第2章 一元二次方程 单元测试题2025-2026学年 浙教版八年级数学下册

八年级数学下册 第2章 一元二次方程 单元测试题 浙教版 一、选择题(每题3分,共30分) 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数、一次项系数，常数项分别为（　　） A．3，5，7 B．3，， C．3，，7 D．3，5， 3．用配方法解方程x2+4x-10=0时，下列配方结果正确的是（　　） A．（x-2）2=12 B．（x+2）2=12 C．（x-2）2=14 D．（x+2）2=14 4．方程（x－2）2=4（x-2）的解是（　　） A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2 5．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根 6．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（　　）. A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 8．关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（　　） A．2024 B． C．-2024 D． 9．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　） A．-4 B．4 C．7 D．-7 10．周末，小明随母亲到“开心农场”去种菜时，发现农场旁有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，另外三边用板材围成，板材上有两处各开了一扇等宽的门，询问知：墙长为22米，门宽2米，围成养鸡场的板材共用去40米，养鸡场的面积是160平方米，则养鸡场的宽为（　　）米． A．8 B． C．20 D．24 二、填空题(每题3分,共18分) 11．关于x的一元二次方程x2+5x-2p=0的一个根为2，则p的值是　 　. 12．已知一元二次方程有一个根为1，则另一个根为　 　． 13．已知是一元二次方程的两个根，则的值等于　 　． 14．已知两个连续正奇数的积是143，设其中较小的正奇数是x，可列方程　 　. 15．若t是方程的一个根，则的值为　 　． 16．若x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且 则m 的值为　 　. 三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分) 17． 解方程： （1）； （2）． 18．甲、乙两位同学解方程的过程如下框： 甲： 两边同除以得： 则 （　　） 乙： 移项得 提公因式 则或 （　　） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程． 19．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值． 20．五一假期，某著名景区在5月1日至3日期间的游客人数逐日增加，5月4日至5日游客人数大幅减少.据统计，5月1日的游客人数为1.5万人，5月3月的游客人数为2.16万人. （1）求5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率； （2）5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的，求5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天最多是多少万人？ 21．已知一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求的值． （2）当时，求证：方程有两个实数根． 22．已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 23．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。 （1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？ （2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？ 24．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”的“最值码”是______． （2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意； B.，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意； C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意； D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意； 故答案为：D. 【分析】一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：方程3x2=5x+7转化为一般形式为3x2-5x-7=0， 其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-5，-7， 故答案为：B. 【分析】一元二次方程的一般形式“ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）”其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此移项将原方程化为一般形式，可求解. 3．【答案】D 【解析】【解答】解： x2+4x-10=0， 移项得，x2+4x=10， 配方得，x2+4x+4=10+4， 即 （x+2）2=14 . 故答案为：D. 【分析】先移项，再根据完全平方式配方，即可求得. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)， 移项，得(x-2)2-4(x-2)=0， 整理，得(x-2)(x-2-4)=0. ∴x-2=0或x-6=0. ∴x1=2，x2=6. 故答案为：D. 【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程， ，，， ， ∴关于一元二次方程 没有实数根. 故答案为：C. 【分析】根据所给的一元二次方程，通过求出判别式，根据其符号判断根的情况. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺， 可列方程为：， 故答案为：A． 【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 则k的取值范围是且， 故答案为：B． 【分析】利用已知可得到b2-4ac≥0且 k-1≯0，据此可得到关于k的不等式组 ，然后求出不等式组的解集可得到k的取值范围. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为2024， ∴20242a+2024b+c=0， ∴ ∴ ∴是方程cx2+bx+a=0的实数根， 故答案为：B. 【分析】根据一元二次方程根的定义：将x=2024代入方程ax2+bx+c=0中，再两边同时除以2024，可得结论. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ x2-7x-4m2=0； ∴由韦达定理得，； 故答案为：C. 【分析】对于一元二次方程，根据韦达定理，两根之和，代入系数即可得出答案. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米 由题意得： 解得或（不符合题意，舍去） 则养鸡场的宽为（米） 故选：A． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（养鸡场面积），设养鸡场的长为米，则养鸡场的宽为米，根据面积公式列方程，最后检验解的实际合理性. 11．【答案】7 【解析】【解答】解：将x=2代入 x2+5x-2p=0可得，4+10-2p=0 ∴ p=7. 故答案为：7. 【分析】将一元二次方程的根代入方程，即可求得. 12．【答案】3 【解析】【解答】解：设方程另一个根为t， 由根与系数的关系得1×t=3， 解得，t=3. 故答案为：3. 【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数可得，据此建立方程，可求出方程的另一个根. 13．【答案】1 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 【分析】 根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答. 14．【答案】x(x+2)=143 【解析】【解答】解：设较小的奇数为x， 根据题意得x(2+x)=143， 故答案为：x(x+2)=143. 【分析】设较小的奇数为x，那么较大的奇数为x+2，则这两个数的积是x(2+x)即可列出方程求得这两个奇数. 15．【答案】8 【解析】【解答】解：(t-1)(2t+1)=2t2+t-2t-1=2t2-t-1， ∵t是方程-2x2+x+9=0的根， ∴将x=t代入方程可得2t2-t=9， 把2t2-t=9代入2t2-t-1，可得9-1=8， 故答案为：8. 【分析】先将(t-1)(2t+1)展开化简，再利用已知方程-2x2+x+9=0（因为t是方程的根，所以-2t2+t+9=0，变形得到2t2-t=9)进行整体代入求值. 16．【答案】-2 【解析】【解答】解：由条件可得 △ = 解得 根据根与系数的关系得x1+ m=-4， 解得 ∴m=-2. 故答案为：-2. 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2和x1x2的值，代入已知等式求解m，并检验m的值是否满足方程有实数根的条件. 17．【答案】（1）解： ，变形为（x+5）（x-4）=0 ∴， （2）解：x= ∴， 【解析】【分析】本题考查求解一元一次方程和一元二次方程，需要利用因式分解和求根公式。 （1）先提取公因式x-4，此时可以将原方程因式分解，即可求出x的两个值； （2）利用求根公式x=，将a=1、b=4、c=-1代入即可计算出x的两个值。 18．【答案】解：（×） （×） 解答如下： 或 【解析】【分析】甲同学两边同时除以(x-2)，没有考虑x-2=0的情况，因此错了；乙同学提公因式时去括号时括号前面是负号，去括号未变号，因此错了. 19．【答案】（1）解：∵方程 有两个实数根， ∴ ∴， 答：的取值范围为：. （2）解：根据题意可得： ，， 又∵ ∴6+2m=0 ∴m=-3，且-3＞-9， 答：的值为． 【解析】【分析】（1）利用判别式判断方程有实数根的条件，建立不等式求解m的范围； （2）根据一元二次方程中根与系数的关系可得：，，结合已知条件即可得到关于的一元一次方程，求解即可，注意验证结果是否满足（1）题条件． （1）解：根据题意得： ， 解得：， 即的取值范围为：； （2）解：根据题意得： ，， ， ， 解得：（符合题意）， 即的值为． 20．【答案】（1）解：设增长率为x，则 1.5(1+x)2=2.16 解得：x1=0.2，x2=-2.2 （舍去） ∴日平均增长率为20%。 （2）解：设平均每天游客人数为m人，则 2m≤(1.5+1.5×1.2+2.16) 解得：m≤0.91 ∴平均每天游客人数不超过0.91万人 【解析】【分析】(1)设5月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率为x，利用5月3日的游客人数=5月1日的游客人数 月1日至3日到该景区的游客人数的日平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； (2)设5月4日至5日到该景区的游客人数平均每天是m万人，根据5月4日至5日这两天到该景区的游客总人数不会超过5月1日至3日游客总人数的 可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论. 21．【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ， 把代入一元二次方程中，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 【解析】【分析】（1）把代入方程，变形得到，然后代入求解即可； （2）将变形得到，然后由判别式b2-4ac≥0即可证明． （1）把代入，得， ， ． （2）证明： ， ， 方程有两个实数根． 22．【答案】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k） ＝4k2+4k+1﹣16k+8， ＝4k2﹣12k+9 ＝（2k﹣3）2， ∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0， ∴无论k取何值，此方程总有实数根 （2）解：①当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0， 解得k， 方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2， ∵2+2＝4， ∴此种情况不成立； ②当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k）＝0， 解得：k， 方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2， 即三边为4，4，2，能够成三角形， 则周长＝4+4+2＝10， 所以这个等腰三角形的周长是10 【解析】【分析】(1)先计算判别式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=(2k-3)2，根据非负数的性质易得Δ≥ 0，则根据判别式的意义即可得到结论； (2)分类讨论：当b=c时，则Δ=(2k-3)2=0，解得，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k的值，则代入方程可解答. 23．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)， 由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450， 化简、整理，得：2x2-65x+275=0， 解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)， 答：纸盒的高为5cm. （2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)， 由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912， 化简、整理，得：x2+20x-44=0， 解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)， 答：裁去的正方形的边长为2cm. 【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； (2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 24．【答案】（1） （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴，解得：； （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， ∴的值为2． 【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程”的“最值码”是． 故答案为：． 【分析】（1）利用“最值码”定义求解． （2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． （1）解：在关于x的一元二次方程中，，， ， ， ， “全整根方程”的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”， ∴， ∴， 解得； （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于方程，，，， ， ， ． ∵方程是方程的“全整根伴侣方程”， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $