2025-2026学年苏科版八年级上学期期末数学练习卷

2025-2026学年苏科版八年级上学期期末数学练习卷全析全解 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2024八年级数学上册+新版八下二次根式章节。 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各实数中，负无理数是（    ） A．9 B． C． D．3.14 2．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将播州区图书馆的标志平面示意图放在平面直角坐标系中，A，B两点关于y轴对称．若点的坐标为，点坐标为，则值为（   ） A．2 B．1.5 C． D． 5．如图，一次函数（、为常数，且）与一次函数交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．计算：（   ）. A． B． C． D． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 10．如图，在长方形ABCD中，，，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D→A的路径运动，则的面积y（单位：）与点E运动的时间x（单位：s）的函数图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．在中，，的与的长度分别为和，则的边的长为 ． 12．单项式的系数是 ；的小数部分为 ． 13．如图是一个“”型的零件，四边形和四边形均为长方形，在点处有一只蚂蚁（看作点），点到的距离为，，，则蚂蚁沿零件表面从点到点爬行的最短路程是 ． 14．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 15．在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最小的值等于 ． 16．如图，在中，，D是上的动点，过点D作，交AC于点E，将沿直线翻折，点A落在F处，交于点G，则长度的最小值为 ． 三、解答题（共9题，共74分） 17．（4分）计算： (1)； (2)． 18．（4分）已知与互为相反数，求的值． 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，， (1)画出关于轴对称的，直接写出点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在轴上有一点，使得最小，在图中标出点（保留作图痕迹）． 20．（6分）如图，在中，，，，垂足分别为，，，相交于点、连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 21．（8分）在中，，以为对称轴作的对称，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图一，连接，交于点， ①若，则________； ②求证：； (2)如图（二），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点．若，求的长． 22．（10分）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ， (1)如图1：当时，求证：； (2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 23．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值． (2)在（1）的结论下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x取整数），求有哪几种购买方案． (3)在（2）的结论下，超市采用哪种方案可以获得最大利润． 24．（12分）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 25．（12分）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． (1)已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； (2)若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级上学期期末数学练习卷全析全解 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2024八年级数学上册+新版八下二次根式章节。 一、单选题 1．下列各实数中，负无理数是（    ） A．9 B． C． D．3.14 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键；因此此题可根据无理数是无限不循环小数进行求解即可． 【详解】解：选项中9、、3.14是有理数；而是负无理数； 故选B． 2．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定定理即可求解，包括等，不能保证唯一三角形；本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选项A：已知，但不是和的夹角，属于情况，不能唯一确定三角形； 选项B：已知三边的长度，符合定理，能唯一确定三角形； 选项C：已知，是和的夹角，符合定理，能唯一确定三角形； 选项D：已知，符合定理，能唯一确定三角形； 故选：A． 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 4．如图，将播州区图书馆的标志平面示意图放在平面直角坐标系中，A，B两点关于y轴对称．若点的坐标为，点坐标为，则值为（   ） A．2 B．1.5 C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可解． 【详解】解：，关于y轴对称， 解得， 故选：D． 5．如图，一次函数（、为常数，且）与一次函数交于点，则关于、的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数交于点， ∴， ∴关于、的方程组的解是， 故选：B． 6．计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的除法计算．熟悉二次根式的除法计算法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则：，进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 8．如图，在中，，，O为中点，将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上，连接，，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、三线合一 【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识，先由等腰三角形的性质得到，再由旋转得到，即可证明是等边三角形，得到． 【详解】解：∵，，O为中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到，点D，E分别在边和的延长线上， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 9．在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点坐标规律探索、点坐标与轴对称变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为， 归纳类推得：轴对称变换后所得的点的对应点坐标按，，，循环，以4次为一个周期， ∵， ∴第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标与第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标相同，即为， 故选：D． 10．如图，在长方形ABCD中，，，动点E从点B出发，以1cm/s的速度沿B→C→D→A的路径运动，则的面积y（单位：）与点E运动的时间x（单位：s）的函数图象大致表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了一次函数与几何动点问题的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 根据题意，当点分别在、、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】解：①当点在段运动时，的面积随的增大而增大，运动到点时面积最大，为，此时； ②当点在段运动时，的面积不变，始终为，运动到点时，； ③当点在段运动时，的面积随的减小而减小，当点与点重合时，，此时． 综上可知，选项A的图象符合要求． 故选：A． 二、填空题 11．在中，，的与的长度分别为和，则的边的长为 ． 【答案】7或11 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和中线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据中线的定义得到，设，则，需分类讨论周长被分成的两部分，并利用三角形三边关系验证． 【详解】解：设，则． 中线将周长分为两部分：和． 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系； 若，， 解得，， 此时，，满足三边关系． 故答案为：或． 12．单项式的系数是 ；的小数部分为 ． 【答案】 / 【知识点】无理数整数部分的有关计算、单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数，无理数的估算与小数部分求解，确定无理数的整数部分是解题关键． 单项式的系数指数字因子，无理数的小数部分等于其减去整数部分，据此进行求解． 【详解】解：对于单项式，可写为，故系数为； 对于，∵， ∴，的整数部分为， 则的整数部分为，小数部分为． 故答案为：；． 13．如图是一个“”型的零件，四边形和四边形均为长方形，在点处有一只蚂蚁（看作点），点到的距离为，，，则蚂蚁沿零件表面从点到点爬行的最短路程是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了利用勾股定理求最短路径问题，要求最短路径，最直接的作法，就是将零件展开，然后利用两点之间线段最短解答，利用勾股定理是解题的关键． 将其展开，连接，过点D作于点H，由题意得，，，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将其展开，连接，过点D作于点H，如图， 由题意得，，， ， ， ， 故答案为：． 14．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、中点坐标 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点C作轴，使，连接交x轴于点P，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点C作 轴于点H，使，连接交x轴于点P， 则此时有最小值， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的直线，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最小的值等于 ． 【答案】2 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式；分别将，，解析式求出来，再计算，比较大小即可． 【详解】解：设过的直线为，过的直线为，过的直线为， 将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：； ∴，，， ∴最小值为2． 故答案为：2． 16．如图，在中，，D是上的动点，过点D作，交AC于点E，将沿直线翻折，点A落在F处，交于点G，则长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、勾股定理与折叠问题、分母有理化、垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，折叠的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确作出辅助线． 过点分别作，，垂足为，先由勾股定理求解得到，再由面积法求出，然后证明，由角平分线的性质定理得到，最后由垂线段最短即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题方法是关键． （1）根据二次根式混合运算的法则，计算即可解答； （2）根据二次根式的混合运算法则运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据非负性解得x、y的值，再计算． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，， (1)画出关于轴对称的，直接写出点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)在轴上有一点，使得最小，在图中标出点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析，， (2)点的位置见解析 【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换与最短路径问题． （1）关键是关于轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）利用“两点之间线段最短”，通过作对称点将折线转化为直线段，从而找到最短路径的点． 【详解】（1）解：如图所示： 点坐标为，点坐标为． 故答案为：，； （2）解：如图，连接，线段与轴的交点即为点． 20．如图，在中，，，，垂足分别为，，，相交于点、连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等边对等角、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据垂直的定义证明， 根据等边对等角证明，然后根据证明即可； （2）根据线段的等量关系证明，然后证明， 从而得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在与中， ， ； （2）证明：∵， ∴， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分． 21．在中，，以为对称轴作的对称，以为边在右侧作等边三角形． (1)如图一，连接，交于点， ①若，则________； ②求证：； (2)如图（二），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点．若，求的长． 【答案】(1)①；②见详解 (2) 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据直角三角形两锐角互余得到，根据对称的性质得到，由等边三角形的性质得到，，根据等边对等角即可求解； ②根据题意得到，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）设，则，由等边三角形的性质得到，如图所示，过点作于点，则，，再证明，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①在中，， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∵以为边在右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵对称， ∴，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：在中，， ∴， 设，则， ∵是以为边的等边三角形， ∴， ∴，即， ∵是以为边的等边三角形， ∴， 如图所示，过点作于点，则，， ∴，则， 在中，， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识是关键． 22．已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ， (1)如图1：当时，求证：； (2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)         的值是：或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、三角形角平分线的定义 【分析】（1）解题思路为：遇到两倍角关系的证明想到角平分线等知识，过点C作交的角平分线于点M，与相交于E，然后证明为等腰三角形即可； （2）根据B、C两点求出直线的解析式，将D点代入直线解析式中即可求出n的值，然后根据的面积分为与的面积之和为12，即可求出m的值． 【详解】（1）解：如图所示：过点C作交的角平分线于点M，与相交于E， ， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴设直线：， ∵，， ∴，解得：， ∴直线：， ∵，， ∴同理可求出直线的解析式：， ∴联立：，解得：， ∴， ∴，， ∴，从而：， ∴； （2）∵由（1）可知直线解析式：， 将代入得：， 如图所示：连接， ， ∴ ， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数背景下的代数与几何综合题．解题的关键是能够熟练掌握角平分线形成的二倍关系，利用待定系数法求解一次函数解析式，能够用割补法求解平面直角坐标系下的三角形的面积． 23．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值． (2)在（1）的结论下，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x取整数），求有哪几种购买方案． (3)在（2）的结论下，超市采用哪种方案可以获得最大利润． 【答案】(1)m的值为10，n的值为14 (2)有3种购买方案：方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克 (3)超市采用方案3（购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克）可以获得最大利润，最大利润为520元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一元一次方程的实际问题，根据题意列出正确的方程组或不等式组是解题的关键． （1）根据题干信息列出二元一次方程组即可求解； （2）在（1）的结论下根据题干信息列出一元一次不等式组进行求解即可； （3）在（2）的结论下，首先列出利润与购进千克数之间的解析式，分析得到利润随购进千克数的增大而增大，进而选择利润最大的方案即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜进价每千克10元，乙种蔬菜进价每千克14元， ∴m的值为10，n的值为14； （2）解：设每天购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜千克， 由题意可得：， 解得：， ∵x为正整数， ∴， ∴有3种购买方案：方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克； （3）解：设超市获得的利润为y元， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，最大值为， ∴超市采用方案3（购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克）可以获得最大利润，最大利润为520元． 24．学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字形全等的方法来解决问题． 【课例回顾】 （1）如图，为测量河对岸点到点的距离，借鉴上述方法，过点画直线，并在直线上依次取点和点，使得，．请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长，并加以证明； 【猜想探究】 （2）如图，在中，，，为中线，且，过点作交于点，线段_____．(用含的式子表示) 【答案】（1）过点作，延长交于点；测量线段的长度即可得到的长 （2） 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定与性质的实际应用，关键是利用“构造全等三角形”的方法，将不可直接测量的线段转化为可测量的线段，通过作垂线构造直角，结合对顶角和已知边相等，用证明三角形全等； （2）本题考查直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，关键是通过“倍长中线”构造全等三角形，将转化为，再结合线段垂直平分线的性质和角度推导，得到含角的直角三角形，从而利用性质求出的长度． 【详解】（1）解：如图，过点作，延长交于点． 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 因此，测量线段的长度即可得到的长； （2）解：如图，延长到使，连接． ∵为中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题整体围绕“倍长中线构造全等三角形”的核心方法展开，考查了全等三角形的判定(、)与性质、直角三角形斜边中线的性质、含角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是熟练掌握“倍长中线”的构造技巧，通过全等三角形实现线段和角度的转化，再结合特殊三角形的性质完成计算或证明． 25．在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“同值点”．例如，图中的，两点为“同值点”． (1)已知点的坐标为， ①在点中，是点P的“同值点”的有 （只填字母）； ②若点Q在直线上，且P，Q两点为“同值点”，则点Q的坐标为 ； (2)若是直线上的两点，且与为“同值点”，求的值． 【答案】(1)①，；②或 (2)的值为或 【知识点】求点到坐标轴的距离、比较一次函数值的大小、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题是一次函数综合应用，点到坐标轴的距离，“同值点”的定义，一次函数图象的性质． （1）①找到x、y轴距离最大为的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“同值点”概念进行选择即可； （2）将代入，得，．由，依据“同值点”定义可得关于的不等式，即可解答本题． 【详解】（1）解∶ ①根据题意得：点到、轴的距离中最大值为， ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为，， ∴点不是点的“同值点”； ∵点到、轴的距离中最大值为， ∴点是点的“同值点”； ∴与点是“同值点”的点是，； 故答案为：，； ②点在直线上，且，两点为同值点， 点坐标中到、轴距离其中至少有一个为， 当点到轴距离为时， 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的纵坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 当点到轴距离为时， 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 若点的横坐标为时，，此时点，到、轴的距离中最大值为； 这些点中与符合“同值点”的是或． 即点的坐标为或； 故答案为：或； （2）是直线上的两点， ，， ， ，， 与为“同值点”， 当时，，解得， 当时，， ； 当时，，解得． 综上所述，的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $