北京市北京师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

北京师大附中2025—2026学年（上）高二期末考试 数学试卷 班级：______姓名：______学号：______ 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 6 B. 2 C. -6 D. -2 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 与直线平行且过点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和圆相交于A，B两点.若，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知抛物线：的焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. “”是“为椭圆方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A. 2 B. 3 C. D. 10. 已知数列满足，，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. 的最大值为20 D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 双曲线的渐近线方程是___________． 12. 如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 13. 若圆：与圆：无交点，则的一个值可以是______. 14. 设数列是等比数列，其前项和为，且，则公比的值为________. 15. 已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是等差数列，，.数列是各项均为正数的等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点. （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 18. 已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的离心率； （2）求的面积. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：； （2）若点在棱上且，求平面与平面所成角的大小. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，是边长为2的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，点是线段上一点，且满足.求证：点在一条定直线上. 21. 已知数列是递增的整数数列，.定义数列的“相邻数列”为，其中，，或，. （1）若，数列，写出的所有“相邻数列”； （2）若，数列满足，，且的所有“相邻数列”均为递增数列.求满足条件的数列的个数； （3）若，数列满足，，且存在的一个“相邻数列”，使得对任意，，求的最小值. 北京师大附中2025—2026学年（上）高二期末考试 数学试卷 班级：______姓名：______学号：______ 考生须知 1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 3.考试结束后，考生应将答题纸交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）, （2） 【17题答案】 【答案】（1） 证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. （2）1 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 由为的中点，知， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 因此. （2） 【20题答案】 【答案】（1）； （2） 证明：由题可知直线l斜率存在，设直线， 联立， 则，即， 由题可设，， 则，且， 所以， ， 同理，， 所以由得即， 又由题意可知， 所以，所以，整理得， 所以，整理并化简得， 所以，在定直线上. 【21题答案】 【答案】（1）；；；； （2）11个； （3）37 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $