黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题 专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 考点目录 黄金分割 相似的判定与性质综合 相似与动态几何问题 考点一 黄金分割 例1.(25-26九年级上上海浦东期末)已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),若AB=10,则AC的长为() A.55-5 B.55+5 C.15-5V5 D.5√5-15 【答案】A 【详解】解：点C是线段AB的黄金分割点AC>BC),AB=10, AC2=AB×BC, 设AC=x,则BC=10-x, 故x2=10x10-x, 整理得x2+10x-100=0, a=1,b=10,c=-100, 故△=b2-4ac=102-4×1×-100)=100+400=500, ∴x=-10±V500 2 解得x=5V5-5,x=-5V5-5(舍去)， ∴AC的长为5√5-5. 故选：A. 例2.(25-26九年级上广东深圳期末)某观景平台为长方形，当短边与长边的比接近黄金比（约为0.618）时，视 觉效果最佳.若该平台的长边为10m,为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为() A.3.82m B.5m C.6.18m D.7.2m 【答案】C 【详解】解：设短边长度为m, 短边与长边的比接近黄金比0.618， 10*0.618,解得r*618, 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 故选：C. 例3.(25-26九年级上陕西西安·期末)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的 黄金分割比.如图，B为线段AC的黄金分割点(AB>BC).若AC=40cm,则BC的长为cm. 【答案】(60-20√5) 【详解】解：B为线段AC的黄金分割点(AB>BC),AC=40cm, 故AB=5-1 AC 2 AB=V5-L4c52-1×40=20V5-20)cm 2 BC=AC-AB=40-20V5-20)=(60-20V5)cm. 故答案为：(60-205). 例4.(25-26九年级上·浙江期末)黄金分割是构图的重要手法.如图，AI生成的图片中，C,D是直径AB的两个 黄金分割点，己知AB=2,则AD= 一·（答案保留根号） 【答案】3-√5 【详解】解：由题意，可知BD=V5-1， AB 2 ÷BD=5-lAB=5-1x2=5-1, 2 2 AD=AB-BD=2-N5-1=3-V5, 故答案为：3-√5. 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 变式1.(2526九年级上河南交阳：月)图的是琴模中，点P是B的萸金分制点，即满足邹，若 AB=4,则AP的长为() B A.√5-1 B.V5+1 C.2V5+2 D.2V5-2 【答案】D 【销解】解：点P苑的黄金分制点，耳点P清起那侣 六AP为较长线段，则4P=5-1 AB 2 AB=4, 4P=5-x4=25-2. 2 故选：D 变式2.(25-26九年级上浙江舟山期末)如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E,以线段CE为边作正方 形CEFG,取BC的中点H,连接DH,下列能说明点G是线段DC的黄金分割点的条件是(). A D B H C E A.HC=CE B.DH=2CE C.DH =HE D.DH=√2CE 【答案】C 【详解】解：~四边形ABCD为正方形， 设AB=BC=CD=AD=a,∠DCB=90°， ~BC的中点H, ÷BH=HC=BC=a, 1 2 ∴DH=√HC2+CD2 ata-5 0, 选项A:~HC=CE,正方形CEFG, .CE=CG=HC=~a, 1 DG=CD-CG=。a, 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 .DG 1 CG 1 “CD2'CD2' 故选项A不符合题意； 选项B:DH=2CE, G.CE=DH -a, 正方形CEFG, *CE-CG- 40, *DG-CD-CG-a-5-4-5 a= a, 4 4 4-5 -404-5,cG ∴.DG 一三 49 CD a 4 CD a 4 故选项B不符合题意； 选项C:DH=HE,DH=5。 2, HE 20, CE=HE-HC=5。-1.5-1 2a-2a= 正方形CEFG, CE=CG= 5-1 20, DG=CD-CG=a-a=3-V5 2a, 3-5 5-1 DG 3-5,cG205-, -2= CD a 2 CD a 2 当CG-5-l,选项C符合题意； CD 2 选项D:~DH=cE,DH=5 , CE= 40, 正方形CEFG, CE-CG=1 40, *DG=CD-CG=a-104-0 -a= a, 4 4 4-10 V10 DG 10, CD a 4 CD a 4 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 故选项D不符合题意. 故选：C. 变式3.(2026·上海金山一模)数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典.如 图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高AC为468米，其上球体点B位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺 拔俊美，具有审美效果，且AB>BC.那么上球体到塔底的距离AB为米.（结果保留根号的形式） 【答案】2345-234 【详解】解：~点B是线段AC上的一个黄金分割点，且AC=468米，AB>BC, AB=5-1 ×468=2345-234(米). 2 故答案为：2345-234. 变式4.(25-26九年级上山东菏泽·月考)大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感 的黄金分割比（黄金分制比=V5-).B为4C的黄金分割点，若4C=20cm,则BC的长为」 cm,(结 2 果保留根号) 【答案】30-10V5或10V5-10 【详解】解：情况1：当AB>BC时， ~点B为AC的黄金分割点(AB>BC),AC=20cm, c-(05-jcn 2 BC=AC-AB=20-(105-10=30-10W5)cm, 情况2：当AB<BC时， ~点B为AC的黄金分割点(AB<BC),AC=20cm, BC=5-lx4C-5-lx20=05-10em 2 2 故答案为：30-10V5或10W5-10. 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 考点二 相似的判定与性质综合 例1.(25-26九年级上上海浦东·期末)如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC, D B (1)若AD=3,DB=2,DE=6,求BC的长； (2)若S。DE=9,S。ABc=25,求AD:AB的值. 【答案】(1)10 a号 【详解】(1)解：~DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, AD DE AB BC 3=6 3+2BC' 解得BC=10; (2)解：DE∥BC, △ADE∽△ABC, = S ABC AD, AB 即9=AD2 25(AB· 解得1D、3 AB5 例2.(25-26九年级上广东揭阳期末)如图，G,H分别为平行四边形ABCD中边AB,AD的延长线上的点， GH分别交BC,CD于EF,连结AC,交HG于点P. 6 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 ⊙ G (I)求证：△HDF∽△EBG; (②)若AC:AP=4:3,HG=nEF(n为正整数)，试求n的值. 【答案】()见解析 (2)n=3 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AB∥DC ∠DHF=∠BEG,∠HFD=∠BGE, ∴.△HDF∽△EBG; (2)解：AC:AP=4:3, AP:CP=3:1, AD∥BC, △APH∽△CPE, .HP AP=3. PE CP AB∥DC, ∴△FPC∽aGPA, PG=AP= PF CP =3, 令PF为a,PE为b, 则PG=3a,PH=3b, :.HG=PG+PH=3a+3b=3(a+b)=3FE, HG=nEF ∴.n=3. 例3.(25-26九年级上·上海静安期末)如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,点Q、 R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P,QP⊥BP,QP交BD于点E. 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 Q B (I)求证：△APQ∽△DBR; ②)当∠QD等于60°时，求10的值. DR 【答案】（①）见解析 2403+v5 DR 6 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， AC 04-0C-C.OB-OD-BD AC-BD.Z04P-ZBDR-45 2 LB0C=∠D0C=90°，0A=0B, .∠0BP+∠0PB=90°， QP⊥BP, ∴.∠QPB=90°， ∴∠OPB+∠QPA=90°， ∴∠APQ=∠DBR, .△APQ∽△DBR: (2)解：由(1可得△APQ∽△DBR, AO AP ,∠APQ=∠DBR, DR DB :∠QED=60°， ∴.∠BEP=∠QED=60°， :∠PBE=∠0PE=90°-∠BEP=30°， PE=20E,OP=√30E, 设OE为a, 则EP=2a,OP=√5a, 在RtoBEP中，BE=2PE=2×2a=4a, :.0B=BE-0E=4a-a=3a, BD=20B=6a, d 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 0A=0B=3a,0P=V3a, :AP=OA+OP=3a+3a, AP 3a+3a 3+3 BD 6a 6 49-3+5 DR 6 例4.(25-26九年级上·浙江金华期末)如图，在ABC中，AD平分∠BAC,E是AB上一点，且∠BDE=∠BAD. E (I)求证：△ADE∽△ACD; (②)若AC=4,AD=6,BE=3,求AE,BD的长 【答案】(I)见解析， (2)AE=9,BD=6 【详解】(1)解：~AD平分∠BAC, LDAE=∠CAD, ∠BDE=∠DAE, .∠BDE=∠CAD, ZADB ZADE+ZBDE =ZC+ZDAC, ∠ADE=LC, ∠CAD=∠DAE, △ADE∽△ACD. (2)解：△ADEn△ACD, :D、AE AC AD ∠BDE=∠CAD, ∠BDE=∠BAD, ∠B=∠B, ∴.△ABD∽△DBE, D船，即4E+AE.D .AB BD BD BE 0 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 -9器：0=6 变式1.(2026上海金山一模)如图，在ABC中，AB=AC,点E、D分别在边BC、AC上，∠AED=∠B, (I)求证：△ABE∽△ECD; (2)若AB=10,BC=16,BE=12,求CD的长. 【答案】(1)见解析 (2)CD=4.8 【详解】(1)证明：AB=AC, ·∠B=LC, ~LAEC=LB+LBAE=∠AED+LCED,∠AED=∠B, ∴.∠BAE=∠DEC, ·△ABE∽△ECD; (2)解：由(1)知：△ABE∽△ECD, CE CD “ABBE BC-BE CD ,即16-12cD AB BE 1012 .CD=4.8 变式2.(25-26九年级上天津南开·期末)如图，四边形ABCD为菱形，∠D=36°，延长AC到点E,使EC=BC, 连接BE. E B (I)求证：△ABC∽△AEB; (2)求证：AD2=ACBE; (3)若BE=2,直接写出AC的长 【答案】()见解析 10黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 黄金分割、相似的判定与性质综合、相似与动态几何问题专项训练 考点目录 黄金分割 相似的判定与性质综合 相似与动态几何问题 考点一 黄金分割 例1．（25-26九年级上·上海浦东·期末）已知点是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某观景平台为长方形，当短边与长边的比接近黄金比（约为）时，视觉效果最佳．若该平台的长边为，为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，为线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 例4．（25-26九年级上·浙江·期末）黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 变式1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图的提琴模型中，点是的黄金分割点，即满足，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·浙江舟山·期末）如图，四边形为正方形，延长至点，以线段为边作正方形，取的中点，连接，下列能说明点是线段的黄金分割点的条件是（    ）． A． B． C． D． 变式3．（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为 米．（结果保留根号的形式） 变式4．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．为的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 考点二 相似的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·上海浦东·期末）如图，在 中， 点D、E分别在边上， 且， (1)若，求的长； (2)若求的值． 例2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，G，H分别为平行四边形中边，的延长线上的点，分别交，于，连结，交于点P． (1)求证：； (2)若，（n为正整数），试求n的值． 例3．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，边长为的正方形中，对角线、相交于点，点、分别在边、上，交线段于点，，交于点． (1)求证：； (2)当等于时，求的值． 例4．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，平分是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式1．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式2．（25-26九年级上·天津南开·期末）如图，四边形为菱形，，延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出的长． 变式3．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且分别交于点．解答下列问题： (1)的值为_________； (2)求证：； (3)求证：． 变式4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 考点三 相似与动态几何问题 例1．（25-26九年级上·湖南益阳·月考）如图，在矩形中，，．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积；提出一个与计算结果有关的结论； (3)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 例2．（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 例3．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点、移动的时间为秒 (1)当t为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)当t为何值时，的面积最大？求面积最大时点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·月考）如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，设点P、Q的运动时间为t，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． (1)经过几秒后，的面积等于？ (2)设四边形的面积为S，求S的最大值或最小值； (3)是否存在某一时刻t，使得与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，，动点D由点C向点B以每秒3速度在边上运动，动点E由点C向点A以每秒4速度在边上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t>0），连接DE (1)求证：； (2)如图2，设经过点D、C、E三点的圆为，连接并延长交于点H． ①猜想直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②在点D、点E运动过程中，若与边交于点 M、N（点M在点N下方，如图3），连接并延长交边于点H，连接，当与相似时，直接写出t值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $