河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（三）

河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数的虚部为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（） A． B． C． D． 4．下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 5．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A．一组数据的第60百分位数为14 B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70 C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3 D．随机变量服从二项分布，若方差，则 10．如图，在正方体中，E，F，M分别为棱，BC，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面EFM截该正方体所得的截面为正三角形 B．平面EFM平面 C．直线ME与所成的角为 D．平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为 11．已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，则与方向相同的单位向量 . 13．设函数，若，则= ． 14．已知三棱锥中，平面BCD，，， ，则三棱锥的外接球的表面积为 . 四、解答题 15．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 年收入（万元） 9 9.5 10 10.5 11 年支出（万元） 11 10 8 6 5 参考公式：， （1）求； （2）求年收入与年支出的回归方程； （3）据此估计，该社区一户家庭年收入为8万元，则家庭年支出为多少？ 16．已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记． (1)若，求线段的长度； (2)求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值． 17．已知，，与的夹角为， (1)求与的值． (2)求与的值． 18．如图，在棱长为1的正方体中，点M，N（N靠近）是线段（含端点）上的动点，且，设平面与平面的交线为l． (1)求证：． (2)当四面体的表面积最小时，求： ①的值； ②直线与平面所成角的大小． 19．已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)已知函数，有两个极值点，. ①求的取值范围； ②若不等式恒成立，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D C A D C BC BCD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】解不等式得集合A和B，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 2．B 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据虚部的概念即可得到答案． 【详解】由， 则， 所以复数的虚部为2． 故选：B． 3．D 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，选取特殊值进行判断. 【详解】由，得．由，得，所以． 因为，所以，，所以． 又因为，，所以，，故， 所以． 故选： 4．D 【分析】根据椭圆的性质：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，进行判断即可. 【详解】在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率. 根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又， 所以椭圆更接近于圆. 故选：. 5．C 【分析】根据正弦定理得到，由为锐角三角形，得到，结合三角函数的单调性得到，从而得解. 【详解】由正弦定理得，即， 又为锐角三角形，， 又，则， 解得，而当时，单调递增， 故，所以. 故选：C 6．A 【分析】根据已知的递推关系可以得到为等比数列，再用累加法求解即可. 【详解】由已知得：， 又，所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列, 因此， 当时， 相加得：. 故选：A. 7．D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 8．C 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，再通过导数证明当时，即可. 【详解】因为的定义域为， 又，所以函数为偶函数， 所以，，， 构建函数，，恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 构建函数，，在恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 综上所述，在时，， 所以， 又因为函数在单调递减， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，解题的关键是通过导数证明在，. 9．BC 【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D. 【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误； 对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确； 对C， 设数据的平均数为， 由平均值性质可知：样本数据的平均数为， 解得，故C正确； 对D，由题意可知，解得或， 则或，故D错误. 故选：BC 10．BCD 【分析】分别取，，的中点为，，，连接各中点，求出平面EFM截该正方体所得的截面为正六边形判断A；利用面面平行的判定定理证明判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线线角和面面夹角，即可判断CD. 【详解】对于A，分别取，，的中点为，，，连接各中点，如下图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面EFM截该正方体所得截面即为六边形，即A错误； 对于B，因为点，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点，分别为，的中点，所以， 又，所以，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面，即平面EFM平面，故B正确； 对于C，建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 不妨取正方体的棱长为2， 则，，，，， 所以，， 所以直线ME与所成的角的余弦值为， 所以直线ME与所成的角为，故C正确； 对于D，由选项C可知，，， 设平面EFM的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面EFM的一个法向量为， 易知平面ABCD的一个法向量为，设平面EFM与平面ABCD的夹角为， 则， 即平面EFM与平面ABCD的夹角的余弦值为，故D正确． 故选：BCD 11．ABC 【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确； 又函数是奇函数，则，因此，即有， 于是，即函数的周期为4，有，C正确； 因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确； 当时，，所以，D错误． 故选：ABC 12． 【分析】求出向量的模，然后求解单位向量. 【详解】由题意得：，， ，， ，这就是与同向的单位向量． 故答案为：. 13． 【分析】由，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 因为，可得， 即，可得， 又由. 故答案为：. 14． 【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理得，取的中点E，可得，三棱锥的外接球的球心即为点，求出，再求球的表面积可得答案. 【详解】因为平面BCD，平面，所以， 因为，，所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，取的中点，连接， 可得， 所以三棱锥的外接球的球心即为点，外接球的半径为， 由得， 则三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：.    15．（1）；（2）；（3）万元. 【分析】（1）根据表中数据算出答案即可； （2）根据公式求出、即可； （3）将代入回归方程算出答案即可. 【详解】（1）， （2）， 所以 （3）当时， 所以该社区一户家庭年收入为8万元，则家庭年支出为万元 16．(1) (2)当时，的面积最大，最大面积为 【分析】（1）在中，可求得，同理求得，根据余弦定理可求得； （2）在中，，在中，，用表示出的面积，根据三角函数的性质可求得最大值. 【详解】（1）如图，在中，，∴.同理，. 在中，由余弦定理可得：， ∴， .    （2）在中，， 在中，. 在四边形中，. 设的面积为S， 则 . 由，得， ∴当，即时，S最大，. 因此，当时，的面积最大，最大面积为. 17．(1)， (2)， 【分析】（1）根据数量积的坐标公式及运算律即可得解； （2）根据数量积的运算律及夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）由，， 得， ； （2）， . 18．(1)证明见解析； (2)①；②. 【分析】（1）由正方体的结构特征及面面平行的性质定理有，连接，结合线面垂直的性质定理得、，最后由线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）①在平面内过作均平行于，设，结合已知将问题化为求最小，应用余弦定理有，进而化为点到点与的距离之和最小，应用平面解析几何求出即可；②构建合适的空间直角坐标系，求直线与平面的方向向量和法向量，应用向量法求线面角的大小. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面平面， 所以，连接，正方体中， 且平面，平面，则， 由都在平面内，故平面，则平面， 由平面，则； （2） ①在平面内过作均平行于，如下图， 易知四边形、均为矩形，设， 所以，， 而，，则， 若，即，， 所以， ， 由到的距离为定值，且，即为定值， 所以要使四面体的表面积最小，只需最小， 由 ， 其中表示点到点与的距离之和， 点关于轴的对称点为，所以最小为两点的距离， 由直线为，则在该直线上，所以，满足前提，故； ②构建如图示的空间直角坐标系，则， 由，则，所以，则， 由平面与平面为同一个平面，而，， 若平面的一个法向量为，则，取，则， 所以直线与平面所成角正弦值为， 而线面角范围为，故直线与平面所成角为. 19．(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2)①；②. 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）①求出的表达式，依题意有两个不等的正实数根，令， 则有两个大于的不等实数根，，利用根的判别式及韦达定理得到不等式组，解得即可；②依题意可得恒成立，结合①可得，从而得到在时恒成立，参数分离得到对恒成立，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 又， 令，解得或； 令，解得， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）①由题意得，， 则， 因为函数有两个极值点，，又， 故有两个不等的正实数根； 令，，则，则即为， 则有两个大于的不等实数根，， 故，解得； 故的取值范围为； ②可变形为， 结合①可知，， 即，，， 所以， 则不等式恒成立，即为在时恒成立， 由，即得对恒成立， 令，， 则， 则在上单调递减，故， 故，即的取值范围为. 答案第4页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $