专题 1.16 反比例函数（学情检测卷）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.16 反比例函数（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2024·海南·三模）若反比例函数y =的图象经过点，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·广东清远·一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川广安·二模）对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．图象经过第二、四象限 B．图象关于直线成轴对称 C．图象经过点 D．若点，都在图象上，且，则 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 7．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A．B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·吉林长春·二模）如图，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为函数上一点，，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 10．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 12．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    13．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 14．（2020·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则 ． 15．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 16．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 17．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 18．（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简； (2)若点在反比例函数的图象上，求的值． 20．（本小题满分8分）（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 21．（本小题满分10分）（2023·河北承德·一模）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东菏泽·期末）【阅读材料】 解方程时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根． 【模仿练习】 （1）解方程． 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且． ①当时，求的值． ②是否存在这样的点，使符合条件的不存在？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出一个这样的点坐标． 23．（本小题满分10分）（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 24．（本小题满分12分）（2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.16 反比例函数（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（2024·海南·三模）若反比例函数y =的图象经过点，则该函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．先根据点求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即点的横纵坐标之积等于k，判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴ 函数图象上点的横纵坐标之积为2． ∵， ∴不在图象上， ∵， ∴在图象上， ∵， ∴不在图象上， ∵， ∴不在图象上， ∴该函数图象一定经过点， 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分别求出，，的值，然后进行判断，即可得到答案．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知“反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式”是解答此题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图象上， 则当时，； 当时，； 当时，； ∴； 故答案为：C． 3．（2023·广东清远·一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 4．（2023·四川广安·二模）对于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A．图象经过第二、四象限 B．图象关于直线成轴对称 C．图象经过点 D．若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的性质．根据反比例函数图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象在第二、四象限，关于对称， 故A，B正确，不符合题意； 将代入解析式得， ∴图象经过点， 故C正确，不符合题意； ∵， ∴当或时，随着的增大而增大， ∴当时，的大小无法确定， 故D错误，符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个定值，即可得出结果． 【详解】解：依题意，过双曲线上任意一点与原点所连的线段和坐标轴，和向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形面积S是个定值， 即， ∴． 故选：A． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、两点．则当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是依据函数图象的上下关系解不等式，解决该题型题目时，根据函数图象位置的上下关系结合交点的坐标，找出不等式的解集是关键．根据函数图象的上下关系，结合交点的横坐标找出不等式的解集，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，发现： 当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方， 当时，x的取值范围是或 故选C 7．（2026·江西·模拟预测）跨学科物理我们知道，当压力F一定时，受力面积S越大压强P 越小．在下列图象中，能描述这一变化规律的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据实际意义以及函数的解析式，确定函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：结合物理知识可得， ∴压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，同时自变量是正数． 故选：D． 8．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为，可证明得到，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为， ∴， ， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵第二象限内的点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 9．（2025·吉林长春·二模）如图，直线与y轴、x轴分别交于点A、B，点C为函数上一点，，连接交双曲线于点D，点D恰好是的中点，则k的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，熟练掌握该知识点是关键． 先求出点B坐标，根据平行得到直线表达式为，再设点C坐标为，则，由中点坐标公式列出方程解出m值，即可得到k值． 【详解】解：直线解析式为， ∴当时，， 解得 ， ， ， 直线的解析式为， 设点C坐标为， ∵点D恰好是的中点， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， 点D恰好是的中点， ， 解得， ． 故选：D． 10．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，由的几何意义可知，为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，且， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 12．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为 .    【答案】6 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 13．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 14．（2020·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点······，依次进行下去，记点的横坐标为，若则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出A1、B1、A2、B2、A3、B3…，从而得到每3次变化为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据商的情况确定出a2020即可 【详解】解：当a1=2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为2，A1（2，3），B1(2，) ； A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，可得A2（，）； B2的横坐标和A2的横坐标相同为，代入得，y=，得B2(，) ； A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为，代入y=x+1，得x=，故A3（，） B3的横坐标和A3的横坐标相同为，代入得，y=3，得B3(，3) A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为3，代入y=x+1，得x=2，所以A4（2，3） … 由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环， ∵2020÷3=673⋯⋯1， ∴a2020=a1=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每3次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 15．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 16．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 17．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 18．（2025·山东日照·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与原点O重合，边在x轴上， 在y轴上，点B在反比例函数的图象上，D是边上的一点，连接．将折叠，得到，折痕为，点O的对应点为，与交于点E；将折叠，得到，折痕为，点A的对应点恰好落在上．若点，则k的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和几何综合，轴对称的性质，勾股定理等知识，数形结合是关键．根据轴对称的性质得到，，证明是直角三角形，得到，设，求出，得到，则，得到，则，即可求出k的值． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k． 答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·广东广州·一模）已知． (1)化简； (2)若点在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，反比例函数的图象与性质等知识，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）按照分式化简的步骤化简即可； （2）将点P代入反比例函数解析式，再整体代入即可的解． 【详解】（1）解： （2）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即 ∴原式 20．（本小题满分8分）（2024·江苏泰州·二模）如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且． (1)当时，请比较与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求该函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答． （2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且 ∴，， 则 则， ∵ ∴ （2）解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上 ∴ ∵，， ∴ 整理得， ∴ 解得，（舍去） 经检验：是原分式方程的解， ∴． ∴ 21．（本小题满分10分）（2023·河北承德·一模）如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东菏泽·期末）【阅读材料】 解方程时，先两边同乘以，得，解之得，，经检验无增根． 【模仿练习】 （1）解方程． 【拓展应用】 （2）如图，等腰直角的直角顶点的坐标为，，两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且． ①当时，求的值． ②是否存在这样的点，使符合条件的不存在？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出一个这样的点坐标． 【答案】（1），；（2）①n的值为2；②存在，． 【分析】（1）方程两边乘以x，整理为一元二次方程，求出方程的解，检验即可； （2）①当时，过B作轴，过C作轴，根据为等腰直角三角形，得到，，利用一线三等角得三角形全等，进而得到，，根据B的坐标及A的坐标表示出C的坐标，代入反比例函数解析式求出n的值即可； ②存在A成立，写出满足题意A的一个坐标即可． 【详解】解：方程， 同时乘以x得：， 整理得：，即， 解得：，， 检验：把和分别代入得：， ∴，都为分式方程的解； （2）①过B作轴，过C作轴，可得， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 代入反比例解析式得：， 两边同时乘以n得：， 整理得：，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 则n的值为2； ②存在A点，使符合条件的存在， 同理由①得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 当时，方程为，即， 分解因式得：， 解得：或 （不符合题意，舍去）， 此时A的坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：解分式方程，解一元二次方程，根的判别式，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握各自的解法及性质是解本题的关键． 23．（本小题满分10分）（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E． (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求、的值； ②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析 (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解； （2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解； ②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下： 设点， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图，连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）解：①∵四边形为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 代入得， ， 解得； ②∵点在轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号； 延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点； 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故当最大时，点P的坐标为． 24．（本小题满分12分） （2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；②或 【分析】将A代入直线l解析式求a值，进而求k值即可； 先联立直线了和反比例函数解析式求出B点坐标，进而求出点E坐标，再求直线解析式，从而求出和交点是中点即可得证； ①，则，，，根据三角函数的定义即可求得答案； ②由题易知，分类讨论，点F在A上方或下方，因此或者，设参数，利用三角函数值解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）将代入直线了：中可得， ， ， 再将点A代入反比例函数中，得； （2）证明：由知， 反比例函数表达式为， 令， 整理得， 解得，， ， ， 设直线表达式为，则， 解得， 直线表达式为， 再联立直线和直线l得，， ， 解得， ，， 中点横坐标为， 和交点为中点， 把分成面积相等的两部分； ①如图，中，，， ， 设，则，， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 如图，过作轴，则， 由①知， 设， ，， ， ， ， ， ； 同理； 综上，F点的坐标为或 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数和一次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $