度长（结果精确到米）． （参考数据：，） 21. 如图，矩形中，，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接，记的面积为，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，（点在点的左侧）． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． （3）平移抛物线，使拋物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 23. （1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 若反比例函数的图象经过点、，则的值是（ ） A. 1 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． 将代入反比例函数解析式即可求出的值，再将代入解析式求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入反比例函数解析式， 解得：． ， 将代入解析式，得： 解得． 故选：B． 2. 如图，在中，，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 设，根据正切的定义得出，再根据勾股定理即可得出的值，进而可得出的值． 【详解】解：设， ， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去），即， ， 故选：C． 3. 一个几何体是由大小相同的小正方体块搭成的，如图所示，数学代表小正方体个数，则该几何体的主视图是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图的知识，根据主视图是从正面看到的图形判断即可，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键． 【详解】由题意知，该几何体的主视图为： ， 故选：A． 4. 如图，直线，直线依次交，，于点，，，直线依次交，，于点、，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可． 详解】解：∵直线， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 5. 若，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据已知不等式求出的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ∴方程没有实数根． 故选：A． 6. 为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（　　） A. 0.45 B. 0.50 C. 0.55 D. 0.75 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可． 【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为4520次， ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为， 故选：A． 7. 如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含度角的直角三角形的性质可以计算出自动扶梯的长度，然后根据“”即可得出答案． 【详解】解：大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为， 自动扶梯的长度， 顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为：， 故选：． 8. 如图，矩形中，，两条对角线所夹的钝角为，则对角线的长为(　　) A. 3 B. 6 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的对角线互相平分可得． 【详解】解：在矩形中，， ∵两条对角线所夹的钝角为 ， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键． 9. 某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 根据平均增长率模型，2月份产值为，3月份产值为，它们的总和为62万元． 【详解】解：设平均每月增长率为x， ∴2月份产值：，3月份产值：， ∵2月份和3月份总产值为62万元， ∴， 故选：C． 10. 如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A. 当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离 B. 小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C. 小球落地点距点水平距离为7米 D. 斜坡的坡度为 【答案】D 【解析】 【分析】求出当时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 ∴当时，， 整理得 ， 解得， ∴当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为，选项A的说法是正确，不符合题意； ， 则抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B的说法是正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C的说法是正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数刻画， ∴当时，， ∴斜坡的坡度为，选项D的说法是不正确，符合题意； 故选D． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若，则等于_______度． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了特殊角度的锐角三角函数值，根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：15． 12. 写出一个顶点在轴上，开口向上的抛物线：________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个二次项系数大于0且一次项为0的二次函数，即可求解． 【详解】解：依题意，一个顶点在轴上，开口向上的抛物线可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13. 以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，若相似比为2，A点坐标为，则对应点F的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将进行位似变换放大得到，且相似比为2，A点坐标为， ∴对应点F的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 14. 密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 15. 在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形， ，，， 点E是的中点， ， ()， ，则， 平分， ， ， ，则 平分， 在和中， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：. 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 所以，； 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴， 故原方程无实数根． 17. 甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1，2，3；乙盒里3张卡片分别标有数字4，5，6，这些卡片除数字外都相同，将卡片充分摇匀． （1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上的数字为偶数的概率是______； （2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片上的数字之和能被3整除的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和能被3整除的结果，再由概率公式即可求得答案． 本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两张卡片的数字之和能被3整除的结果有3种， 抽到的两张卡片上标有数字之和能被3整除的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进而将两点坐标代入一次函数求解即可； （2）四边形的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形为平行四边形，进而根据面积公式求得． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， ， ∴反比例函数表达式为，， ， 将、两点的坐标代入， 得，解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：令一次函数的图象与轴交于点， 轴，， ∴四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关系． 19. 如图，点A是菱形对角线的交点，，连接，交于O． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）根据判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形，即可证明结论； （2）根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用． 20. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图，为测量海岛上一座山峰高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到米）． （参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）山峰高度的长约为米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 在中，，， （米）， 在中，，， （米）， 米， 米， 的长为米； 【小问2详解】 解：设米， 在中，， （米）， ∵米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， ∴山峰高度的长约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键． 21. 如图，矩形中，，．动点P从点A出发，沿着折线方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接，记的面积为，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）， 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，确定一次函数的表达式是解题的关键． （1）当点在上运动时，此时，，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）取点绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， 当点在上运动时，此时， ， ∴； 当点在上运动时，此时，， ∴， 综上：； 【小问2详解】 解：图象如图所示， 性质为：当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：根据图象所示，两个函数交点的横坐标估计值为：，． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为，与轴交于点，（点在点的左侧）． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． （3）平移抛物线，使拋物线的顶点始终在直线上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段有公共点时，求抛物线顶点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，通过解二元一次方程组，即可求出抛物线的解析式，然后将其解析式化成顶点式，即可求出顶点的坐标； （2）在抛物线对称轴上取一点，连接，，，由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，由，两点的坐标可知点，关于抛物线的对称轴对称，由轴对称的性质可得，则，因而可知当点，，三点共线时，的值最小，令，即可求出抛物线与轴的交点的坐标，设直线的解析式为，将，两点的坐标代入，即可求出直线的解析式，进而可求出点的坐标； （3）首先用待定系数法求出直线和的解析式，由于抛物线的顶点始终在直线上移动，因而可设平移中的抛物线的解析式为，然后分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解的取值范围即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， 把，代入抛物线解析式，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 在抛物线对称轴上取一点，连接，，， ， 抛物线对称轴为直线， ，， ，， 点，关于抛物线的对称轴对称， ， ， 当点，，三点共线时，的值最小， 令，则， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 抛物线的顶点始终在直线上移动， 可设平移中的抛物线的解析式为， 分三种情况讨论： 当时， 抛物线即， 此时抛物线与线段有两个交点，即：点和点； 当时， ）抛物线经过点时， 则有：， 解得：（不合题意，故舍去），； ）抛物线经过点时， 则有：， 解得：（不合题意，故舍去），； 综上可得； 当时， 抛物线与直线有公共点， 则方程，即有实数根， ， 解得：， ； 综合可得：当或时，平移后的抛物线与线段有公共点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，把化成顶点式，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），的图象与性质，轴对称的性质，等式的性质，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，根据一元二次方程根的情况求参数，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质是解题的关键． 23. （1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）18 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，    ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $